文档内容
2019-2020 学年松雷中学九年级（上）月考数学试卷（10 月
份）
一．选择题（共10小题）
1．|﹣9|的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C．3 D．没有
2．下列运算一定正确的是（ ）
A．（m+n）2＝m2+n2 B．（mn）3＝m3n3
C．（m3）2＝m5 D．m•m2＝m2
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，点C是劣弧AB上一动点（不与A，B重
合），∠P＝70°，则∠⊙C＝（ ）A．110° B．115° C．120° D．125°
6．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的
抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（1，4） B．（4，4） C．（﹣2，6） D．（4，6）
7．某种衬衫的价格经过连续两次的降价后，由每件150元降到96元，则平均每次降价的
百分率是（ ）
A．10% B．15% C．20% D．30%
8．下列方程中，方程的解是x＝3的是（ ）
A．2x﹣5＝3 B． ﹣ ＝1
C．3x+（10﹣x）＝20 D．2x2﹣6＝4x
9．下列各点中，在函数y＝2x﹣1的图象上的点是（ ）
A．（l，3） B．（2.5，4） C．（﹣2.5，﹣4） D．（0，1）
10．如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的
是（ ）▱
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．将数578000用科学记数法表示为 ．
12．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
13．把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是 ．14．不等式组 的解集是 ．
15．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+8的最大值是 ．
16．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当
点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是 ．
17．一个扇形的弧长是20 cm，半径是24cm，则此扇形的圆心角是 度．
18．如图，AB是 O的直π径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是
． ⊙
19．在△ABC中，∠B＝45°，AB＝8 ，AC＝10，则△ABC的面积为 ．
20．在等边△ABC中，点D在AB的延长线上，点E在AC上，AE＝BD，DE交BC于点
F，连接CD，∠EDC＝2∠ADE，S△CDE ＝2，则CF的长为 ．
三．解答题（共4小题）
21．先化简，再求代数式（1﹣ ）÷ 的值，其中a＝4cos30°+3tan45°．
22．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为
1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AC为对角线、周长为20的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上，并求出BD的长；
（2）在图2中画一个以线段AC为对角线、面积为10的四边形ABCD，且点B和点D
均在小正方形的顶点上．
23．某中学计划购买一些文具送给学生，为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔
四种文具中，你最需要的文具是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校内随机抽
取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你
根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算求出最需要圆规的学生的百分比并补全条形统计图；
（3）若全校有970名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名？
24．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，点E为AD的中点，连接BE、BD，∠ABD
＝90°．
（1）如图l，求证：四边形BCDE为菱形；
（2）如图2，连接AC交BD于点F，连接EF，若AC平分∠BAD，在不添加任何辅助
线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ABC
面积的 ．25.为开展“阳光大课间”活动，某中学准备一次性购买若干付乒乓球拍和羽毛球拍（每付
乒乓球拍的价格相同，每付羽毛球拍的价格相同），若购买3付乒乓球拍和2付羽毛球
拍，则需420元；若购买2付乒乓球拍和5付羽毛球拍，则需720元．
问：（1）购买一付乒乓球拍和一付羽毛球拍各需多少元？
（2）若该中学实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60付，要求购买乒乓球拍和
羽毛球拍的总费用不超过5800元，这所中学最多可以购买多少付羽毛球拍？
26.△ABC内接于 O，点D在BC上，连接AD、BO，AD＝AC．
（1）如图1，⊙求证：∠DAC＝2∠ABO；
（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE交BC于点F，∠CAE＝3∠DAE，连接BE，
DE，若∠EDC＝ ∠EBC+60°，求∠DEA的度数：
（3）如图3，在（2）的条件下，若tan∠ACB＝2，AE＝2 +1，求半径BO的长．
27.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x﹣3与x轴交于点A，与y
轴交于点B，直线y＝2x﹣6与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线AB与直线CD相交
于点E．
（1）求线段BE的长；
（2）点F在线段OC上，连接BF，过点A做AH⊥BF于点H，AH交y轴于点G，设点
F的横坐标为t，线段DG为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值
范围）；（3）在（2）的条件下，延长AH交直线CD于点P，连接PF，∠BFP＝2∠PAC，点Q
在第三象限内，QB∥AC，连接QP、QC，当QP平分∠CQB时，求QP的长．参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．|﹣9|的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C．3 D．没有
【分析】首先计算|﹣9|＝9，然后再找出9的相反数．
【解答】解：|﹣9|＝9，
9的相反数是﹣9，
故选：A．
2．下列运算一定正确的是（ ）
A．（m+n）2＝m2+n2 B．（mn）3＝m3n3
C．（m3）2＝m5 D．m•m2＝m2
【分析】分别根据完全平方公式，积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂
的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：（m+n）2＝m2+2mn+n2，故选项A不合题意；
（mn）2＝m2n2，正确，故选项B符合题意；
（m3）2＝m6≠m5，故选项C不符合题意；
m•m2＝m3≠m2，故选项D不符合题意．
综上，故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：A．
5．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，点C是劣弧AB上一动点（不与A，B重
合），∠P＝70°，则∠⊙C＝（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】连结OA、OB，∠ADB为弧AB所对的圆周角，如图，根据切线的性质得
∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形内角和可计算出∠AOB＝110°，接着根据圆周角定
理得到∠D＝ ∠AOB＝55°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数．
【解答】解：连结OA、OB，∠ADB为弧AB所对的圆周角，如图，
∵PA，PB分别与 O相切于A，B两点，
⊙∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠D＝ ∠AOB＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣∠D＝125°．
故选：D．
6．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的
抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（1，4） B．（4，4） C．（﹣2，6） D．（4，6）
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出
平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（4，4）．
故选：B．
7．某种衬衫的价格经过连续两次的降价后，由每件150元降到96元，则平均每次降价的
百分率是（ ）
A．10% B．15% C．20% D．30%
【分析】如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1﹣x）倍，连降
两次就是降到原来的（1﹣x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1﹣x）2，即可列方程
求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
则可以得到关系式：150×（1﹣x）2＝96，
解得x＝0.2或1.8，x＝1.8不符合题意，舍去，
故x＝0.2．
答：平均每次降价的百分率是20%．
故选：C．
8．下列方程中，方程的解是x＝3的是（ ）
A．2x﹣5＝3 B． ﹣ ＝1
C．3x+（10﹣x）＝20 D．2x2﹣6＝4x
【分析】分别求出各项中方程的解，即可作出判断．
【解答】解：A、移项合并得：2x＝8，
解得：x＝4，不符合题意；
B、去分母得：3x+3﹣4x+2＝6，
解得：x＝﹣1，不符合题意；
C、去括号得：3x+10﹣x＝20，
移项合并得：2x＝10，
解得：x＝5，不符合题意；
D、方程整理得：x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，符合题意，
故选：D．
9．下列各点中，在函数y＝2x﹣1的图象上的点是（ ）
A．（l，3） B．（2.5，4） C．（﹣2.5，﹣4） D．（0，1）
【分析】分别代入各点的横坐标求出y值，与该点纵坐标比较后即可得出结论．
【解答】解：当x＝1时，y＝2x﹣1＝3；
当x＝2.5时，y＝2x﹣1＝4；
当x＝﹣2.5时，y＝2x﹣1＝﹣6；
当x＝0时，y＝2x﹣1＝﹣1．
故选：B．
10．如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的
是（ ）▱A． B． C． D．
【分析】由EM∥AD，EN∥CD，根据平行线分线段成比例定理，可得证得 ，
＝ ＝ ， ， ，又由四边形ABCD是平行四边形，易得 ，
则可求得答案．
【解答】解：A、∵EM∥AD，
∴ ，故正确；
B、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，故正确；
C、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴ ， ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∴ ，故正确；
D、∵EN∥CD，
∴ ，故错误．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．将数578000用科学记数法表示为 5.78×1 0 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将578000用科学记数法表示为：5.78×105．
故答案为：5.78×105．
12．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≠ ．
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
3x﹣4≠0，
解得x≠ ，
故答案为：x≠ ．
13．把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是 a （ a ﹣ 3 b ） 2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：a3﹣6a2b+9ab2
＝a（a2﹣6ab+9b2）
＝a（a﹣3b）2．
故答案为：a（a﹣3b）2．
14．不等式组 的解集是 x ≤ 2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式 得：x≤2，
①
解不等式 得：x＞ ，
②
∴不等式组的解集为 x≤2，
故答案为： x≤2．
15．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+8的最大值是 8 ．
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（1，8），也就是当x＝1
时，函数有最大值8．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+8，∴此函数的顶点坐标是（1，8），
即当x＝1时，函数有最大值8．
故答案是8．
16．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当
点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是 75 ° ．
【分析】由旋转的性质可知△ABC≌△CED，AC与CD对应相等，∠ECD与∠ACB对
应相等，从而通过等腰三角形内角和关系可求∠DAC的度数
【解答】解：由旋转的性质可知
△ABC≌△CED
∴AC＝CD，∠ECD＝∠ACB＝30°
∴∠DAC＝∠ADC＝75°
故答案为75°
17．一个扇形的弧长是20 cm，半径是24cm，则此扇形的圆心角是 15 0 度．
π
【分析】直接利用弧长公式l＝ 即可求出n的值，计算即可．
【解答】解：根据l＝ ＝ ＝20 ，
π
解得：n＝150，
故答案为：150．
18．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是
6 ． ⊙
【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．
【解答】解：连接OC，∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2⊙CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝ ＝3，
∴CD＝2CE＝6，
故答案为：6．
19．在△ABC中，∠B＝45°，AB＝8 ，AC＝10，则△ABC的面积为 8 或 5 6 ．
【分析】此题应考虑两种情况：该三角形是锐角三角形或钝角三角形．作BC边上的高
AD．根据等腰直角三角形的性质求得AD和BD的长，再根据勾股定理求得CD的长，
从而分别根据两种不同的情况求得BC的长，最后根据三角形的面积公式进行计算．
【解答】解：作BC边上的高AD．
在直角三角形ABD中，∠B＝45°，AB＝8 ，
∴AD＝BD＝4．
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，CD＝ ＝ ＝6，
当三角形ABC是钝角三角形时，则BC＝BD﹣CD＝8﹣6＝2，则三角形ABC的面积＝
×2×8＝8；
当三角形ABC是锐角三角形时，则BC＝BD+CD＝6+8＝14，则三角形ABC的面积＝
×14×8＝56．
所以三角形ABC的面积是8或56．
故答案为8或56．20．在等边△ABC中，点D在AB的延长线上，点E在AC上，AE＝BD，DE交BC于点
F，连接CD，∠EDC＝2∠ADE，S△CDE ＝2，则CF的长为 2 ．
【分析】如图所示：延长CB到H，使得BH＝BD．连接DH，作CG⊥DE于G．证明
△DAE≌△CHD（SAS），推出DC＝DE，设DC＝DE＝a，∠ADE＝ ，则∠EDC＝
2 ，∠DEC＝∠DCE＝ +60°，可得2 +120°+2 ＝180°，推出 ＝15°，α推出∠EDC＝
3α0°，利用三角形的面积公α 式构建方程求α出a，再α证明GF＝GC即α可解决问题．
【解答】解：如图所示：延长CB到H，使得BH＝BD．连接DH，作CG⊥DE于G．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠DBH＝60°，BA＝BC，
∵BD＝BH，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠H＝∠A＝60°，BD＝AH＝AE，
∵AD＝CH，
∴△DAE≌△CHD（SAS），
∴DC＝DE，设DC＝DE＝a，∠ADE＝ ，则∠EDC＝2 ，∠DEC＝∠DCE＝ +60°，
∴2 +120°+2 ＝180°， α α α
∴ α＝15°， α
∴α∠EDC＝30°，
∵CG⊥DE，
∴∠CGD＝90°，∴CG＝ CD＝ a，
∵S△CDE ＝ •a• a＝2，
∴a＝2 或﹣2 （舍弃），
∴CG＝ ，
∵∠FCD＝∠ECD﹣∠ACB＝75°﹣60°＝15°，
∴∠GFC＝∠FDC+∠FCD＝45°，
∴FG＝CG＝ ，
∴CF＝ ＝ ＝2，
故答案为2．
三．解答题（共4小题）
21．先化简，再求代数式（1﹣ ）÷ 的值，其中a＝4cos30°+3tan45°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a＝4cos30°+3tan45°时，
所以a＝2 +3
原式＝ •
＝
＝
22．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为
1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AC为对角线、周长为20的四边形ABCD，且点B和点D
均在小正方形的顶点上，并求出BD的长；
（2）在图2中画一个以线段AC为对角线、面积为10的四边形ABCD，且点B和点D
均在小正方形的顶点上．【分析】（1）作一边长为5的菱形即可得；
（2）作一边长为5、且这条边上的高为2的平行四边形可得．
【解答】解：（1）如图1所示，四边形ABCD即为所求，
BD＝ ＝4 ；
（2）如图2，四边形ABCD即为所求．
23．某中学计划购买一些文具送给学生，为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔
四种文具中，你最需要的文具是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校内随机抽
取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你
根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算求出最需要圆规的学生的百分比并补全条形统计图；
（3）若全校有970名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名？
【分析】（1）由最需要直尺的学生数除以占的百分比求出总人数；（2）确定出最需要圆规的学生数，用需要圆规的学生数除以总人数可得其百分比，再
补全条形统计图即可；
（2）求出最需要钢笔的学生占的百分比，乘以970即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），
答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；
（2）需要圆规的学生数为：60﹣（21+18+6）＝15（名），
∴最需要圆规的学生的百分比为 ×100%＝25%，
补全条形图如下：
（2）根据题意得：970× ＝97（名），
则估计全校学生中最需要钢笔的学生有97名．
24．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，点E为AD的中点，连接BE、BD，∠ABD
＝90°．
（1）如图l，求证：四边形BCDE为菱形；
（2）如图2，连接AC交BD于点F，连接EF，若AC平分∠BAD，在不添加任何辅助
线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ABC
面积的 ．【分析】（1）由题意可得DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证
明BE＝DE即可解决问题；
（2）由题意可证△BFC∽△DFA，由相似三角形的性质可得 ，FD＝2BF，由三
角形的中线性质和菱形性质可求解．
【解答】证明（1）∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）△ABF，△AEF，△DEF，△DCF
理由如下：∵BC∥AD
∴△BFC∽△DFA
∴ ＝
∴ ，FD＝2BF
∴S△ABF ＝ S△ABC ，
∵FD＝2BF
∴S△AFD ＝2S△ABF ，且点E是AD中点
∴S△AEF ＝S△EFD ＝S△ABF ＝ S△ABC ，
∵四边形BEDC是菱形，∴ED＝CD，∠BDE＝∠BDC，且DF＝DF
∴△DEF≌△DCF（SAS）
∴S△DCF ＝S△DEF ＝S△ABF ＝ S△ABC ，
25.为开展“阳光大课间”活动，某中学准备一次性购买若干付乒乓球拍和羽毛球拍（每付
乒乓球拍的价格相同，每付羽毛球拍的价格相同），若购买3付乒乓球拍和2付羽毛球
拍，则需420元；若购买2付乒乓球拍和5付羽毛球拍，则需720元．
问：（1）购买一付乒乓球拍和一付羽毛球拍各需多少元？
（2）若该中学实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60付，要求购买乒乓球拍和
羽毛球拍的总费用不超过5800元，这所中学最多可以购买多少付羽毛球拍？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设购买一付乒乓球拍x元，一付羽毛球拍y元，由购买3付乒乓球拍和2
付羽毛球拍共需420元，购买2付乒乓球拍和5付羽毛球拍共需720元，可得出方程组，
解出即可．
（2）设最多可购买m付羽毛球拍，则购买乒乓球拍（60﹣m）付，根据购买足球和篮
球的总费用不超过5800元建立不等式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设购买一付乒乓球拍x元，一付羽毛球拍y元，
由题意得， ，
解得： ．
答：购买一付乒乓球拍60元，一付羽毛球拍120元．
（2）设最多可购买m付羽毛球拍，则购买乒乓球拍（60﹣m）付，
由题意得，120m+60（60﹣m）≤5800，
解得：m≤40，
即可得这所中学最多可购买40付羽毛球拍．
答：这所中学最多可购买40付羽毛球拍．
26.△ABC内接于 O，点D在BC上，连接AD、BO，AD＝AC．
（1）如图1，⊙求证：∠DAC＝2∠ABO；
（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE交BC于点F，∠CAE＝3∠DAE，连接BE，DE，若∠EDC＝ ∠EBC+60°，求∠DEA的度数：
（3）如图3，在（2）的条件下，若tan∠ACB＝2，AE＝2 +1，求半径BO的长．
【分析】（1）由OA＝OB，可得∠ABO＝ （180°﹣∠AOB），由圆周角定理和三角形
内角和定理可得∠DAC＝2∠ABO；
（2）过点A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质可得∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，
∠ADH+2∠DAE＝90°，由三角形内角和定理可求解；
（3）如图3，过点D作DG⊥AE交AH的延长线于点G，连接GC，OE，CE，过点B作
BN⊥AE于N，通过证明△DEG是等边三角形，可得DG＝EG＝DE，∠DGE＝60°，可
得∠BAE＝∠BCE＝30°，由直角三角形的性质和锐角三角函数可求BN的长，即可求解．
【解答】解：（1）连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝ （180°﹣∠AOB），
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C，
∴∠DAC＝180°﹣2∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠DAC＝180°﹣∠AOB，
∴∠AOB＝180°﹣∠DAC，∴∠ABO＝ （180°﹣∠AOB）＝ [180°﹣（180°﹣∠DAC）]＝ ，
即∠DAC＝2∠ABO；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC于H，
∵∠CAE＝3∠DAE，
∴∠CAD＝4∠DAE，
∵AD＝AC，AH⊥BC，
∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠ADH+2∠DAE＝90°，
∵∠EDC＝ ∠EBC+60°，∠EBC＝∠EAC，
∴∠EDC＝ ∠EAC+60°＝∠DAE+60°，
∵∠AED+∠DAE+∠ADH+∠EDC＝180°，
∴∠DEA+∠DAE+∠DAE+60°+∠ADH＝180°，
∴∠DEA+90°+60°＝180°，
∴∠DEA＝30°，
（3）如图3，过点D作DG⊥AE交AH的延长线于点G，连接GC，OE，CE，过点B作
BN⊥AE于N，∵∠CAD＝4∠DAE，AD＝AC，AH⊥DC，
∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，AH是CD的中垂线，
∴∠DAE＝∠FAH，
∵DG⊥AE，∠DAE＝∠FAH，
∴∠ADG＝∠AGD，
∴AD＝AG，且∠DAE＝∠FAH，AE＝AE，
∴△ADE≌△AGE（SAS）
∴∠AED＝∠AEG＝30°，DE＝EG，
∴∠DEG＝60°，
∴△DEG是等边三角形，
∴DG＝EG＝DE，∠DGE＝60°，
∵AH是CD的中垂线，
∴DG＝GC，
∴DG＝GC＝EG，
∴点D，点G，点E 在以点G为圆心，DG为半径的圆上，
∴∠DCE＝ ∠DCE＝30°，
∴∠BAE＝∠BCE＝30°，
∴∠BOE＝60°，且BO＝OE，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝BO，
∵∠BAE＝30°，BN⊥AE，
∴AN＝ BN
∵∠ACB＝∠AEB，
∴tan∠ACB＝tan∠AEB＝2＝ ，
∴EN＝ BN，
∵AE＝EN+AN，
∴2 +1＝ BN+ BN，
∴BN＝2，
∴EN＝1，∴BE＝ ＝ ＝ ，
∴BO＝ ．
27.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x﹣3与x轴交于点A，与y
轴交于点B，直线y＝2x﹣6与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线AB与直线CD相交
于点E．
（1）求线段BE的长；
（2）点F在线段OC上，连接BF，过点A做AH⊥BF于点H，AH交y轴于点G，设点
F的横坐标为t，线段DG为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值
范围）；
（3）在（2）的条件下，延长AH交直线CD于点P，连接PF，∠BFP＝2∠PAC，点Q
在第三象限内，QB∥AC，连接QP、QC，当QP平分∠CQB时，求QP的长．
【分析】（1）由题意可求点A，点B，点C，点D坐标，两个解析式组成方程组，可求
点E坐标，由两点距离公式可求BE的长；
（2）由待定系数法可求BF解析式，可得AH解析式，可得点G坐标，可求解；
（3）先求点P坐标，由相似三角形的性质可求t的值，即可得点P坐标，由平行线的性
质可求CM＝CQ，由两点距离公式可求点Q坐标，即可求PQ的长．
【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣3，0），B（0，﹣3），C（3，0），D（0，﹣
6），
由题意可得：
解得
∴E（1，﹣4），
∴BE＝ ；（2）∵点F在线段OC上，点F的横坐标为t，
∴F（t，0），
∴直线BF的解析式y＝ x﹣3，
∵AH⊥BF，
∴AH的直线解析式y＝﹣ x﹣t，
∴G（0，﹣t），
∴DG＝﹣t+6，
∴d＝﹣t+6；
（3）如图1，过点P作PN⊥FC，延长QP交x轴于点M，
∵直线AP与CD相交于点P，
∴
解得：
∴点P（ ， ）
∴PN＝ ，FN＝ ﹣t，
∵∠BFP＝2∠PAC，且∠PAC+∠AFB＝90°，∠AFB+∠BFP+∠CFP＝180°，
∴∠PAC+∠CFP＝90°，
∴∠BFA＝∠PFC，且∠BOF＝∠PNF＝90°，
∴△BFO∽△PFN，∴ ，
∴ ＝
∴t＝﹣3（不合题意舍去），t＝ ，
∴点P（2，﹣2）
设点Q为（a，﹣3），
∴直线PQ解析式为：y＝ x+ ，
∴当y＝0时，x＝6﹣2a，
∴点M（6﹣2a，0），
∵QP平分∠CQB，
∴∠CQM＝∠BQM，
∵AC∥BQ，
∴∠CMQ＝∠MQB，
∴∠CQM＝∠CMQ，
∴CQ＝MC，
∴（3﹣a）2+（0+3）2＝（6﹣2a﹣3）2，
∴a＝﹣1，a＝3（不合题意舍去）
∴点Q（﹣1，﹣3）
∴PQ＝
