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2019年黑龙江省大庆市肇源县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（ ）
A．53006×10人 B．5.3006×105人
C．53×104人 D．0.53×106人
2．《习近平总书记系列重要讲话读本》中讲到“绿水青山就是金山银山”，我们要尊重自然、顺应自
然、保护自然的理念，贯彻节约资源和保护环境的基本国策．在下列环保标志中既是轴对称图形又
是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是
（ ）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．平分一组对角
4．下列说法错误的是（ ）
A．﹣2的相反数是2
B．3的倒数是
C．绝对值最小的数是0
D．﹣7，0，3这三个数中最小的数是0
5．不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不
放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（ ）A．三棱柱 B．正方体 C．三棱锥 D．长方体
7．样本数据3，a，4，b，8的平均数是5，众数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
8．一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，则m等于（ ）
A．﹣2 B．±2 C．﹣6或1 D．2
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果
EC＝3cm，则AE等于（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包
含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：
4a+2b＜0；
①
﹣1≤a≤ ；
②
对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；
③关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
④其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
12．若（a2）3•am＝a10，则m＝ ．13．某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对
两队女生身高情况（cm）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为
队（填甲或乙）会被录取，理由是 ．
平均数 标准差 中位数
甲队 1.72 0.038 1.73
乙队 1.69 0.025 1.70
14．一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为
15．由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，那么32017﹣31011的末位数字是
16．如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°
的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4km，则BC＝ km．
17．如图，CD是 O的直径，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．则 O的半
⊙ ⊙ ⊙
径是 ；若点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将 沿弦CE翻折，交CD于点F图中阴影部分
的面积是 ．
18．若反比例函数 的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分57分）
19．计算： ﹣（ ﹣3.14）0+|﹣6|+（ ）﹣2．
π20．一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是
一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：722去
掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅
力系数是4，记F（722）＝4．
（1）计算：F（304）+F（2052）；
（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、
b、c是整数），规定：G（m，n）＝ ．当F（m）+F（n）＝24时，求G（m，n）的值．
21．解不等式：4x+5≥1﹣2x．
22．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某
客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时
间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．
23．为了解我县中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成
绩分成如下四个组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，并制作出如下的
扇形统计图和直方图．请根据图表信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中的m＝ ，并在图中补全频数分布直方图；
（2）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组；
（3）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A，C两组学生的
概率是多少？请列表或画树状图说明．
24．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形．
（1）求证▱：四边形ABCD是菱形．
（2）若AC＝8，AB＝5，求ED的长．25．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点（点A在
1
点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣ x＞ 的解集；
（3）将直线l ：y＝ x沿y向上平移后的直线l 与反比例函数y＝ 在第二象限内交于点C，如果
1 2
△ABC的面积为30，求平移后的直线l 的函数表达式．
2
26．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如
表：
x/元 … 15 20 25 …
y/件 … 25 20 15 …
已知日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？
27．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，
设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也
与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的 D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条
件： ． ⊙
四．解答题（共1小题，满分9分，每小题9分）
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰
直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准
蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是 ．
（2）抛物线y＝ 对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ ，对应的碟宽AB是 ．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣ （a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
求抛物线的解析式；
①在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（x
p
，y
p
），使得∠APB为锐角，若有，请求出y
p
的取值
②范围．若没有，请说明理由．2019 年黑龙江省大庆市肇源县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．
【解答】解：∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选：B．
【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项正确；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．【分析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相
平分．
【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线
互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互
相平分．
故选：C．
【点评】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质．
4．【分析】根据相反数的定义对A进行判断；根据倒数的定义对B进行判断；根据绝对值的意义对C
进行判断；利用正数都大于0； 负数都小于0对D进行判断．
【解答】解：A、﹣2的相反数是2，所以A选项的说法正确；
B、3的倒数是 ，所以B选项的说法正确；
C、绝对值最小的数是0，所以C选项的说法正确；D、﹣7，0，3这三个数中最小的数是﹣7，所以D选项的说法错误．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数； 两个
负数，绝对值大的其值反而小．也考查了绝对值和相反数．
5．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2 种，
所以两次都摸到白球的概率是 ＝ ，
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ 是解题关键．
6．【分析】根据三视图得出几何体为三棱柱即可．
【解答】解：由主视图和俯视图可得几何体为三棱柱，
故选：A．
【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三
视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高
考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．
7．【分析】先根据平均数为5得出a+b＝10，由众数是3知a、b中一个数据为3、另一个数据为7，再根
据中位数的定义求解可得．
【解答】解：∵数据3，a，4，b，8的平均数是5，
∴3+a+4+b+8＝25，即a+b＝10，
又众数是3，
∴a、b中一个数据为3、另一个数据为7，
则数据从小到大为3、3、4、7、8，∴这组数据的中位数为4，
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列
后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现
次数最多的数．
8．【分析】设方程的两根是a，b，根据根与系数的关系得到a+b＝0，代入求出m，再根据根的判别式判
断即可．
【解答】解：设方程的两根是a，b，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，
∴互为相反数的两个数的和为0，
，即由根与系数的关系得：a+b＝﹣ ＝0，且m﹣1≠0，
∴m＝±2，
当△＝（m2﹣4）2﹣4（m﹣1）（m+5）≥0，
当m＝2时，△＜0，舍去，
当m＝﹣2时，△＞0，符合，
故选：A．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系等知识点的理解和掌
握，能得出﹣ ＝0和m﹣1≠0、△≥0是解此题的关键．
9．【分析】求出AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°，求出DE＝CE＝3cm，根据含30度角的直角三角
形性质求出即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性
质的应用，关键是求出∠A＝30°和得出DE的长．
10．【分析】 由抛物线的顶点横坐标可得出b＝﹣2a，进而可得出4a+2b＝0，结论 错误；
① ①
利用一次函数图象上点的坐标特征结合b＝﹣2a可得出a＝﹣ ，再结合抛物线与y轴交点的
②
位置即可得出﹣1≤a≤﹣ ，结论 正确；
②
由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，
③a+b≥am2+bm总成立，结论 正确；
由抛物线的顶点坐标可得③出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线下移可得出
④抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两
个不相等的实数根，结合 正确．
综上，此题得解． ④
【解答】解： ∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
①
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴4a+2b＝0，结论 错误；
∵抛物线y＝ax2①+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
②∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴a＝﹣ ．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，∴﹣1≤a≤﹣ ，结论 正确；
②
∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
③∴n＝a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论 正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），③
④∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，结合 正确．
故选：C． ④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察
函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的
范围．
【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．【分析】由（a2）3•am＝a6•am＝a6+m＝a10知6+m＝10，解之可得．【解答】解：（a2）3•am＝a6•am＝a6+m，
由题意知6+m＝10，
解得m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；积的
乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．
13．【分析】先比较甲队的标准差与乙队的标准差，再根据标准差的意义即可得出答案．
【解答】解：乙队被录取，理由为：
∵甲队的标准差是0.038、乙队的标准差是0.025，乙队的标准差小于甲队的标准差，而标准差越小
数据的波动越小，
∴乙队的身高数据波动小，即比较整齐，
∴乙队被录取；
故答案为：乙，乙队的标准差较小，身高比较整齐．
【点评】本题考查了标准差及中位数的知识，标准差是反映一组数据的波动大小的一个量．标准差
越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性
越好．
14．【分析】根据等腰三角形的一个外角等于110°，进行讨论可能是底角的外角是110°，也有可能顶角
的外角是110°，从而求出答案．
【解答】解： 当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°，
当110°外角①是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°，
②
则底角为：（180°﹣70°）× ＝55°，
∴底角为70°或55°．
故答案为：70°或55°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情
况．
15．【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2017和1011分别除以4，余
数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【解答】解：已知31＝3，末位数字为3，
32＝9，末位数字为9，
33＝27，末位数字为7，34＝81，末位数字为1，
35＝243，末位数字为3，
36＝729，末位数字为9，
37＝2187，末位数字为7，
38＝6561，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又∵2017÷4＝504…1，1011÷4＝252…3，
∴32017的末位数字为3与31011的末位数字为7，
则32017﹣31011的末位数字是6，
故答案为：6．
【点评】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、
1四个数字为一循环是解决问题的关键．
16．【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得
BC的长．
【解答】解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC•sin∠CAD＝4× ＝2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD＝90°，
∴BC＝ CD＝2 （km），
故答案是：2 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得BC的长是关键．
17．【分析】根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得 O的半径；要求阴影部分的面
积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和⊙三角形的面积即可解答本题．
【解答】解：连接AO，如右图1所示，
∵CD为 O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
⊙
∴AG＝ ＝4，
∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设 O的半径为5k，则OG＝3k，
∴（3⊙k）2+42＝（5k）2，
解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），
∴5k＝5，
即 O的半径是5；
如⊙图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S ＝S ，
阴影 弓形CBM
连接OM，则∠MOD＝60°，
∴∠MOC＝120°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN＝MO•sin60°＝5× ，
∴S ＝S ﹣S ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
阴影 扇形OMC △OMC
即图中阴影部分的面积是： ﹣ ．
故答案为：5， ﹣ ．【点评】本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想解答问题．
18．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴1﹣3k≥0，解得k＜ ．
故答案为：k＜ ．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝ （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，
双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键．
三．解答题（共9小题，满分57分）
19．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质以及算术平方根的定义分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+6+4＝11．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．【分析】（1）根据题意代入就可以解决．
（2）根据题意列出方程，再根据解的整数性解出a，b，c的值，再代入G（m，n）可求值．
【解答】解：（1）∵30+2×4＝38，38÷19＝2，∴（F304）＝2，∵205+2×2＝209，209÷19＝11，∴F（2052）＝11，
∴F（304）+F（2052）＝13；
（2）∵m＝3030+101a＝3000+100a+30+a，
∴ ，
∵m是魅力数，∴ 是整数，
∵0≤a≤9，且a是偶数，∴a＝0，2，4，6，8．
当a＝0时， 不符合题意，
当a＝2时， ＝ 不符合题意，
当a＝4时，当 不符合题意，
当a＝6时，当 不符合题意，
当a＝8时，当 符合题意，
∴a＝8，此时m＝3838，F（m）＝F（3838）＝21，
又∵F（m）+F（n）＝24，∴F（n）＝3，
∵n＝400+10b+c，∴ ，
∴b+2c＝17，
∵n是魅力数，∴c是偶数，
又∵0≤c≤9，∴c＝0，2，4，6，8，
当c＝0时，b＝17不符合题意，
当c＝2时，b＝13不符合题意，当c＝4时，b＝9符合题意，此时 ，
当c＝6时，b＝5符合题意，此时 ，
当c＝8时，b＝1符合题意，此时 ．
故G（m，n）的值为 或 或0．
【点评】本题主要考查因式分解的应用和列代数式及整式的化简，难度适中．
21．【分析】先移项，然后合并同类项，化系数为1即可．
【解答】解：4x+5≥1﹣2x，
移项得：4x+2x≥1﹣5，
合并同类项得：6x≥﹣4，
系数化为1得：x≥﹣ ．
【点评】此题考查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
22．【分析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A地道B的速度＝客车由普通公路的
速度+45，列出方程，解出检验并作答．
【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，
根据题意得： ，
解得x＝4
经检验，x＝4原方程的根，
答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
根据速度＝路程÷时间列出相关的等式，解答即可．
23．【分析】（1）先利用A组的频数与它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出C组人数，然后
用360乘以C组所占的百分比得到m的值，最后补全频数统计图；
（2）利用中位数的定义进行判断；（3）通过列表展示所有12种等可能结果，再找出抽到A、C组人的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的总人数为30÷ ＝300（人），
C组人数为300﹣30﹣90﹣60＝120（人），
所以m＝360× ＝144；
补全图形如下：
（2）第150个数据和第151个数据在C组，所以数据的中位数在C组，
所以他的成绩在C组
故答案为144，C；
（3）列表如下：
D BD CD
AD
C AC BC DC
B AB CB DB
A BA CA DA
A B C D
由表可知共有12种等可能结果，抽到A、C组人的共有两种结果，
∴P ＝ ＝ ．
（AC）
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中
选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统
计图．24．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AO＝CO，根据等边三角形的性质得出EA＝EC，推出
EO⊥AC，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出BO，求出DO，根据勾股定理求出EO，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵△EAC是等边三角形，
∴EA＝EC，
∴EO⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，
∴AO＝CO＝4，DO＝BO，
在Rt△ABO中，BO＝ ＝3，
∴DO＝BO＝3，
在Rt△EAO中，EO＝ ＝4 ，
∴ED＝EO﹣DO＝4 ﹣3．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，等边三
角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．
25．【分析】（1）直线l 经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k
1
的值；
（2）依据直线l ：y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，即可得到不等式﹣ x＞ 的
1
解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）设平移后的直线l 与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC的面积与
2
△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l 的函数表达式．
2
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝﹣ x经过点A，A点的纵坐标是2，
1
∴当y＝2时，x＝﹣4，∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝ 的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ；
（2）∵直线l ：y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，
1
∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣ x＞ 的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l 与x轴交于点D，连接AD，BD，
2
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S +S ＝30，即 OD（|y |+|y |）＝30，
△AOD △BOD A B
∴ ×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l 的函数表达式为y＝﹣ x+b，
2
把D（15，0）代入，可得0＝﹣ ×15+b，
解得b＝ ，∴平移后的直线l 的函数表达式为y＝﹣ x+ ．
2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上
点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC的面
积与△ABD的面积相等，得到D点的坐标为（15，0）．
26．【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可求出日销售量y
（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）根据题意可以计算出当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润．
【解答】解：（1）设日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝kx+b，
，
解得， ，
即日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝﹣x+40；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是：（35﹣10）（﹣35+40）＝25×5＝125
（元），
即当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是125元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
27．【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑： 当∠PEF＝∠EAB时，则得
到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值； 当∠PEF＝∠AEB时，再①结合（1）中的结论，得到等腰
△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到②F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进
行求解．
（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠ABE＝90°，AD∥BC，
∴∠PAF＝∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA＝90°＝∠ABE，
∴△PFA∽△ABE． …
（2）解：分二种情况：
若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB，
①∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA＝EB＝3，即x＝3． …
若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB，
②∵AD∥BC
∴∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∴EF＝ AE＝ ，
∵△PFE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，∴PE＝ ，即x＝ ．
∴满足条件的x的值为3或 ． …
（3）如图3，当 D与AE相切时，设切点为G，连接DG，
∵AP＝x， ⊙
∴PD═DG＝6﹣x，
∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，
∴△AGD∽△EBA，
∴ ，
∴ ＝ ，
x＝ ，
当 D过点E时，如图4， D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，
∴⊙AP＝x＝6﹣5＝1， ⊙
∴当以D为圆心，DP为半径的 D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝ 或0≤x＜
⊙
1；
故答案为：x＝ 或0≤x＜1．…（12分）【点评】本题是矩形和圆的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线
段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．
四．解答题（共1小题，满分9分，每小题9分）
28．【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；
（3） 根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；
①
根据y＝ x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．
②
【解答】解：（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝ AB，
如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，
∴MN⊥AB，MN＝ AB，
故答案为：MN⊥AB，MN＝ AB；
（2）∵抛物线y＝ 对应的准蝶形必经过B（m，m），
∴m＝ m2，
解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），
当m＝2则，2＝ x2，
解得：x＝±2，
则AB＝2+2＝4；
故答案为：2，4；
（3） 由已知，抛物线对称轴为：y轴，
①
∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣ （a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣ （a＞0），得，9a﹣4a﹣ ＝0，
解得：a＝ ，
∴抛物线的解析式是：y＝ x2﹣3；
由 知，如图2，y＝ x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，
② ①
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，y 的取值范围是y ＜﹣3或y ＞3．
p p p
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性
质是解题关键．
