文档文本内容
考点 14 直线和圆的方程（26 种题型 10 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 求切线方程
2022新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 由直线与圆有交点求参数的取值
范围
2022新高考 直线方程 求直线方程
2021新高考 直线与圆，圆与圆的位置关系 点到直线的距离公式，圆的方程
及应用
2021全国乙文 直线方程 点到直线的距离
2020课标 直线与圆，圆与圆的位置关系 直线与圆相切，直线方程
2020课标 直线与圆，圆与圆的位置关系 求弦长的最值
二、命题规律与备考策略
近几年对本章的内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方
程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数的取值范围的求解、直线与圆的位置关系中涉及
弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知
识考查最值问题。
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2023•全国）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（ ）
A．1+ B．4 C．1+3 D．7
3．（2023•乙卷）已知 O的半径为1，直线PA与 O相切于点A，直线PB与 O交于B，C两点，D为
⊙ ⊙ ⊙
BC的中点，若|PO|＝ ，则 • 的最大值为（ ）
A． B． C．1+ D．2+4．（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆 x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为 ，则 sin ＝
（ ） α α
A．1 B． C． D．
二．填空题（共4小题）
5．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为 ，则m＝ ．
6．（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2π）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|
OP|＝8，则p的值为 ．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与 C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC
⊙
面积为 ”的m的一个值 ．
8．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 ．
四、考点清单
一．直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直
线l的倾斜角．
（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
二．直线的斜率
1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即
k=tanα.
2.斜率的计算公式：
定义
π
斜率的定义式 k=tanα(α≠ )
2
y −y
两点式 k= 2 1
P (x ，y ) P (x ，y )(x ≠x ) x −x
过两点 1 1 1 ， 2 2 2 1 2 的直线的斜率公式为 2 1
π
【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于2 时，直线的斜率不存在.
3.倾斜角与斜率的关系图示
倾斜角
α=0∘ 0∘ <α<90∘ α=90∘ 90∘ <α<180∘
斜率 k=0 k>0 不存在 k<0
三．直线的平行于垂直
定义
k
k =k
当 存在时，两直线平行，则 1 2
平行
90∘
k
当 不存在时，则两直线的倾斜角都为
k
k ⋅k =−1
当 存在时，两直线垂直，则 1 2
垂直
k
90∘ 0∘
当 不存在时，则一条直线倾斜角为 ，另一条直线倾斜角为
【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.
四．直线的方程
直线方程 适用范围
点斜式 y−y =k(x−x ) 不能表示与x轴垂直的直线
0 0
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线
y−y x−x
两点式 1 = 1 不能表示与x轴、y轴垂直的直线
y −y x −x
2 1 2 1
x y
截距式 + =1 不能表示与x轴垂直、y轴垂直以及过原点的直线
a b
一般式 Ax+By+C=0 无局限性
五．特殊的直线方程
P(x ，y )
已知点 0 0 ，则
类型 直线方程
与x轴垂直的直线 x=x
0
与y轴垂直的直线 y=y
0
六．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密
的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
P(x ，y ) ⃗v=(m，n)
如图1，设直线l经过点 0 0 ， 是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，
⃗P P ⃗v ⃗P P=t⃗v
则 向 量 0 与 共 线 . 根 据 向 量 共 线 的 充 要 条 件 ， 存 在 唯 一 的 实 数 t， 使 0 ， 即
{x=x + mt ¿¿¿¿
(x−x ，y−y )=t(m，n) 0
0 0 ，所以 .
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
七．直线的平行与垂直
斜截式 一般式
l
1
：y=k
1
x+b
1
l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0)
1 1 1 1 1 1
直线方程
l ：y=k x+b l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0(A
2
，B
2
不同时为0)
2 2 2
平行 k =k 且b ≠b A B −A B =0
1 2 1 2 1 2 2 1 （注意可能重合）
垂直 k ⋅k =−1 A A +B B =0
1 2 1 2 1 2
八．利用平行与垂直解决问题
斜截式 一般式
直线方程 l ：y=kx+m l ：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)
1 1
l //l l 若直线 l 2 //l 1，则可设 l 2的方程为：
若直线 2 1，则可设 2的方程为：
平行
y=kx+λ(λ≠m) l ：Ax+By+λ=0(λ≠C)
1
l ⊥l l
若直线 2 1，则可设 2的方程为： l ⊥l l
若直线 2 1，则可设 2的方程为：
垂直
1
y=− x+λ l ：Bx−Ay+λ=0
k 1
九．两条直线的交点
l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0) l ：A x+B y+C =0(A ，B 不同时为0)
对于直线 1 1 1 1 1 1 ， 2 2 2 2 2 2 ，求交点即解
{A x+B y+C =0 ¿¿¿¿
1 1 1
方程组 ，该方程组的解与两直线的位置关系如下：
方程组解的个数 位置关系
一个解 相交
无解 平行
无数解 重合
十．三个距离公式
条件 距离公式两点之间的距离公式 P (x ，y ) P (x ，y ) |P P |= √ (x −x ) 2 +(y −y ) 2
已知两点 1 1 1 ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2
P(x ，y ) |Ax +By +C|
点到直线的距离公式 已知一点 0 0 ，以及直线 d = 0 0
l:Ax+By+C=0 P→l √A2 +B2
已知直线 l 1 :Ax+By+C 1 =0 ， |Ax +By +C|
两平行线的距离公式 d = 0 0
l :Ax+By+C =0 l 1 →l 2 √A2 +B2
以及 2 2
十一．对称
条件 方法
P(x 1 ，y 1 ) ， P' (x 2 ，y 2 ) 两点关于 {2x =x +x ¿¿¿¿
两点关于另外一点对称
M(x ，y ) 0 1 2
0 0 对称
P(x ，y ) P' (x ，y ) 1.P，P' 两点的中点在直线 l 上；
1 1 ， 2 2 两点关于直线
两点关于一直线对称
l:Ax+By+C=0
对称（斜率存在） 2.PP'两点所在直线与直线 l 垂直
两直线关于另一直线对称 1.三条直线交于同一点；
（三直线不平行） 2.到角公式
十二．两点关于一直线特殊的对称
点的坐标 直线方程 对称点坐标
P(x ，y ) y=x P' (y ，x )
0 0 0 0
P(x ，y ) y=−x P' (−y ，−x )
0 0 0 0
P(x ，y ) y=x+m P' (y −m，x +m)
0 0 0 0
P(x ，y ) y=−x+m P' (−y +m，−x +m)
0 0 0 0
十三．到角公式
k −k π
tanθ= 2 1 (θ≠ )
设 l 1 ，l 2的斜率分别是 k 1 ，k 2， l 1到 l 2的角为θ，则 1+k 2 k 1 2 .
十四．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定
圆的位置,半径决定圆的大小.
十五．圆的标准方程圆的标准方程 圆心 半径
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0) (a，b) r
十六．圆的一般方程
圆的一般方程 圆心 半径
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0) (−
D
，−
E
)
√D2 +E2 −4F
2 2 2
十七．二元二次方程与圆的方程
1.二元二次方程与圆的方程的关系：
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0
二元二次方程 ，对比圆的一般方程 ，
D2 +E2 −4F>0
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的
方程.
2.二元二次方程表示圆的条件：
&A=C≠0
{
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0 &B=0
二元二次方程 表示圆的条件是 .
D E F
&( ) 2+( ) 2−4( )>0
A A A
十八．点与圆的位置关系
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 (r>0) x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2 +E2 −4F>0)
圆的标准方程为 一般方程为 .
平
面内一点 P(x 0 ，y 0 ) 到圆心的距离为d.
判断方法
位置关系
几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程）
点在圆上 d=r (x −a) 2 +(y −b) 2 =r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F=0
0 0 0 0 0 0
点在圆外 d>r (x −a) 2 +(y −b) 2 >r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F>0
0 0 0 0 0 0
点在圆内 d<r (x −a) 2 +(y −b) 2 <r2 x2 +y2 +Dx +Ey +F<0
0 0 0 0 0 0
十九．与圆有关的最值问题
1.与圆的几何性质有关的最值问题
类型 方法
最大值：
d+r
；最小值：
d−r
（
d
为该定点到圆心的距
圆外一定点到圆上一动点距离的最值
离）
圆上一动点到圆外一定直线距离的最值 最大值： d+r ；最小值： d−r （ d 为圆心到直线的距离）
过园内一定点的弦的最值 最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦
2.与圆的代数结构有关的最值问题类型 代数表达 方法
截距式 求形如 mx+ny 的最值 转化为动直线斜率的最值问题
y−m
斜率式 转化为动直线截距的最值问题
求形如
x−n
的最值
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
距离式 的最值 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
求形如
【注意】 截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值 . 同时，需
要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.
二十．直线与圆的位置关系
位置关系 图示 几何法 代数法
d=r
相切 Δ=0
d
为圆心到直线的距离）
（
d<r
相交 Δ>0
d
为圆心到直线的距离）
（
d>r
相离 Δ<0
d
为圆心到直线的距离）
（
二十一．相切→求切线方程
P(x ，y ) C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
过定点 0 0 作圆 的切线，则切线方程为：
P与圆的位置关系 切线条数 切线方程（方法）
P在圆上 1条 (x −a)(x−a)+(y −b)(y−b)=r2
0 0
【分两种情况讨论】：
d=r Δ=0
1.斜率存在，设为点斜式，再通过 或 求出斜率即可；
P在圆外 2条 2.斜率不存在.
【说明】：若情况 1 有一解，则情况 2 必有一解；若情况 1 有两解，则
情况 2 必无解.
二十二．相交→求弦长
AB2
r2
=| |
+d2
弦长公式：直线与圆相交于A，B两点，则 2 （d为圆心到直线的距离）.
二十三．圆与圆的位置关系
两圆的半径分别为
r
1
，r
2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系及其判断方法为：
位置关系 图示 几何法 公切线条数外离 d>r +r 四条
1 2
外切 d=r +r 三条
1 2
相交
|r −r |<d<r +r
两条
1 2 1 2
内切 d=|r 1 −r 2 | 一条
内含 0≤d<r 1 −r 2 无
二十四．两圆的公共弦
1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.
2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.
二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤：
步骤 具体内容
第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在
第二步 联立直线与圆方程消元化简
第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积
第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理
五、题型方法
一．直线的倾斜角（共1小题）
1．（2023•二七区校级模拟）已知直线l的方程为 ， R，则直线l的倾斜角范围是（
α∈
）
A． B．
C． D．
二．直线的斜率（共2小题）
2．（2023•湖北模拟）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．k≥2或 B． 或
C． D．
3．（2023•定远县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点 绕原点O逆时针旋转90°到点
B，那么点 B 坐标为 ，若直线 OB 的倾斜角为 ，则其斜率为
． α
三．直线的截距式方程（共2小题）
4．（2023•定远县校级模拟）直线l ：y＝2x和l ：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足
1 2
条件的k的两个可能取值： 和 ．
5．（2023•高新区校级模拟）若直线ax+by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴与y轴上的
截距之和的最小值为 ．
四．直线的一般式方程与直线的性质（共2小题）
6．（2023•丰台区二模）已知点P（0，2），直线l：x+2y﹣1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的
方程是 ．
7．（2023•山东模拟）如图，P是抛物线C：y＝ x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂
直，l与抛物线C相交于另一点Q．
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．五．直线的一般式方程与直线的平行关系（共3小题）
8．（2023•丹东模拟）直线x+ay﹣3＝0与直线（a+1）x+2y﹣6＝0平行，则a＝（ ）
A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．﹣1或2
9．（2023•河北三模）直线l ：ax+y+1＝0 与l ：x+ay﹣1＝0平行的充要条件是（ ）
1 2
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝1或﹣1 D．0
10．（2023•大庆模拟）直线l经过点A（m，2），B（﹣1，m），若直线l与直线y＝x+1平行，则m＝
六．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题）
11．（2023•固镇县三模）已知直线 l ：ax+2y+1＝0，l ：（3﹣a）x﹣y+a＝0，则条件“a＝1”是
1 2
“l ⊥l “的（ ）
1 2
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件
12．（2023•吉林模拟）已知a＞0，b＞0，若直线l ：ax+by﹣2＝0与直线l ：2x+（1﹣a）y+1＝0垂直，
1 2
则a+2b的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
13．（2023•吉林模拟）△ABC中，A（3，2），B（1，1），C（2，3），则AB边上的高所在的直线方程
是（ ）
A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．x+2y﹣8＝0 D．x﹣2y+4＝0
七．两条直线的交点坐标（共2小题）
14．（2023•龙华区校级模拟）若直线 y＝﹣2x+4与直线 y＝kx的交点在直线 y＝x+2上，则实数 k＝
（ ）
A．4 B．2 C． D．
（多选）15．（2023•江宁区校级模拟）已知直线l ：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作直线l 与直
1 2
线l 相交于点B，且AB＝5，则直线l 的方程为（ ）
1 2
A．x＝1 B．y＝﹣1 C．3x+4y+1＝0 D．4x+3y﹣1＝0
八．恒过定点的直线（共2小题）
16．（2023•山东模拟）方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）＝0所确定的直线必经过点（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣6，2） D．（ ）
17．（2023•江苏模拟）设k R，直线l ：kx+y﹣k＝0，I直线l ：x﹣ky+2k﹣3＝0，记l ，l 分别过定点
1 2 1 2
∈A，B，l 与l 的交点为C，则|AC|+|BC|的最大值为 ．
1 2
九．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题）
18．（2023•琼山区校级一模）点（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，1）
19．（2023•大连模拟）已知点A（﹣1，2），C（﹣1，0），点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为点B，
在△PBC中， ，则△PBC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023•思明区校级四模）已知直线l ：3x﹣4y﹣4＝0关于直线l 的对称直线为y轴，则l 的方程为
1 2 2
．
一十．两点间的距离公式（共3小题）
21．（2023•昌平区二模）已知点P在直线 上，点Q（2cos ，2sin ）（ R），则|PQ|的最
θ θ θ∈
小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
22．（2023•西城区校级三模）设m R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0
交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的∈取值范围是（ ）
A．[ ，2 ] B．[2 ，4 ] C．[ ，4 ] D．[ ，2 ]
23．（2023•邯郸三模）在平面直角坐标系内，已知A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|
＝2|PB|，则（x﹣1）2+（y﹣t）2（t R）的最小值是（ ）
∈
A． B．2 C．4 D．16
一十一．点到直线的距离公式（共2小题）
24．（2023•开福区校级二模）点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（1+3 ）x+（1﹣2 ）y﹣（7+ ）
＝0（ 为任意实数）的距离的最大值为（ ） λ λ λ
λ
A． B．6 C． D．5
25．（2023•南关区校级二模）直线l的方程为（ +2）x+（ ﹣1）y﹣3 ＝0（ R），当原点O到直线l的
距离最大时， 的值为（ ） λ λ λ λ∈
λA．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
一十二．两直线的夹角与到角问题（共3小题）
26．（2023•延庆区一模）O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（2，﹣1），（﹣1，3），则tan∠AOB
等于（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
27．（2023•道里区校级一模）已知A（﹣1，0），B（1，0），若直线y＝k（x﹣2）上存在点P，使得
∠APB＝90°，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2023•睢宁县校级模拟）在△ABC中，∠A的内角平分线方程为y＝x，B（1，4），C（4，3），则
角C的正切值为 ．
一十三．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题）
29．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，
0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．
一十四．圆的标准方程（共2小题）30．（2023•湖南模拟）若圆C与y轴相切，则圆C的方程可以为（ ）
A．x2+y2＝1 B．x2+（y﹣1）2＝1
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
31．（2023•江西模拟）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，所有满足f（m）+f（n﹣1）＝0的点（m，n）中，有
且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是 ．（写出一个满足条件的圆的方程即可）
一十五．圆的一般方程（共1小题）
32．（2023•平江县校级模拟）若点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0 上，则 的取值范围为（
）
A． B． C．[0，4] D．
一十六．轨迹方程（共5小题）
33．（2023•广西模拟）已知线段AB，则平面上全体满足|AP|2+|BP|2为定值 的点P的轨迹是（
）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
34．（2023•枣强县校级模拟）已知定点B（3，0），点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，则线段AB的中点
M的轨迹方程是（ ）
A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x+2）2+y2＝4
35．（2023•淄博三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且∠AOB＝60°，球体O表面上动点
P满足PA＝2PB，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
36．（2023•惠州模拟）已知圆F ：x2+y2+4x＝0，圆F ：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一动圆与圆F 和圆F 同时内
1 2 1 2
切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为曲线C，两互相垂直的直线l ，l 相交于点F ，l 交曲线C于M，N两点，l 交圆
1 2 2 1 2
F 于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．
137．（2023•河北三模）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣16x＝0过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，
线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|，求l的方程及△POM的面积．
一十七．点与圆的位置关系（共1小题）
38．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上的动
点．若A（﹣a，0），B（a，0），a≠0，则 的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
一十八．关于点、直线对称的圆的方程（共3小题）
39．（2023•汕头二模）与圆 C：x2+y2﹣x+2y＝0 关于直线 l：x+y＝0 对称的圆的标准方程是
．
40．（2023•济南一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C ：x2+y2＝2关于直线l对称的圆为C ：x2+y2+2x﹣
1 2
4y+3＝0，则l的方程为 ．
41．（2023•大理州模拟）已知直线l：x﹣y+1＝0，圆C：x2+y2＝1，则圆C关于直线l对称的圆的方程为
．
一十九．圆的切线方程（共2小题）
42．（2023•延边州二模）经过P（2，3）向圆x2+y2＝4作切线，切线方程为（ ）
A．5x﹣12y+26＝0 B．13x﹣12y+10＝0
C．5x﹣12y+26＝0或x＝2 D．13x﹣12y+10＝0或x＝2
43．（2023•晋安区校级模拟）在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆 ＝4
的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为（ ）A． B． C． D．
二十．直线与圆相交的性质（共3小题）
44．（2023•思南县校级模拟）若直线2x+y+m＝0与圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0相交所得弦长为 ，则m＝
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
45．（2023•红桥区二模）已知直线x﹣ y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，
则r的值为 ．
46．（2023•南关区校级模拟）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0，当直线
l被C截得弦长为 时，则a＝ ．
二十一．直线与圆的位置关系（共3小题）
47．（2023•历下区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4．设圆C的半
径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
48．（2023•涪城区校级模拟）已知动圆C过M（4，0），N（0，2）两点，圆心C关于直线x﹣y＝0的对
称点为E，过点E的直线交圆于A，B两点，当圆C的面积最小时，|AB|的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
49．（2023•武汉模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为
坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二十二．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
50．（2023•沙坪坝区校级模拟）圆C ：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0与圆C ：x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦恰为圆
1 2
C 的直径，则圆C 的面积是（ ）
1 2A．2 B．4 C．10 D．20
51．（20π23•山西模拟）已知圆πO：x2+y2＝1与圆C：（πx﹣3）2+y2＝r2外切，π直线l：x﹣y﹣5＝0与圆C相
交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．4 B．2 C． D．
二十三．两圆的公切线条数及方程的确定（共2小题）
52．（2023•荔湾区校级模拟）经过直线y＝2x+1上的点作圆x2+y2﹣4x+3＝0的切线，则切线长的最小值为
（ ）
A．2 B． C．1 D．
53．（2023•渝中区校级模拟）已知圆O ：x2+y2＝1，圆O ：（x﹣4）2+y2＝4，请写出一条与两圆都相切
1 2
的直线的方程： ．
二十四．相交弦所在直线的方程（共3小题）
54．（2023•山西模拟）已知圆 和 交于A，B两点，则|AB|＝
（ ）
A． B． C． D．
55．（2023•和平区校级一模）圆 x2+y2﹣4＝0 与圆 x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 的公共弦的长为
．
56．（2023•红桥区一模）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB
的方程是 ．
二十五．直线和圆的方程的应用（共2小题）
57．（2023•河西区一模）与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是
．
58．（2023•南关区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，已知MN是 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的一条
弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，⊙直线l：x﹣3y﹣5＝0上存在两点A，
B，使得∠APB≥ 恒成立，则线段AB长度的最小值是 ．
二十六．圆方程的综合应用（共2小题）
59．（2023•和平区校级一模）已知圆C ：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C ：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M与圆
1 2C ，圆C 均相切，P是△MC C 的内心，且 ，则a的值为（ ）
1 2 1 2
A．9 B．11 C．17或19 D．19
60．（2023•浑南区校级模拟）已知
， C 与 C 相切，并且两
1 2
⊙ ⊙
圆的一条外公切线的斜率为7，则r r 为 ．
1 2
六、易错分析
易错点1：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错
1． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．
易错点2：有关截距相等问题忽略截距为零致错
2、直线l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
易错点3：已知两直线平行求参数的值未验证致错
3．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．
易错点4：未讨论参数的取值致错
4.已知直线 ： ， ： ， ，则“ ”是“ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
易错点5；误用点线距离公式致错
5.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )
A． B． C． D．
易错点6：忽视切线斜率不存在致错
6．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0
易错点7：混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交致错
7.若曲线C：x2+(y+1)2=1与直线 ：x+y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为__________．
易错点8：忽略方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件致错
8.已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．
易错点9：忽视隐含条件致错
9．若点(1,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
易错点10：由直线的一般式方程求斜率时忽略符号致错
10．已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 ( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
七、刷常考
一．选择题（共6小题）
1．（2023•大兴区模拟）点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为 的点P有且仅有3
个，则实数a的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（2023•苍梧县校级模拟）若圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称，过点C（﹣
a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．y2﹣4x+4y+8＝0 B．y2﹣2x﹣2y+2＝0C．y2+4x﹣4y+8＝0 D．y2﹣2x﹣y﹣1＝0
3．（2023•海淀区二模）已知动直线l与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，且∠AOB＝120°．若l与圆（x﹣
2）2+y2＝25相交所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2023•武功县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，M（x ，y ）为圆O上位于第一象限的一点，过点M作
0 0
圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•海淀区校级模拟）已知直线l：y＝mx﹣m﹣1，P为圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0上一动点，设P
到直线l距离的最大值为d（m），当d（m）最大时，m的值为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2023•阳泉二模）已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，过直线l：y＝x+2上的动点M作圆C的切线，切点为N，
则|MN|的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二．多选题（共13小题）
（多选）7．（2022•潍坊一模）已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，一条光线从点P（2，1）射出经x轴反射，下
列结论正确的是（ ）
A．圆C关于x轴的对称圆的方程为x2+y2+4y+3＝0
B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x﹣2y﹣4＝0
C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|＝2
D．若反射光线与圆C交于M、N两点，则△CNM面积的最大值为
（多选）8．（2023•广陵区校级模拟）点P是直线y＝3上的一个动点，A，B是圆x2+y2＝4上的两点．则
（ ）
A．存在P，A，B，使得∠APB＝90°
B．若PA，PB均与圆O相切，则弦长AB的最小值为
C．若PA，PB均与圆O相切，则直线AB经过一个定点
D．若存在A，B，使得 ，则P点的横坐标的取值范围是（多选）9．（2023•蕉城区校级二模）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，
0）（m＞0）若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．8
（多选）10．（2023•山西模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，线段AB过点P（1，0），且|AO|＝|
AB|，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点A的轨迹是一个圆
B．∠AOP的最大值为
C．当A，O，B三点不共线时，△ABO面积的最大值为2
D． 的最小值为
（多选）11．（2023•濠江区校级模拟）如图，点 M是棱长为 1的正方体 ABCD﹣A B C D 中的侧面
1 1 1 1
ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
1 1
A．不存在点M满足CM⊥平面C BD
1
B．存在无数个点M满足CM⊥AD
1
C．当点M满足 时，平面BD M截正方体所得截面的面积为
1
D．满足|MD|＝2|MD |的点M的轨迹长度是
1
（多选）12．（2023•安徽模拟）已知O为坐标原点，动点P满足|PO|＝1，记动点P的轨迹为 ，设A，B
Ω为轨迹 上的两点，M（2，0），N（0，2），Q为直线 MN 上一动点，则下列结论中正确的是
（ ）Ω
A．直线MN与轨迹 有两个公共点
B．若直线QA为轨迹Ω 的一条切线，则|QA|的最小值为1
Ω
C．当 时， 的最大值是
D．若QA，QB为轨迹 的两条切线，则四边形QAOB面积的最小值为1
（多选）13．（2023•泉州Ω模拟）若直线y＝kx+1与圆C：（x﹣2）2+y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的长
度可能等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（多选）14．（2023•深圳模拟）设直线系M：xcos +ysin ＝1+2sin （0≤ ≤2 ），下列命题中的真命题
有（ ） θ θ θ θ π
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
（多选）15．（2023•晋中三模）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
（多选）16．（2023•建华区模拟）已知直线l：mx﹣y﹣m+2＝0与圆C：x2+y2＝9相交于A，B两点，则（
）
A．直线l过定点（1，2）
B．若△ABC的面积取得最大值，则m＝﹣1
C． 的最小值为8
D．线段AB的中点在定圆上
（多选）17．（2023•河北模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正
1 1 1 1
方体的内部及其表面运动，使得MN∥平面A C B，则（ ）
1 1A．三棱锥N﹣A BC 的体积为定值
1 1
B．当|MN|最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等
D．若DN＝2，则点N的轨迹长度为2
（多选）18．（2022•龙岩模拟）已知点Pπ（x
0
，y
0
）是直线l：x+y＝4上的一点，过点P作圆O：x2+y2＝2
的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，则（ ）
A．当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为（2，2）
B．|PA|的取值范围为[ ，+∞）
C．当△PAB为等边三角形时，点P的坐标为（1，3）
D．直线AB过定点（ ， ）
（多选）19．（2022•茂名模拟）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创辞汇，定义如下：
在直角坐标平面上任意两点A（x ，y ）B（x ，y ）的曼哈顿距离为：d（A，B）＝|x ﹣x |+|y ﹣y |．在
1 1 2 2 1 2 1 2
此定义下以下结论正确的是（ ）
A．已知点O（0，0），满足d（O，M）＝1的点M轨迹围成的图形面积为2
B．已知点F （﹣1，0），F （1，0），满足d（M，F ）+d（M，F ）＝4的点M轨迹的形状为六边形
1 2 1 2
C．已知点F （﹣1，0），F （1，0），不存在动点M满足方程：|d（M，F ）﹣d（M，F ）|＝1
1 2 1 2
D．已知点M在圆O：x2+y2＝1上，点N在直线l：2x+y﹣6＝0上，则d（M、N）的最小值为3﹣
三．填空题（共9小题）
20．（2023•麒麟区校级模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处
出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+（y+2）2≤3，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要
到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
21．（2023•泰州模拟）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线x+ ＝0与两坐标轴的交点分别为
A，B，若圆O上有且只有一个点P满足|AP|＝|BP|，则r的值为 ．
22．（2023•滁州模拟）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝25，直线l：（m+1）x+（m﹣1）y﹣2＝0（m是参数）
则直线l被圆C截得的弦长的最小值为 ．
23．（2023•北辰区三模）直线l经过点P（2，﹣3），与圆C：x2+y2+2x+2y﹣14＝0相交截得的弦长为
，则直线l的方程为 ．
24．（2023•天津模拟）过点（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4
时，直线l的方程为 ．
25．（2023•罗湖区校级模拟）定义两个点集S，T之间的距离集为d（S，T）＝{|PQ||P S，Q T}，其中|
PQ| 表 示 两 点 P ， Q 之 间 的 距 离 ∈ ． ∈ 已 知
， d
（S，T）＝（1，+∞），则 的一个可能值为 ．
26．（2023•2月份模拟）若P，θQ分别是抛物线x2＝y与圆（x﹣3）2+y2＝1上的点，则|PQ|的最小值为
．
27．（2023•长沙模拟）在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB＝1，AA ＝4，E为DD 中点，P为正四棱柱
1 1 1 1 1 1
表面上一点，且C P⊥B E，则点P的轨迹的长为 ．
1 1
28．（2022•河西区校级模拟）函数y＝log （x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直线l
a
与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，则直线l的方程是 ．
四．解答题（共3小题）
29．（2020•金凤区校级二模）已知圆M：（x+2）2+y2＝1，圆N：（x﹣2）2+y2＝49，动圆P与圆M外切
并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点Q（0，2 ）的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在
且斜率之和为﹣2，证明：直线l过定点．30．（2020•杭州模拟）已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l 上，且
1
满足 （O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知定点M（ ，0），N（ ，0），点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且
点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．
31．（2020•南通二模）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0
相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求
出实数a的值；若不存在，请说明理由．
