文档内容
考点 14 指数函数
【命题解读】
在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有
关的性质。
【基础知识回顾】
．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 (1)R
值域 (2) (0 ，＋∞ )
(3)过定点 (0 ， 1) ，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时， y ＞ 1 ；
(5)当x＜0时， y ＞ 1 ；当x＞0时，0
性质
＜ y ＜ 1
当x＜0时， 0 ＜ y ＜ 1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象， 底数 a，b，
c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝
ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研
究．
1、 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
2、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.00，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，
则实数a的值为________．
变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式 的解集为_______.
变式4、(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.
方法总结： 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值
域、最值等等．
(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则
可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元
等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．
(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分
底数01两种情形进行分类讨论，防止错解
考向二 指数函数的图像与性质
例2、如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像
于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点 的直线与函数 的图象交于 、 两点，点 在线段 上，过 作 轴的平行线交函数 的图象于 点，当 ∥ 轴，
点 的横坐标是
变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
变式4、 已知f(x)＝|2x－1|.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；
(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数．
方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．
(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对
称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．
考向三 指数函数的综合运用
例3、关于函数f (x)＝的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f (x)＝x有且只有一个实根
D．函数f (x)的图象是中心对称图形变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数 ，若
，则实数 _____．
变式2、已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1) 求a，b的值；
(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
变式3、设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；
(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数．
方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问
题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)
的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若00时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
