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考点 14 指数函数
【命题解读】
在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有
关的性质。
【基础知识回顾】
．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 (1)R
值域 (2) (0 ，＋∞ )
(3)过定点 (0 ， 1) ，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时， y ＞ 1 ；
(5)当x＜0时， y ＞ 1 ；当x＞0时，0
性质
＜ y ＜ 1
当x＜0时， 0 ＜ y ＜ 1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象， 底数 a，b，
c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝
ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研
究．
1、 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.
2、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.00，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，
则实数a的值为________．
【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞) f(－4)＞f(1)（3）或3
【解析】（1）设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝ 在R上为减函数，∴函数f(x)＝ 的减区间即为
函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．
（2）因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数
f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上
是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．
（3）令t＝ax(a>0，且a≠1)，
则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当01时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．所以f(t) ＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝或
max
3.
变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式 的解集为_______.
【答案】(﹣1，2)
【解析】由题 则 ，故
故填(﹣1，2)
变式3、设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是 ；
【答案】(－3，1)【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为 －7<1，即 <8，即 < ，
∴a>－3.
又a<0，∴－31时，代入不成立.故a的值为.
方法总结： 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值
域、最值等等．
(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则
可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元
等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．
(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分
底数01两种情形进行分类讨论，防止错解
考向二 指数函数的图像与性质
例2、如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像
于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
【答案】(1,2)．
【解析】设C(a,4a)，则A(a,2a)，B(2a,4a)．又O，A，B三点共线，所以＝，故4a＝2·2a，所以2a＝0(舍去)或
2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1,2)．
变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点 的直线与函数 的图象交
于 、 两点，点 在线段 上，过 作 轴的平行线交函数 的图象于 点，当 ∥ 轴，
点 的横坐标是
【答案】
【解析】根据题意，可设点 ，则 ,由于 ∥ 轴，故 ，代入 ，
可得 ，即 ，由于 在线段 上，故 ，即 ，解得
.变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在同一直角坐标系内，作出函数 ， ， ， 的图像如下：
因为 ， ， ，
所以 是 与 交点的横坐标； 是 与 交点的横坐标； 是 与
交点的横坐标；
由图像可得： .
故选：C.
变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )【答案】D
【解析】当a>1时，y＝ax－是增函数．
当x＝0时，y＝1－∈(0，1)，A，B不满足．
当0f(x＋1)；
当x＝ 时，f(x)＝f(x＋1)；
当x> 时，f(x)k－2t2，即对一切t有3t2－2t－k>0.
∴Δ＝4＋12k<0⇒k<－.
(方法2)由(1)知f(x)＝，
∴ ＋ <0，
即( ＋2)(1－ )＋( ＋2)(1－ <0，即 1，故3t2－2t－k>0.
上式对一切t∈R均成立，从而Δ＝4＋12k<0⇒k<－.
变式3、设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；
(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数．
【证明】 (1)设x，x∈R，且x0，得 ＋1>0， ＋1>0.
∴f(x)－f(x)<0，即f(x)1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若00时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
【解析】：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，不满足f(x)＝2．
当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2．
∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±．
∵3x>1，∴3x＝1＋．
∴x＝log (1＋)．
3
.
(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0．
∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为
3t＋m≥0，
即3t＋m≥0，即m≥－32t－1．令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，
∴g(x) ＝－4．
max
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．
