文档内容
2019年四川省巴中市平昌县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列关系一定成立的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝b，则a＝b
C．若|a|＝﹣b，则a＝b D．若a＝﹣b，则|a|＝|b|
2．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a5 B． ＝±2
C．m2•m3＝m6 D．x3﹣2x3＝﹣x3
3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆
盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010
4．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．把不等式组 中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与
△EBC的周长分别是40，24，则AB为（ ）A．8 B．12 C．16 D．20
7．在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图，在这三人中，此次射击成绩最稳
定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
8．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若
AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4 ，则S ＝（ ）
阴影A．2 B． C． D．
π π π π
10．对于抛物线y＝﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（ ）
抛物线的开口向下； 对称轴是直线x＝﹣2；
①图象不经过第一象限； ②当x＞2时，y随x的增大而减小．
③A．4 B．3 ④ C．2 D．1
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝ ．
12．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝35°，则∠2的度数为 ．
13．若代数式 有意义，则m的取值范围是 ．
14．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是 ．
15．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点．动点P从A点出发，以每秒1cm的
速度沿A﹣B﹣C﹣E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当x＝ 时，△APE
的面积等于5．
16．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时
针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，过E点作EH⊥CD于H，则EH的长为 ．17．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过
象限．
18．已知x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则 ＝ ．
1 2
19．如图，直线 ，点A 坐标为（1，0），过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，
1 1 1
OB 长为半径画弧交x轴于点A ；再过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB 长
1 2 2 2 2
为半径画弧交x轴于点A ，…，按此做法进行下去，点A 的坐标为 ．
3 n
20．如图，AB是 O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作 O的切线，切点为F，
若∠ACF＝6⊙4°，则∠E＝ ． ⊙
三．解答题（共11小题，满分90分）
21．（6分）计算：
22．（6分）如图，一个长方形运动场被分隔成A、B、A、B、C共5个区，A区是边长为am的正方形，C
区是边长为bm的正方形．
（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；
（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；
（3）如果a＝20，b＝10，求整个长方形运动场的面积．23．（6分）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及
乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0．
（1）求a的值；
（2）请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
24．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点
F，求证：DF＝BE．
25．（10分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽
取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的
统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（l）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 ．
（3）请估计全校共征集作品的什数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在
获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以
点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A OB ．
1 1
（1）画出△A OB ；
1 1
（2）直接写出点A 和点B 的坐标；
1 1
（3）求线段OB 的长度．
1
27．（10分）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某
省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：
（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零
售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的
零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？
（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医
院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进
药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共
100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭
配方案？
28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y ＝﹣2x的图象与反比例函数y ＝ 的
1 2
图象交于A（﹣1，n），B两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；
（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．29．（8分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知
AB∥MN，在A点测得∠MAB＝60°，在B点测得∠MBA＝45°，AB＝600米．
（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）
（2）在B点又测得∠NBA＝53°，求MN的长．（结果精确到1米）
（参考数据： ≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）
30．（10分）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆 O，∠B的平分线BE交AC于
D，交 O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F． ⊙
（1）求⊙证：EF是 O切线；
（2）若AB＝15，E⊙F＝10，求AE的长．
31．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
求四边形ACFD的面积；
①点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接
②AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．2019 年四川省巴中市平昌县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据绝对值的定义进行分析即可得出正确结论．
【解答】解：选项A、B、C中，a与b的关系还有可能互为相反数．故选D．
【点评】绝对值相等的两个数的关系是相等或互为相反数．
2．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝4a6，故A不正确；
（B）原式＝2，故B不正确；
（C）原式＝m5，故C不正确；
故选：D．
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即
可．
【解答】解：44亿＝4.4×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a
与n的值是解题的关键．
4．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的
确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
6．【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，
△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据
此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE；
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝40﹣24＝16．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线
上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求
法，要熟练掌握．
7．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：根据统计图波动情况来看，此次射击成绩最稳定的是乙，波动比较小，比较稳定．
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各
数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF＝ AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝
∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF可得
答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝10，D为AB中点，∴DF＝ AB＝AD＝BD＝5，
∴∠ABF＝∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ，
解得：DE＝8，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解
题的关键．
9．【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝2 ，然后由圆周角定理知∠DOE＝60°，然后通过解直角三
角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S ＝S ﹣S +S ．方法
阴影 扇形ODB △DOE △BEC
二：直接证明：S ＝S ．
阴影 扇形ODB
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
⊙
∴CE＝ED＝2 ，
又∵∠BCD＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE＝30°，
∴OE＝DE•cot60°＝2 × ＝2，OD＝2OE＝4，
∴S ＝S ﹣S +S ＝ ﹣ OE×DE+ BE•CE＝ ﹣2 +2 ＝
阴影 扇形ODB △DOE △BEC
．故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S ＝S ．
阴影 扇形ODB
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的
关键．
10．【分析】根据抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴，则可判断 、 ，由解析式可求得抛物
线的顶点坐标及与x轴的交点坐标，则可判断 ；利用抛物线的对称①轴及②开口方向可判断 ；则
可求得答案． ③ ④
【解答】解：
∵y＝﹣（x+2）2+3，
∴抛物线开口向下、对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故 、 都正确；
① ②
在y＝﹣（x+2）2+3中，令y＝0可求得x＝﹣2+ ＜0，或x＝﹣2﹣ ＜0，
∴抛物线图象不经过第一象限，故 正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣③2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故 正确；
综上可知正确的结论有4个， ④
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）
2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【分析】根据直角的度数求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2的度数．【解答】解：∵∠1＝35°，∠ABC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝55°°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m+1≥0，根据分式有意义的条件可得m﹣1≠0，再解即
可．
【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0，
解得：m≥﹣1，且m≠1，
故答案为：m≥﹣1，且m≠1．
【点评】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为0；二
次根式的被开方数是非负数．
14．【分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．
【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意得， ＝144°，
解得n＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．
15．【分析】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5，
∴ x•3＝5，
x＝ ；当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5，
∴S ﹣S ﹣S ﹣S ＝5，
矩形ABCD △CPE △ADE △ABP
∴3×4﹣ （3+4﹣x）×2﹣ ×2×3﹣ ×4×（x﹣4）＝5，
x＝5；
当P在CE上时，
③
（4+3+2﹣x）×3＝5，
x＝ （不合题意），
故答案为： 或5．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16．【分析】先利用等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，再利用旋转的性质得∴∠DAE＝
∠BAC＝60°，AD＝AE＝5，CE＝BD＝6，则可判断△ADE为等边三角形得到DE＝AD＝5，设DH＝
x，则CH＝CD﹣DH＝4﹣x，于是根据勾股定理得到EH2+x2＝52 ，EH2+（4﹣x）2＝62 ，然后利
用加减消元法先求出x，再计算EH即可． ① ②
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，AD＝AE＝5，CE＝BD＝6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD＝5，
设DH＝x，则CH＝CD﹣DH＝4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2+x2＝52，
在Rt△CHE中，EH2+（4﹣x）①2＝62，
②
﹣ 得16﹣8x＝11，解得x＝ ，
② ①∴EH＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
17．【分析】由题意知，k＝1×（﹣3）＝﹣3＜0，所以一次函数解析式为y＝﹣3x+3，根据k，b的值判断
一次函y＝kx﹣k的图象经过的象限．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3＜0，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x+3，根据k、b的值得出图象经过一、二、四象限．
故答案为：一、二、四．
【点评】本题考查了一次函数的性质及利用待定系数法求反比例函数的解析式，其中利用的知识点：
（1）用待定系数法确定反比例函数的k的值；（2）对于一次函数y＝kx+b，如果k＜0，b＞0，那么图
象经过一、二、四象限．
18．【分析】首先根据根与系数的关系求出x +x ＝3，x x ＝1，然后将 变形，再将x +x ＝3，x x
1 2 1 2 1 2 1 2
＝1代入即可．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
1 2
根据根与系数的关系有：x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2
所以 ＝ ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用．
19．【分析】先根据一次函数方程式求出B 点的坐标，在根据B 点的坐标求出A 点的坐标，以此类推
1 1 2
总结规律便可求出点A 的坐标．
n
【解答】解：直线y＝ x，点A 坐标为（1，0），过点A 作x轴的垂线交 直线于点B 可知B 点的坐
1 1 1 1标为（1， ），
以原O为圆心，OB 长为半径画弧x轴于点A ，OA ＝OB ，
1 2 2 1
OA ＝ ＝2，点A 的坐标为（2，0），
2 2
这种方法可求得B 的坐标为（2，2 ），故点A 的坐标为（4，0），
2 3
此类推便可求出点A 的坐标为（2n﹣1，0）．
n
故答案为：（2n﹣1，0）．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，
学生在平常要多加训练，属于中档题．
20．【分析】连接OF．只要证明∠OFE＝∠OHE＝90°，利用四边形内角和定理求出∠AOF即可解决问
题．
【解答】解：连接OF，
∵EF是 O切线，
∴OF⊥E⊙F，
∵AB是直径，AB经过CD中点H，
∴OH⊥EH，
又∵∠AOF＝2∠ACF＝128°，
在四边形EFOH中，∵∠OFE+∠OHE＝180°
∴∠E＝180°﹣∠AOF＝180°﹣128°＝52°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分90分）
21．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出
值．
【解答】解：原式＝3 ﹣ +4﹣ +1＝ +5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．【分析】（1）根据题意可知B的区是长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m的长方形，利用周长公式即可求出
答案．
（2）整个长方形的长为（2a+b）m，宽为（2a﹣b）m，利用周长公式求出答案即可．
（3）将a与b的值代入即长与宽中，利用面积公式即可求出答案．
【解答】解：（1）2[（a+b）+（a﹣b）]＝2（a+b+a﹣b）＝4a（m）；
（2）2[（a+a+b）+（a+a﹣b）]＝2（a+a+b+a+a﹣b）＝8a（m）；
（3）当a＝20，b＝10时，长＝2a+b＝50（m），宽＝2a﹣b＝30（m），
所以面积＝50×30＝1500（m2）．
【点评】本题考查代数式求值，涉及长方形面积公式，周长公式，属于基础题型．
23．【分析】（1）根据新运算的定义式结合2☆a的值小于0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之
即可得出结论；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝b2﹣8a≥﹣8a＞0，由此可得出方程2x2﹣bx+a
＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）∵2☆a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
（2）∵在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣4×2a＝b2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式以及实数的运算，解题的关键是：（1）根据新运算的定义式找出关
于a的一元一次不等式；（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
24．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD＝BC，再根据角平分线的性质可得CE
＝FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF＝BE．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD＝BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝FC，∠CFD＝∠CEB＝90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∵
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF＝BE．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定以及性质，本题属于基础
题型．
25．【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷ ＝24（件），C班作品的件数为：24﹣4﹣
6﹣4＝10（件）；继而可补全条形统计图；
（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．
（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷ ＝24件，
C班有24﹣（4+6+4）＝10件，
补全条形图如图所示，
扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°× ＝150°；故答案为：150°；
（3）∵平均每个班 ＝6件，
∴估计全校共征集作品6×30＝180件．
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，
∴恰好选取的两名学生性别相同的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
26．【分析】（1）分别作出点A和点B绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再与点O首尾顺次连接即可
得；
（2）由所得图形可得点的坐标；
（3）利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）画出△A OB ，如图．
1 1（2）点A （0，1），点B （﹣2，2）．
1 1
（3）OB ＝OB＝ ＝2 ．
1
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变
换后的对应点．
27．【分析】（1）等量关系为：甲出厂价+乙出厂价＝6.6；甲零售价+乙零售价＝33.8；
（2）关系式为：甲药品的利润+乙药品的利润≥900；乙种药品箱数≥40．
【解答】解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元．
则根据题意列方程组得： ，
解之得： ，
∴5×3.6﹣2.2＝18﹣2.2＝15.8（元）6×3＝18（元），
答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元；
（2）设购进甲药品z箱（z为非负整数），购进乙药品（100﹣z）箱．
则根据题意列不等式组得： ，
解得：57 ≤z≤60，
则z可取：58，59，60，此时100﹣z的值分别是：42，41，40；
有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；
第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；
第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱．
【点评】找到相应的关系式是解决本题的关键，注意不低于意思是大于或等于；不超过意思是小于
或等于．
28．【分析】（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y＝ ，可得反比例函数的表达式为y＝﹣ ，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设P（m，﹣ ），根据S ＝S ＝1，可得方程 （2+ ）（m﹣1）＝1或 （2+ ）（1﹣m）
梯形MBPN △POB
＝1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得n＝2，
∴A（﹣1，2），
把A（﹣1，2）代入y＝ ，可得k＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（1，﹣2）．
（2）∵A（﹣1，2），
∴y≤2的取值范围是x＜﹣1或x＞0；
（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，
∵S ＝S ＝1，
梯形MBPN △POB
设P（m，﹣ ），则 （2+ ）（m﹣1）＝1或 （2+ ）（1﹣m）＝1
整理得，m2﹣m﹣1＝0或m2+m+1＝0，
解得m＝ 或m＝ ，
∴P点的横坐标为 ．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数
的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
29．【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，易求AD的长，再由BD＝MD可得BD的长，即M到AB的
距离；
（2）过点N作NE⊥AB于点E，易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可求出，再根据
MN＝AB﹣AD﹣BE计算即可．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA＝∠MDB＝90°，
∵∠MAB＝60°，∠MBA＝45°，
∴在Rt△ADM中， ；
在Rt△BDM中， ，
∴ ，
∵AB＝600m，
∴AD+BD＝600m，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴点M到AB的距离 ．
（2）过点N作NE⊥AB于点E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD∥NE，
∵AB∥MN，
∴四边形MDEN为平行四边形，
∴ ，MN＝DE，
∵∠NBA＝53°，
∴在Rt△NEB中， ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问
题，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，
再转化得到实际问题的答案是解题的关键．
30．【分析】（1）要证EF是 O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；
（2）证明△FEA∽△FBA，得⊙出AE，BF的比例关系式，勾股定理得出AE，BF的关系式，求出AE的
长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE＝∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，
∴∠FEA＝∠OEB．
∵∠AEB＝90°，
∴∠FEO＝90°．
∴EF是 O切线．
⊙
（2）解：∵AF•FB＝EF•EF，
∴AF×（AF+15）＝10×10．
∴AF＝5．
∴FB＝20．
∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，
∴△FEA∽△FBE．
∴EF＝10
∵AE2+BE2＝15×15．
∴AE＝3 ．
【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即
为半径），再证垂直即可．
31．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2） 连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可
求得①△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积； 由题意可知点A处不可能是直角，
则有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，当∠ADQ＝90°时，可先求得②直线AD解析式，则可求出直线DQ
解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y＝k x+b ，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y＝k x+b ，同理可表
1 1 2 2
示出k ，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标．
2
【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2） ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（①1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD＝2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S ＝S +S ＝ ×2×3+ ×2×（4﹣3）＝4；
四边形ACFD △ACD △FCD
∵点P在线段AB上，
②∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，
i．当∠ADQ＝90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y＝x+1，
∴可设直线DQ解析式为y＝﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′＝5，
∴直线DQ解析式为y＝﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y＝k x+b ，
1 1
把A、Q坐标代入可得 ，解得k ＝﹣（t﹣3），
1
设直线DQ解析式为y＝k x+b ，同理可求得k ＝﹣t，
2 2 2
∵AQ⊥DQ，∴k k ＝﹣1，即t（t﹣3）＝﹣1，解得t＝ ，
1 2
当t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ，
当t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ，
∴Q点坐标为（ ， ）或（ ， ）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角
形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2） 中注意把四边形转化
为两个三角形，在 利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识①点较多，综合性较强，
难度适中． ②
