考点13指数与对数的运算（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 13 指数与对数的运算 【命题解读】 学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用 方法，对数函数的概念、图象与性质； 【基础知识回顾】 1．根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log N ＝ b ，其中__a__叫做对数的底数， a __N__叫做真数． 4．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log (MN)＝log M ＋ log N；②log ＝log M － log N； a a a a a a log ③log a Mn＝ n log a M (n∈R)；④ amMn＝log a M． (2)对数的性质 log ①a a N＝__N__；②log aN＝__N__(a>0且a≠1)． a (3)对数的重要公式 ①换底公式：log N＝ (a，c均大于零且不等于1)； a ②log b＝，推广log b·log c·logd＝log d． a a b c a1、设a， b， c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是 log b·log blog a log b·log alog b A． a c c B． a a a log (bc)log blog c C． D． a a a 【答案】B log b log xy log xlog y,log b  c 【解析】 ， ， ≠1． 考察对数2个公式： a a a a log a ，对选项A： c log a log blog b log alog b  c a c c a log b ，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B： c log b log blog a log blog b  c a c c a log a ，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C： c log（bc）log blog c a a a ，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D： log（bc) log blog c a a a ，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B． 2、 = A． B． C． 2 D． 4 【答案】D 【解析】 ． 3、化简4a·b－÷的结果为( ) A．－ B．－ C．－ D．－6ab【答案】C 【解析】原式＝－6ab－－＝－6ab－1＝－. 4、(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( ) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18 C．a＋a－＝± D．a＋＝2 【答案】ABD 【解析】在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B 中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确； 在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a－＝，故C错误；在选 项D中，因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确． 5、 的值是____________． 【答案】1 【解析】 ． 6、计算：log [4log 10－(3)－7log 2]＝________． 5 2 7 【答案】0 【解析】原式＝log [2log 10－(3)－2]＝log (10－3－2)＝log 5＝1. 5 2 5 5 7、（2012北京）已知函数 ，若 ，则 ． 【答案】2 【解析】由 ，得 ，于是 ． 考向一 指数幂的运算 例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0 (2)(a>0，b>0) (3) －π0；(4) 【解析】(1)原式＝＋500－＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. (2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝. (3原式＝ = －1＝－－1＝0. (4)原式＝ ＝. 变式1、．计算下列各式的值： （Ⅰ） ； （Ⅱ） ． 【解析】（Ⅰ）原式＝ ； （Ⅱ）原式＝ ． 变式2、已知 ＝3，求 的值． 【解析】设 ＝t，则 ＝，已知即t＋＝3. 于是， ＝t3＋＝·， 而x2＋x－2＝t4＋＝ －2, 将t＋＝3，平方得 t2＋＋2＝9，于是t2＋＝7.从而，原式＝＝＝. 方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时 要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考向二 对数的运算 例1、（1）化简：＝________． （2）化简：2 3+log¿¿0.54¿ ¿¿¿＝________． （3）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( ) A. B. C. D. ． 【解析】（1）．原式＝＝＝1． （2）．2 3+log¿¿0.54¿ ¿¿¿＝23·2log 4＝8· log 14 0．5 2 2 1 log ＝8·2－log 2 4＝8· 2 24＝8·＝2． （3）．D 由2a＝5b＝m得a＝log m，b＝log m， 2 5 ∴＋＝log 2＋log 5＝log 10． m m m ∵＋＝2，∴log 10＝2，∴m2＝10，m＝． m 变式1、 化简下列各式： (1)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； (2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (3)计算(log 2＋log 2)·(log 3＋log 3)； 3 9 4 8 （4）2log 2－log ＋log 8－3log 5； 3 3 3 5 【解析】 (1)原式＝lg ＝lg ＝ ＝. (2) 原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5 ＝(1＋1)lg2＋2lg5 ＝2(lg2＋lg5) ＝2. (3) (log 2＋log 2)·(log 3＋log 3) 3 9 4 8 ＝· ＝· ＝· ＝. （4）2log 2－log ＋log 8－3log 5 3 3 3 5 ＝log 22＋log (32×2－5)＋log 23－3 3 3 3 ＝log (22×32×2－5×23)－3 3 ＝log 32－3 3 ＝2－3 ＝－1. 变式2、(1)2log 2－log ＋log 8－ ； 3 3 3(2)(log 125＋log 25＋log 5)·(log 2＋log 4＋log 8)． 2 4 8 5 25 125 【解析】(1)原式＝2log 2－5log 2＋2＋3log 2－3＝－1. 3 3 3 (2)(方法1)原式＝ ＝ ＝log 5·3log 2 2 5 ＝13··log 2 5 ＝13. (方法2) 原式＝ ＝ ＝ ＝13. 方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例 如： (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后 利用对数运算性质化简合并； (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数 的积、商、幂的运算． 考向三 指数是与对数式的综合 例3 (1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝ ； (2)若60a＝3，60b＝5，求 的值． 【解析】 (1)设3a＝4b＝6c＝k，则k>1.由对数定义得a＝log k，b＝log k，c＝log k， 3 4 6 则＋＝＋ ＝2log 3＋log 4 k k ＝log 9＋log 4 k k ＝log 36. k 又＝＝2log 6＝log 36， k k ∴＋＝. (2)由a＝log 3，b＝log 5，得1－b＝1－log 5＝log 12， 60 60 60 60 于是1－a－b＝1－log 3－log 5＝log 4， 60 60 60 则有＝＝log 4， 12 ∴12＝ 12log 4 12 ＝12log 2＝2. 12 变式1、设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________. 由2a＝5b＝m得a＝log m，b＝log m， 2 5 ∴＋＝log 2＋log 5＝log 10. m m m ∵＋＝2，∴log 10＝2，∴m2＝10，m＝. m 方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注： 1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其 核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是 指、对数运算经常使用的方法． 2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底 的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．x,y 1、（2013浙江）已知 为正实数，则 2lgxlgy 2lgx 2lgy 2lg(xy) 2lgx2lgy A． B． 2lgxlgy 2lgx 2lgy 2lg(xy) 2lgx2lgy C． D． 【答案】D x10,y 1,2lgxlgy 2,2lgx 2lgy 3, 【解析】取特殊值即可，如取 2lgxy 2lg11,2lgxlgy 1 ． 2、（2020全国Ⅰ文8）设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得 ，∴ ，∴有 ，故选B． 3、（2017新课标Ⅰ）设 为正数，且 ，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】设 ，因为 为正数，所以 ，则 ， ， ， 所 以 ， 则 ， 排 除 A 、 B ； 只 需 比 较 与 ，，则 ，选D． 4、（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原 子总数 约为 ．则下列各数中与 最接近的是 （参考数据： ≈0．48） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，两边取对数得， ，所 以 ，即 最接近 ，选D． 5、（2020全国Ⅰ理12）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路导引】设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案． 【解析】设 ，则 为增函数，∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ ． ∴ ，当 时， ，此时 ，有 ；当 时， ， 此时 ，有 ，∴C、D错误，故选B． 6、 化简下列各式： (1)[(0.064)－2.5]－－π0； (2)a·b－2·÷. 【解析】(1)原式＝－－1 ＝－－1 ＝－－1＝0. (2)原式＝－a－b－3÷ ＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－ ＝－·＝－.