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2019年江西省宜春市高安市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、
多选、错选，均不给分）
1．﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2，则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．已知sina＝ ，且a是锐角，则a＝（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
4．学校开展为贫困地区捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：2，2，x，4，9．已知这组数据的平均数
是4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．2和2 B．4和2 C．2和3 D．3和2
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永
远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去．则从最初位置爬到4号
蜂房中，不同的爬法有（ ）A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）
7．计算： +2﹣1＝ ．
8．我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为 千米．
9．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是 ．
10．一个圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 cm2．
11．线段AB、CD在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点．若线段AB上一点P的坐标为
（a，b），则直线OP与线段CD的交点的坐标为 ．
12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C
运动．给出以下四个结论：
AE＝AF；
①∠CEF＝∠CFE；
②当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；
③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．
④上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．解方程：
14．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格点的顶点叫做格点，以格点为
顶点分别按下列要求画三角形．
（1）使三角形的三边长分别为3，2 ， ．
（2）使三角形为边长都为无理数的钝角三角形且面积为4．
15．先化简（1﹣ ）÷ ，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．
16．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1＝∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线
段，不再标注或使用其他字母），使AC＝BD，并给出证明．
你添加的条件是： ．
证明： ．
17．在试制某种洗发液新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六
种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常要先从芳香度为0，1，2的三种添加剂中随机选取一
种，再从芳香度为3，4，5的三种添加剂中随机选取一种，进行搭配试验．请你利用树状图（树形
图）或列表的方法，表示所选取两种不同添加剂所有可能出现的结果，并求出芳香度之和等于4的
概率．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分．）
18．2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种
球类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票：
比赛项目 票价（元/场）男 篮 1000
足 球 800
乒乓球 500
（1）若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票，问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各
多少张？
（2）若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其
中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种
球类门票各多少张？
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
20．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某市就“你每天在校体育活
动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部
分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
（1）C组的人数是 ；
（2）本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该辖区约有24 000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？21．在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（﹣3，
1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B ，求△AB B的面积．
1 1
五、（本大题共1小题，共10分）．
22．已知：如图 ， ，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是边BC，CD上的点．
（1）如图 ，①若A②P⊥PQ，BP＝2，求CQ的长；
①
（2）如图 ，若 ，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积．
②
六、（本大题共1小题，共12分）
23．如图 ， ，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x
轴交于①O，②B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图 ，当CP与 A相切时，求PO的长；
① ⊙（3）如图 ，当点P在直径OB上时，CP的延长线与 A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是
② ⊙
等腰三角形？2019 年江西省宜春市高安市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、
多选、错选，均不给分）
1．【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣3×（﹣ ）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒
数，属于基础题．
2．【分析】找到从上面看所到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到左右相邻的3个矩形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．
3．【分析】根据sin60°＝ 得出a的值．
【解答】解：∵sina＝sin60°＝ ，a是锐角，
∴a＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、
填空题为主．
4．【分析】根据平均数的定义得到关于x的方程，求x，再根据中位数和众数的定义求解．
【解答】解：根据平均数的含义得： ＝4，所以x＝3；
将这组数据从小到大的顺序排列（2，2，3，4，9），处于中间位置的数是3，那么这组数据的中位数是3；
在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题要细心．
5．【分析】题中有三个条件，图形为常见图形，可先由AB∥DE，∠BCE＝35°，根据两直线平行，内错角
相等求出∠B，然后根据三角形内角和为180°求出∠A．
【解答】解：∵AB∥DE，∠BCE＝35°，
∴∠B＝∠BCE＝35°（两直线平行，内错角相等），
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°（在直角三角形中，两个锐角互余）．
故选：C．
【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而
达到解决问题的目的．
6．【分析】本题应分两种情况考虑： 当蜜蜂先向右爬行时； 当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种
情况中所以可能的爬行路线一一列①出，即可求出共有多少②种不同的爬法．
【解答】解：本题可分两种情况：
蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有：
①一、1 2 4；二、1 3 4；三、1 3 2 4；
共有3⇒种⇒爬法； ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有：
②一、0 3 4；二、0 3 2 4；
三、0⇒1⇒2 4；三、⇒0⇒1⇒3 4；四、0 1 3 2 4；
共5种⇒爬⇒法；⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
因此不同的爬法共有3+5＝8种．
故选：C．
【点评】本题应该先确立大致的解题思路，然后将有可能的爬法按序排列，以免造成头绪混乱，少
解错解等情况．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）
7．【分析】分别根据零指数幂，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝（﹣ ）0+2﹣1＝1+ ＝1 ．故答案为1 ．【点评】本题主要考查了零指数幂，负指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数
的0次幂等于1．
8．【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n
为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题
n＞0，n＝3．
【解答】解：6 300＝6.3×103．
故答案为：6.3×103．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1
时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
9．【分析】若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，则△＝b2﹣4ac＜0，列出关于k的不等
式，求得k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＜0，
即22﹣4×1×（﹣k）＜0，
解这个不等式得：k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10．【分析】利用⇔圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆
锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长＝6 cm，侧面展开图是半圆，则母线长＝6 ×2÷2 ＝6cm，
π π π
∴圆锥的侧面积＝ ×6 ×6＝18 cm2．
π π
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
11．【分析】根据坐标图，可知B点坐标是（4，3），D点坐标是（8，6），A点坐标是（3，1），C点坐标是
（6，2），那么连接BD，直线BD一定过原点O，连接AC直线AC一定过原点O，且B是OD的中点，
同理A是OC的中点，于是AB是△OCD的中位线，从AB上任取一点P（a、b），则直线OP与CD的交点E的坐标是（2a，2b）．
【解答】解：设直线OP与线段CD的交点为E，
∵AB∥CD，且O，B，D三点在一条直线上，OB＝BD
∴OP＝PE
∴若点P的坐标为（a，b），
∴点E的坐标是（2a，2b）．
故答案为（2a，2b）．
【点评】正确的读图是解决本题的前提条件，由AB∥CD联想到三角形相似，或平行线分线段成比
例定理，是解决这道题的关键．
12．【分析】根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号．
【解答】解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，
∴BE＝DF，
∵AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF， 正确；
∴CE＝CF，①
∴∠CEF＝∠CFE， 正确；
∵在菱形ABCD中，②∠B＝60°，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE＝ AB，DF＝ AD，
∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形， 正确；
③∵△AEF的面积＝菱形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积＝ AB2
﹣ BE•AB× ×2﹣ × ×（AB﹣BE）2＝﹣ BE2+ AB2，
∴△AEF的面积是BE的二次函数，
∴当BE＝0时，△AEF的面积最大， 错误．
故正确的序号有 ． ④
①②③
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
13．【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（1﹣2x），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转
化为整式方程求解．
【解答】解：两边同乘以（x+1）（1﹣2x），
得：（x﹣1）（1﹣2x）+2x（x+1）＝0，
整理，得5x﹣1＝0，
解得x＝ ，
经检验，x＝ 是原方程的根．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
14．【分析】（1）（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）满足条件的△ABC如图所示．
（2）满足条件的△DEF如图所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合
的思想解决问题，属于中考常考题型．
15．【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分
解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可．
【解答】解：（1﹣ ）÷ ＝ × ＝ ，
∵2x﹣1＜6，
∴2x＜7，
∴x＜ ，
把x＝3代入上式得：
原式＝ ＝4．
【点评】此题考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，用到的知识点是通分、完全平方
公式、平方差公式以及一元一次不等式的解法，熟练掌握公式与解法是解题的关键．
16．【分析】要使AC＝BD，可以证明△ACB≌△BDA或者△ACO≌△BDO从而得到结论．
【解答】解：添加条件例举：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等．
证明：（1）如果添加条件是AD＝BC时，
∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，
在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD；（2）如果添加条件是OC＝OD时，
∵∠1＝∠2
∴OA＝OB
∴OA+OD＝OB+OD
∴BC＝AD
又∵∠2＝∠1，AB＝BA
在△ABC与△BAD中， ，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD；
（3）如果添加条件是∠C＝∠D时，
∵∠2＝∠1，AB＝BA，
在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD；
（4）如果添加条件是∠CAO＝∠DBC时，
∵∠1＝∠2，
∴∠CAO+∠1＝∠DBC+∠2，
∴∠CAB＝∠DBA，
又∵AB＝BA，∠2＝∠1，
在△ABC与△BAD中， ，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD．
故答案为：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，本题已知一边一角，所以可以寻找夹这个角的另外一边或者是另外两个角．
17．【分析】因为此题需要两步完成，所以采用列表法或者采用树状图法都比较简单；解题时要注意是
放回实验还是不放回实验．列举出所有情况，让芳香度之和等于4的情况数除以总情况数即为所
求的概率．
【解答】解：列表法：
第一次 0 1 2
第二次
3 3 4 5
4 4 5 6
5 5 6 7
树状图：
（4分）
所有可能出现的结果共有9种，芳香度之和等于4的结果有两种．
∴所选取两种不同添加剂的芳香度之和等于4的概率为 ．
【点评】考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实
验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分．）
18．【分析】（1）男篮门票总价+乒乓球门票总价＝12000，列方程即可求解；
（2）关系式为：男篮门票总价+乒乓球门票总价+足球门票总价≤12000；足球门票的费用≤男篮门
票的费用．据此列不等式即可求解．
【解答】解：（1）设预定男篮门票x张，则乒乓球门票（15﹣x）张，根据题意得
1000x+500（15﹣x）＝12000
解得x＝9
∴15﹣x＝15﹣9＝6．
答：这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各9张，6张；
（2）设足球门票与乒乓球门票数都预定y张，则男篮门票数为（15﹣2y）张，根据题意得解得
由y为正整数可得y＝5，15﹣2y＝5．
答：预订这三种球类门票各5张．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组．
19．【分析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（1，n）代入反比例函数解析式，即可
求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴1＝ ，解得m＝﹣2．
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵B（1，n）在反比例函数h上，
∴n＝﹣2，
∴B的坐标（1，﹣2），
把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y＝kx+b得 ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）由图象知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式
和一次函数的解析式．
20．【分析】（1）根据直方图可得总人数以及各小组的已知人数，进而根据其间的关系可计算C组的人数；
（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；
（3）首先计算样本中达国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达国家规定体育活动时
间的人数．
【解答】解：（1）根据题意有，C组的人数为300﹣20﹣100﹣60＝120；
（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故调查数
据的中位数落在C组；
（3）达国家规定体育活动时间的人数约占 ×100%＝60%．
所以，达国家规定体育活动时间的人约有24000×60%＝14400（人）；
故答案为：（1）120，
（2）C，
（3）达国家规定体育活动时间的人约有14400人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数的求法：
给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位
于中间两个数的平均数就是中位数．
21．【分析】（1）如果过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．不难得出△AOC和△BOD全
等，那么B的横坐标就是A点纵坐标的绝对值，B的纵坐标就是A点的横坐标的绝对值，由此可得
出B的坐标．
（2）已知了A，O的坐标，根据（1）求出的B点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的解析式可得出对称轴的解析式，然后根据B点的坐标得出B 的坐标，那么BB 就是
1 1
三角形的底边，B的纵坐标与A的纵坐标的差的绝对值就是△ABB 的高，由此可求出其面积．
1
【解答】解：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．
则∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°
∴∠OAC＝∠BOD．
在△ACO和△ODB中，∴△ACO≌△ODB（AAS）．
∴OD＝AC＝1，DB＝OC＝3．
∴点B的坐标为（1，3）．
（2）因抛物线过原点，
故可设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx．
将A（﹣3，1），B（1，3）两点代入，
得 ，
解得：a＝ ，b＝
故所求抛物线的解析式为y＝ x2+ x．
（3）在抛物线y＝ x2+ x中，对称轴l的方程是x＝﹣ ＝﹣
点B 是B关于抛物线的对称轴l的对称点，
1
故B 坐标（﹣ ，3）
1
在△AB B中，底边B B＝ ，高的长为2．
1 1
故S ＝ × ×2＝ ．
△AB1B【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质
等知识点．
五、（本大题共1小题，共10分）．
22．【分析】（1）、由同角的余角相等可得∠APB＝∠PQC，故△ABP∽△PCQ，有 ，代入BP，
AB，PC的值求得CQ的值；
（2）、取BP的中点H，连接EH，由三角形的中位线的性质可得四边形EHGF是直角梯形，由 ，
设CQ＝a，有BP＝2a，用含a的代数式表示出EH，FG，HP，HG，两用梯形和三角形的面积公式求
得S ＝S ﹣S 的值．
四边形EPGF 梯形EHGF △EHP
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠CPQ+∠PQC＝90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠CPQ+∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ ，即 ，
∴CQ＝3；（2）解法一：取BP的中点H，连接EH，由 ，
设CQ＝a，则BP＝2a，
∵E，F，G，H分别为AP，PQ，PC，BP的中点，
∴EH∥AB，FG∥CD，
又∵AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，
∴EH∥FG，EH⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EHGF是直角梯形，
∴EH＝ AB＝2，FG＝ CQ＝ a，HP＝ BP＝a，HG＝HP+PG＝ BC＝4，
∴S ＝ （EH+FG）•HG＝ （2+ a）•4＝4+a，S ＝ HP•EH＝ a•2＝a，
梯形EHGF △EHP
∴S ＝S ﹣S ＝4+a﹣a＝4；
四边形EPGF 梯形EHGF △EHP
解法二：连接AQ，由 ＝2，设CQ＝a，则BP＝2a，DQ＝4﹣a，PC＝8﹣2a，S S ﹣
△APQ＝ 矩形ABCD
S ﹣S ﹣S
△ABP △PCQ △ADQ
＝4×8﹣ •2a•4﹣ （8﹣2a）a﹣ ×8（4﹣a）
＝a2﹣4a+16
∵E，F，G分别是AP，PQ，PC的中点
∴EF∥AQ，EF＝ AQ．∴△PEF∽△PAQ
∴ ，S ＝ S ＝ （a2﹣4a+16）
△PEF △APQ
同理：S ＝ S ＝ a（8﹣2a）
△PFG △PCQ
∴S ＝S +S
四边形EPGF △PEF △PFG＝ （a2﹣4a+16）+ a（8﹣2a）＝4．
【点评】本题利用了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形和梯形的面积公式求解．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．【分析】（1）OA＝AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC＝60°，三角形AOC是个等边
三角形，因此∠OAC＝60°；
（2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A点的坐标也
就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO＝PA﹣OA得出OP的值．
（3）本题分两种情况：
以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情
①况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的
长求出PO．
以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设
②垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐
标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO
的值．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，AO＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°．
（2）∵CP与 A相切，
∴∠ACP＝90°⊙，
∴∠APC＝90°﹣∠OAC＝30°；
又∵A（4，0），
∴AC＝AO＝4，
∴PA＝2AC＝8，
∴PO＝PA﹣OA＝8﹣4＝4．（3） 过点C作CP ⊥OB，垂足为P ，延长CP 交 A于Q ；
1 1 1 1
∵OA①是半径， ⊙
∴ ，
∴OC＝OQ ，
1
∴△OCQ 是等腰三角形；
1
又∵△AOC是等边三角形，
∴P O＝ OA＝2；
1
过 A 作 AD⊥ OC ， 垂 足 为 D ， 延 长 DA 交 A 于 Q ， CQ 与 x 轴 交 于 P ；
2 2 2
② ⊙
∵A是圆心，
∴DQ 是OC的垂直平分线，
2
∴CQ ＝OQ ，
2 2
∴△OCQ 是等腰三角形；
2
过点Q 作Q E⊥x轴于E，
2 2
在Rt△AQ E中，
2
∵∠Q AE＝∠OAD＝ ∠OAC＝30°，
2
∴Q E＝ AQ ＝2，AE＝2 ，
2 2
∴点Q 的坐标（4+ ，﹣2）；
2在Rt△COP 中，
1
∵P O＝2，∠AOC＝60°，
1
∴ ，
∴C点坐标（2， ）；
设直线CQ 的关系式为y＝kx+b，则
2
，
解得 ，
∴y＝﹣x+2+2 ；
当y＝0时，x＝2+2 ，
∴P O＝2+2 ．
2
【点评】本题综合考查函数、圆的切线，等边三角形的判定以及垂径定理等知识点．要注意（3）中的
等腰三角形要按顶点和腰的不同来分类讨论．
