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第 15 讲 万有引力与航天
——划重点之精细讲义系列
考点一 天体质量和密度的估算
一．开普勒行星运动定律
定律 内容 图示
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太
开普勒第一定律
阳处在椭圆的一个焦点上
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在
开普勒第二定律
相等的时间内扫过相等的面积
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的
开普勒第三定律
公转周期的二次方的比值都相等.＝k
二．万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力
的大小与物体的质量m 和m 的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比．
1 2
2．公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
3．适用条件
公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物
体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是球心间的距离；对一个均匀球体与球外一
个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到质点间的距离．
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝ma ＝m＝mω2r＝m
n
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体
表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r等于天体半
径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中
心天体的密度．
【典例1】(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕
冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星
的质量．这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
【典例2】假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两
极的大小为g，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为
0
( )
A.· B．·
C. D.·
【典例3】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51
peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运
动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比
约为( )
A. B．1
C．5 D．10
解决天体质量和密度的估算问题的两点注意
(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似
等于天体半径．
(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”、“受力特点”、“谁做圆周运动”
等，明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度．
考点二 卫星的运行规律
1．卫星的运行规律
(1)卫星做匀速圆周运动．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)万有引力提供向心力：即由G＝m＝mrω2＝mr＝ma 可推导出：
n
⇒当r增大时
2．同步卫星的六个“一定”
3.三种宇宙速度
宇宙速度 数值(km/s) 意义
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球
第一宇宙速度
7.9 卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度．
(环绕速度)
第二宇宙速度 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
11.2
(脱离速度)
第三宇宙速度
16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
(逃逸速度)
【典例1】(多选) 如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面
的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运
动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P受地球引力大于Q所受地球引力
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【典例2】如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O
的距离分别为r、r，线速度大小分别为v、v，则( )
1 2 1 2
A.＝ B.＝
C.＝2 D.＝2
【典例3】国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4
月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨
道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东
方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的
加速度为a ，东方红二号的加速度为a ，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速
1 2
度为a，则a、a、a 的大小关系为( )
3 1 2 3
A．a＞a＞a B．a＞a＞a
2 1 3 3 2 1
C．a＞a＞a D．a＞a＞a
3 1 2 1 2 3
【典例4】假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小
于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
【典例5】(多选)在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等
于地球半径R，地面上的重力加速度为g，忽略地球自转影响，则( )
A．卫星运动的速度大小为
B．卫星运动的周期为4π
C．卫星运动的向心加速度大小为g
D．卫星轨道处的重力加速度为g
人造卫星问题的解题技巧
(1)卫星向心加速度的不同表述形式．
①G＝ma .
n
②a＝＝rω2＝r.
n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛
顿第二定律．
①卫星的a 、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发
n
生变化．
②a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．
n
考点三 航天器的变轨问题
1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向
心力，卫星将做变轨运行．
(1)当卫星的速度逐渐增加时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离
心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v＝ 可知其运行速度比原
轨道时减小．
(2)当卫星的速度逐渐减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做
近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v＝ 可知其运行速度比
原轨道时增大．
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行
器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图所示，发射同步
卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v ，变轨时在P点点火加速，短时间内将
1
速率由v 增加到v，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.
1 2
(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v ，此时进行第二次点火加速，在短时间内将
3
速率由v 增加到v，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．
3 4
【典例1】(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟八号”飞船，
并成功地进行了对接试验，若“天宫一号”能在离地面约300 km高的圆轨道上正常运
行，则下列说法中正确的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度
B．对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速
C．对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等
D．对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度
【典例2】我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞
船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周
运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现
对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对
接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，
两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验
室，两者速度接近时实现对接
【典例2】(多选)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M点为环地球运行的近地
点，N点为环月球运行的近月点．a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨
道，下列说法中正确的是( )
A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B．嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C．设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a，在椭圆轨道b上经过N点
1
时的加速度为a，则a>a
2 1 2
D．嫦娥三号在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能
【典例3】(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫
星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，
只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定
在新轨道上的运行速度变化由v＝ 判断．
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的
速度．
考点四 天体运动中的“多星”问题
“多星”模型
1.双星系统
（1）双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
（2）双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
（3）双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L，质量分别为 M 和M，线速度分
1 2
别为v 和v ，轨道半径分别为 r 和 r ，共同运动的周期为T、角速度为ω，如图所
1 2 1 2
示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
，
其中r＋r=L。
1 2
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的
距离相混淆。
（4）几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径∶ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②星体质量∶ ，
④系统质量∶
④星体周期∶
2.三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星
组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗
星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运动;另一种是三
1
颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图 所示
（设每颗星体的质量均为m）。
（1）对第一种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，
则有
（2）对第二种形式中A而言，B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，
则有
这里 。
【典例1】经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由
两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系
统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线
上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为
m∶m＝3∶2.则可知( )
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．m、m 做圆周运动的角速度之比为2∶3
1 2
B．m、m 做圆周运动的线速度之比为3∶2
1 2
C．m 做圆周运动的半径为L
1
D．m 做圆周运动的半径为L
2
【典例2】(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星
系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为
m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R.
已知万有引力常量为G，忽略星体自转效应，则关于四星系统，下列说法正确的是(
)
A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为
B．四颗星做圆周运动的线速度均为
C．四颗星做圆周运动的周期均为2π
D．四颗星表面的重力加速度均为G
1．下列说法正确的是( )
A．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是伽利略测定的
B．F＝G中的G是一个比例常数，是没有单位的
C．万有引力定律适用于任意质点间的相互作用
D．万有引力定律不适用于地面上的物体
2．海王星有13颗已知的天然卫星．现认为“海卫二”绕海王星沿圆轨道匀速运
转，已知海卫二的质量为2.0×1019 kg，轨道半径为5.5×106 km，运行的周期为360
天，万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2.则海王星的质量大约为( )
A．1.0×1017 kg B．1.0×1026 kg
C．2.0×1011 kg D．2.0×1019 kg
3．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电
通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变
小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
5．北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗
卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道．其中，同步
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为(
)
6．我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果
该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心
连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是( )
A. B.
C. D.
7．(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018年展开.2018年左右我国将进行第
一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量
的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
8．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完
全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为
R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
9．(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v贴近
行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
10．(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道
运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表
示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度．忽略其
他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于(
)
A．ma B．m
C．m(R＋h)ω2 D．m
11．宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v 沿水平方向抛出一个小
0
球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】球的质量为( )
A. B.
C. D.
12. (多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、
E、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．
k
下列关系式正确的有( )
A．T＞T B．E ＞E
A B kA kB
C．S ＝S D.＝
A B
13．宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，
当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后，站在该星球水平地面上以和地球完全相同
的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的 4倍，由此宇航号
估算该星球的质量M 约为(式中M为地球的质量)( )
星
A．M ＝M B．M ＝2M
星 星
C．M ＝M D．M ＝4M
星 星
14．在发射卫星时，往往先将卫星发送到一个椭圆轨道上，再变轨到圆轨道。已
知某卫星运行的椭圆轨道的近地点M距地面 ，远地点N距地面 ，卫星进
入该轨道正常运行时，通过M点和N点时的速率分别为 和 ，当某次卫星通过N点
时，启动卫星上的发动机，使卫星在短时间内加速后进入离地面 的圆形轨道，
开始绕地球做匀速圆周运动，这时卫星的速率为 。比较卫星在M、N、P三点正常运
行时（不包括启动发动机加速阶段）的速率 和加速度大小 ，下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．2019年3月10日，长征三号乙运载火箭将“中星6C”通信卫星（记为卫星
Ⅰ）送入地球同步轨道上，主要为我国、东南亚、澳洲和南太平洋岛国等地区提供通
信与广播业务。在同平面内的圆轨道上有一颗中轨道卫星Ⅱ它运动的每个周期内都有
一段时间t（t未知）无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，因为其轨道上总有一
段区域没有被卫星Ⅰ发出的电磁波信号覆盖到，这段区域对应的圆心角为 。已知卫
星Ⅰ对地球的张角为 ，地球自转周期为 ，万有引力常量为G，则下列说法正确的
是（ ）
A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为 D．题中时间t不可能为
16．天文观测发现，天狼星A与其伴星B是一个双星系统。它们始终绕着O点在
两个不同椭圆轨道上运动，如图所示，实线为天狼星A的运行轨迹，虚线为其伴星B
的轨迹，则（ ）
A．A的运行周期小于B的运行周期
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．A的质量小于B的质量
C．A的加速度总是小于B的加速度
D．A与B绕O点的旋转方向可能相同，可能相反
17．如图所示为人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大、引力极大的
天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接
研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为v＝ ，其中引力常量为G，M是该黑洞的
质量，R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑
洞做匀速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是（ ）
A．该黑洞的质量为 B．该黑洞的质量为
C．该黑洞的最大半径为 D．该黑洞的最大半径为
18．（多选）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为R 、R ，距A、B行星中心
A B
r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系
如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，
的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为b 、b 已知两图像数据均采用国
A B．
际单位， ，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球
的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B的质量之比为1∶3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．行星A、B的密度之比为1∶9
D．行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1
19．（多选）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称
“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小
与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加
速度大小与r的关系。图乙中R（地球半径），r 为已知量，地球自转的周期为T，引
0
力常量为G，下列说法正确的有（ ）
A．太空电梯停在r 处时，航天员对电梯舱的弹力为0
0
B．地球的质量为
C．地球的第一宇宙速度为
D．随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小
20．（多选）如图所示， 是一个半径为 ，质量为 的密度均匀球体的球心，
现在其内以 为球心挖去一个半径为 的球，并在空心球内某点 放置一个质量为
的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则 球剩余部分对该
质点的万有引力（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．方向由 点指向 连线上某点
B．方向与 连线平行
C．大小为
D．大小为
21．（多选）中国科幻电影 流浪地球 讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们
在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为 ，稳定分
布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为 ，三星绕O点做周期为 的匀速圆
周运动。已知万有引力常量为 ，忽略星体的自转，下列说法正确的是（ ）
A．匀速圆周运动的半径为
B．每个星球的质量为
C．每个星球表面的重力加速度大小为
D．每个星球的第一宇宙速度大小为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
