文档内容
2019年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷
一.选择题（每小题3分，共8个小题，满分24分）
1．（3分）下面四个实数中，是无理数的为（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
2．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5 B．（x2）3＝x6 C．x3+x3＝2x3 D．2x﹣2＝
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
4．（3分）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视
图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分
学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分
别是（ ）
第1页（共27页）A．2和1 B．1.25和1 C．1和1 D．1和1.25
7．（3分）下列命题正确是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
C．16的平方根是4
D．对角线相等的平行四边形是矩形
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l ：y＝﹣3x+3，l ：y＝﹣3x+9，直线l 交x轴
1 2 1
于点A，交y轴于点B，直线l 交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l 于点C，点A、E
2 2
关于y轴对称，抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：
a﹣b+c＝0； 2a+b+c＝5； 抛物线关于直线x＝1对称； 抛物线过点（b，c）； S四
①边形ABCD ＝5， ② ③ ④ ⑤
其中正确的个数有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二.填空题（每小题4分，共8个小题，分32分）
9．（4分）因式分解：x3﹣x＝ ．
第2页（共27页）10．（4分）据最新统计，苏州市常住人口约为1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表
示为 ．
11．（4分）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，已知a＝3，b和c是关于x
的方程x2+mx+2﹣ m＝0的两个实数根，则△ABC的周长是 ．
12．（4分）分式方程 ＝ 的解是 ．
13．（4分）点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从
余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的
概率是 ．
14．（4分）如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFC′比∠BFE多6°，则
∠EFC＝ ．
15．（4分）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝
120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝ m．
16．（4分）如图，在半 O中，AB是直径，点D是 O上一点，点C是 的中点，CE⊥AB于
点E，过点D的切线⊙交EC的延长线于点G，连接⊙AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，
关于下列结论： ∠BAD＝∠ABC； GP＝GD； 点P是△ACQ的外心； AC2＝
CQ•CB，其中结①论正确的是 ．② ③ ④
第3页（共27页）三.解答题（满分64分）
17．（6分）计算：（﹣1）2019﹣ +（ ﹣3）0+4cos45°
18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线相交π于点O，DE∥CA，AE∥BD．求证：四边形AODE是
菱形．
19．（8分）已知反比例函数 的图象与一次函数y ＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B
2
（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积．
20．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银
山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，
对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．
第4页（共27页）请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人
中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率．
21．（8分）多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1500元购进若干千克，并
以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高
了10%，用1694元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因
出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价45%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元．
（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
22．（8分）近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是
某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，
∠BCE＝71°，CE＝54cm．
（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）
（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒
适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果
精确到0.1cm）
（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
第5页（共27页）23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝
DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC＝ 时，求 的值．
α
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），
其对称轴l为x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
①当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
②
第6页（共27页）2019 年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共8个小题，满分24分）
1．（3分）下面四个实数中，是无理数的为（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解．
【解答】解：A、0是有理数，故选项错误；
B、 是无理数，故选项正确；
C、﹣2是有理数，故选项错误；
D、 是有理数，故选项错误．
故选：B．
2．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5 B．（x2）3＝x6 C．x3+x3＝2x3 D．2x﹣2＝
【分析】根据同底数幂的运算法则及合并同类项的法则进行计算即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，正确；
B、（x2）3＝x6，正确；
C、x3+x3＝2x3，正确；
D、 ，错误；
故选：D．
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
【分析】根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
4．（3分）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视
第7页（共27页）图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从上面看，可以看到上面杯子的底，是圆形，可以看到两杯子的口，也是
圆形．
【解答】解：从上面看，看到两个圆形，
故选：C．
5．（3分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵不等式 得：x＞1，
解不等式①得：x≤2，
∴不等式②组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为： ，
故选：A．
6．（3分）为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分
学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分
别是（ ）
第8页（共27页）A．2和1 B．1.25和1 C．1和1 D．1和1.25
【分析】由统计图可知阅读时间为1小时的有19人，人数最多，所以众数为1小时；总人数
为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），
即可确定出中位数为1小时．
【解答】解：由统计图可知众数为1小时；
共有：8+19+10+3＝40人，中位数应为第20与第21个的平均数，
而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．
故选：C．
7．（3分）下列命题正确是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
C．16的平方根是4
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】利用平行四边形的判定，全等三角形的判定、平方根的定义及正方形的判定分别
判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边等的四边形可能是等腰梯形，故原命题错误；
B、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，故原命题正确；
C、16的平方根是±4，故原命题错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l ：y＝﹣3x+3，l ：y＝﹣3x+9，直线l 交x轴
1 2 1
于点A，交y轴于点B，直线l 交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l 于点C，点A、E
2 2
关于y轴对称，抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：
a﹣b+c＝0； 2a+b+c＝5； 抛物线关于直线x＝1对称； 抛物线过点（b，c）； S四
① ② ③ ④ ⑤
第9页（共27页）边形ABCD
＝5，
其中正确的个数有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据直线l 的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y轴对称的两点坐标特征求
1
出E（﹣1，0）．根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐
标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，进而判断各选项即可．
【解答】解：∵直线l ：y＝﹣3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
1
∴A（1，0），B（0，3），
∵点A、E关于y轴对称，
∴E（﹣1，0）．
∵直线l ：y＝﹣3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l 于点C，
2 2
∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，
把y＝3代入y＝﹣3x+9，得3＝﹣3x+9，解得x＝2，
∴C（2，3）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣x2+2x+3．
∵抛物线y＝ax2+bx+c过E（﹣1，0），
①∴a﹣b+c＝0，故 正确；
①
第10页（共27页）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
②∴2a+b+c＝﹣2+2+3＝3≠5，故 错误；
∵抛物线过B（0，3），C（2②，3）两点，
③∴对称轴是直线x＝1，
∴抛物线关于直线x＝1对称，故 正确；
∵b＝2，c＝3，抛物线过C（2③，3）点，
④∴抛物线过点（b，c），故 正确；
∵直线l
1
∥l
2
，即AB∥CD④，又BC∥AD，
⑤∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S四边形ABCD ＝BC•OB＝2×3＝6≠5，故 错误．
综上可知，正确的结论有3个． ⑤
故选：C．
二.填空题（每小题4分，共8个小题，分32分）
9．（4分）因式分解：x3﹣x＝ x （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
10．（4分）据最新统计，苏州市常住人口约为1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表
示为 1.062×1 0 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据10 620 000用科学记数法可表示为1.062×107，
故答案为：1.062×107．
11．（4分）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，已知a＝3，b和c是关于x
的方程x2+mx+2﹣ m＝0的两个实数根，则△ABC的周长是 7 或 ．
【分析】当b＝c时，利用判别式的意义得到△＝m2﹣4×（2﹣ m）＝0，解得m＝﹣4或m＝
2，利用根与系数的关系m＝2舍去，b+c＝4，然后计算此时△ABC的周长；当b＝a＝3，把
第11页（共27页）x＝3代入方程解得m＝﹣ ，方程变形为x2﹣ x+ ＝0，利用根与系数的关系得到
3c＝ ，解得c＝ ，从而得到此时△ABC的周长；当c＝a＝3，同样方法可得△ABC的周
长．
【解答】解：当b＝c时，关于x的方程x2+mx+2﹣ m＝0的两个相等的实数根，则△＝m2﹣
4×（2﹣ m）＝0，解得m＝﹣4或m＝2（舍去），
当m＝﹣4时，方程变形为x2﹣4m+4＝0，此时b+c＝4，
所以此时△ABC的周长为3+4＝7；
当b＝a＝3，把x＝3代入方程得9+3m+2﹣ m＝0，解得m＝﹣ ，方程变形为x2﹣
x+ ＝0，则3c＝ ，解得c＝ ，
所以此时△ABC的周长为3+ +3＝ ；
当c＝a＝3，同理可得△ABC的周长为 ；
综上所述，△ABC的周长为7或 ．
故答案为7或 ．
12．（4分）分式方程 ＝ 的解是 x ＝ 9 ．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为
整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣3），得
3x﹣9＝2x，
解得x＝9．
检验：把x＝9代入x（x﹣3）＝54≠0．
∴原方程的解为：x＝9．
故答案为：x＝9．
第12页（共27页）13．（4分）点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从
余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的
概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第二象限点的坐标特征找出点
P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为
4，
所以点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
14．（4分）如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFC′比∠BFE多6°，则
∠EFC＝ 122 ° ．
【分析】本题根据平行线的性质和翻折的性质，求解即可．
【解答】解：设∠EFC＝x，∠1＝y，则∠BFC′＝x﹣y，
∵∠BFC′比∠BFE多6°，
∴x﹣2y＝6，
∵x+y＝180°，
可得x＝122°
故答案为122°．
15．（4分）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝
120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝ 10 0 m．
第13页（共27页）【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离
AB．
【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴ ， ，
解得：AB＝ （米）．
故答案为：100．
16．（4分）如图，在半 O中，AB是直径，点D是 O上一点，点C是 的中点，CE⊥AB于
点E，过点D的切线⊙交EC的延长线于点G，连接⊙AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，
关于下列结论： ∠BAD＝∠ABC； GP＝GD； 点P是△ACQ的外心； AC2＝
CQ•CB，其中结①论正确的是 ② ． ③ ④
②③④
【分析】连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP＝
∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂
直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根
据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得
出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，选项 正确；由直径AB垂直于弦
CE，利用垂径定理得到A为弧CE的中点，得到两条弧相等，②再由C为弧AD的中点，得到
两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝
∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余
第14页（共27页）角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即
为直角三角形ACQ的外心，选项 正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，
再由一对公共角相等，得到三角形③ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2＝
CQ•CB，
【解答】解：∵在 O中，AB是直径，点D是 O上一点，点C是弧AD的中点，
∴弧AC＝弧AD≠⊙弧BD， ⊙
∴∠BAD≠∠ABC，选项 错误；
连接BD，如图所示： ①
∵GD为圆O的切线，
∴∠GDP＝∠ABD，
又AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP＝90°，
∴∠ADB＝∠AFP，又∠PAF＝∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD＝∠APF，又∠APF＝∠GPD，
∴∠GDP＝∠GPD，
∴GP＝GD，选项 正确；
∵直径AB⊥CE，②
∴A为弧CE的中点，即弧AE＝弧AC，
又C为弧AD的中点，
∴弧AC＝弧CD，
∴弧AE＝弧CD，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP，
又AB为圆O的直径，∴∠ACQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
第15页（共27页）∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，选项 正确；
连接CD，如图所示： ③
∵弧AC＝弧CD，
∴∠B＝∠CAD，
又∵∠ACQ＝∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴ ＝ ，即AC2＝CQ•CB，选项 正确，
④
综上可知则正确的选项序号有 ，
故答案为： ． ②③④
三.解答题（满分②6③4分④）
17．（6分）计算：（﹣1）2019﹣ +（ ﹣3）0+4cos45°
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、π二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在
计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1﹣2 +1+4× ，
＝1﹣2 +1+2 ，
＝2．
18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．求证：四边形AODE是
菱形．
第16页（共27页）【分析】在矩形ABCD中，可得OD＝OC，由DE∥CA，AE∥BD，所以四边形AODE是平行
四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形
【解答】证明：∵DE∥CA，AE∥BD
即 DE∥OA，AE∥OD，
∴四边形OAED是平行四边形，
在矩形ABCD中，
∴AC＝BD，
∴OA＝OD，
∴四边形OAED是菱形．
19．（8分）已知反比例函数 的图象与一次函数y ＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B
2
（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积．
【分析】（1）先把点A（1，4）代入 可计算出k＝4，从而得到反比例函数解析式为y
1
＝ ，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据y轴对称的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
第17页（共27页）【解答】解：（1）∵点A（1，4）在 的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y ＝ ，
1
∵点B（m，2）在y ＝ 的图象上，
1
∴2m＝4，解得m＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
又∵点A，B在一次函数y ＝ax+b的图象上，
2
∴ ，解得 ，
∴一次函数解析式为y ＝2x+2；
2
∴这两个函数的解析式分别为 ，y ＝2x+2．
2
（2）∵点C与点A关于y轴对称，
∴C点坐标为（﹣1，4）．
∴S△ABC ＝ ×2×6＝6．
20．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银
山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，
对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．
第18页（共27页）请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人
中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率．
【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百
分比，据此即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）全班学生总人数为10÷25%＝40（人）；
（2）∵C类人数为40﹣（10+24）＝6，
∴C类所占百分比为 ×100%＝15%，B类百分比为 ×100%＝60%，
补全图形如下：
（3）列表如下：
A B B C
A BA BA CA
第19页（共27页）B AB BB CB
B AB BB CB
C AC BC BC
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类的有2种情况，
所以全是B类学生的概率为 ＝ ．
21．（8分）多好佳水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1500元购进若干千克，并
以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高
了10%，用1694元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因
出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价45%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元．
（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【分析】（1）设第一次水果的进价是每千克x元，则第二次水果的进价是每千克1.1x元，
根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x的分式方程，
解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润＝每千克利润×销售数
量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相
加即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一次水果的进价是每千克x元，则第二次水果的进价是每千克1.1x元，
根据题意，得： ﹣ ＝20，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：第一次水果的进价是每千克2元．
（2）第一次购买水果1500÷2＝750（千克），
第一次利润为750×（9﹣2）＝5250（元）．
第二次购买水果750+20＝770（千克），
第二次利润为100×（10﹣2.2）+（770﹣100）×（10×55%﹣2.2）＝2991（元）．
5250+2991＝8241（元）．
答：该水果店在这两次销售中，总体上是盈利了，盈利了8241元．
22．（8分）近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是
第20页（共27页）某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm），其中BC∥直线l，
∠BCE＝71°，CE＝54cm．
（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）
（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒
适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果
精确到0.1cm）
（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
【分析】（1）作EM⊥BC于点M，由EB＝ECsin∠BCE＝54sin71可得答案；
（2）作E′H⊥BC于点H，先根据E′C＝ 求得E′C的长度，再根据EE′＝
CE′﹣CE可得答案．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于点M，
由题意知∠BCE＝71°、EC＝54，
∴EB＝ECsin∠BCE＝54sin71°≈51.3，
则单车车座E到地面的高度为51.3+30≈81cm；
（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥BC于点H，
第21页（共27页）由题意知E′H＝70×0.85＝59.5，
则E′C＝ ＝ ≈62.6，
∴EE′＝CE′﹣CE＝62.6﹣54＝8.6（cm）．
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝
DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是 MD ＝ ME ；
（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC＝ 时，求 的值．
α
【分析】（1）先判断出△AMF≌△BME，得出AF＝BE，MF＝ME，进而判断出∠EBC＝
∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，得出CE＝BE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可；
（3）同（1）的方法判断出AF＝BE，MF＝ME，再判断出∠ECB＝∠EBC，得出CE＝BE即
可得出∠MDE＝ ，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
第22页（共27页）∴∠FAM＝∠EBM，
∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF＝BE，MF＝ME，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠BED＝∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝45°，
∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，
∴CE＝BE，
∴AF＝CE，
∵DA＝DC，
∴DF＝DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE＝45°，
∴MD＝ME，
故答案为MD＝ME；
（2）MD＝ ME，理由：
如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM＝∠EBM，
∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF＝BE，MF＝ME，
∵DA＝DC，∠ADC＝60°，
∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝30°，
∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝30°＝∠ECB，
∴CE＝BE，
第23页（共27页）∴AF＝CE，
∵DA＝DC，
∴DF＝DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE＝30°，
在Rt△MDE中，tan∠MDE＝ ，
∴MD＝ ME．
（3）如图3，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM＝∠EBM，
∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF＝BE，MF＝ME，
延长BE交AC于点N，
∴∠BNC＝∠DAC，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠BNC＝∠DCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴CE＝BE，
∴AF＝CE，
∴DF＝DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∵∠ADC＝ ，
α
∴∠MDE＝ ，
在Rt△MDE中， ＝tan∠MDE＝tan ．
第24页（共27页）24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），
其对称轴l为x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
①当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
②
【分析】（1）将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛物线的
解析式即可；
（2） 首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PE＝OA，从而得到方
程求①得x的值即可求得点P的坐标；
用分割法将四边形的面积S四边形BCPA ＝S△OBC +S△OAC ，得到二次函数，求得最值即可．
【②解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，
3），其对称轴l为x＝﹣1，
第25页（共27页）∴ ，
解得： ．
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，0），B（1，0），
作PD⊥x轴于点D，
∵点P在y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P（x，﹣x2﹣2x+3）
∵PA⊥NA，且PA＝NA，
①∴△PAD≌△ANQ，
∴AQ＝PD，
即y＝﹣x2﹣2x+3＝2，
解得x＝ ﹣1（舍去）或x＝﹣ ﹣1，
∴点P（﹣ ﹣1，2）；
设P（x，y），则y＝﹣x2﹣2x+3，
②由于P在第二象限，所以其横坐标满足：﹣3＜x＜0，
∵S四边形PABC ＝S△OBC +S△APO +S△OPC ，
S△OBC ＝ OB•OC＝ ×3×1＝ ，
S△APO ＝ AO•|y|＝ ×3•y＝ y＝ （﹣x2﹣2x+3）＝﹣ x2﹣3x+ ，
S△OPC ＝ CO•|x|＝ ×3•（﹣x）＝﹣ x，
∴S四边形PABC ＝ ﹣ x2﹣3x+ ﹣ x＝6﹣ x﹣ x2＝﹣ （x+ ）2+ ，
∴当x＝﹣ 时，S四边形PABC最大值 ＝ ，此时y＝﹣x2﹣2x+3＝ ，
第26页（共27页）所以P（﹣ ， ）．
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