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2019年辽宁省本溪市名山区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．y2+y2＝2y4 B．y7+y4＝y11
C．y2•y2+y4＝2y4 D．y2•（y4）2＝y18
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°
B．任意抛一枚图钉，钉尖着地
C．通常加热到100℃时，水沸腾
D．太阳从东方升起
4．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣ ＞﹣ D．a2＜b2
5．对于反比例函数y＝ ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣1）
B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
6．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任
意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．7．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．
若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
8．关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a满足（ ）
A． B． C．a≤ 且a≠3 D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
给出了结论：
（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当﹣ ＜x＜2时，y＜0；
（3）a﹣b+c＝0；
（4）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧
则其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将
△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE
＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学
记数法表示是 ．
12．因式分解：9a3b﹣ab＝ ．
13．有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是 ．
14．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠2＝55°，则∠1＝ °．
15．已知一组数据x ，x ，x ，x 的平均数为6，则数据3x +1，3x +1，3x +1，3x +1的平均数为 ．
1 2 3 4 1 2 3 4
16．如果a+b＝2，那么代数式（a﹣ ）÷ 的值是 ．
17．矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重
叠部分△AEF的面积等于 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，A ，A ，A …A 都在直线1：y＝ x+1上，点B，B ，B ，B …B
1 2 3 n 1 2 3 n
都在x轴上，且AB ⊥1，B A ⊥x轴，A B ⊥1，B A ⊥x轴，则A 的横坐标为 （用含有n的代
1 1 1 1 2 2 2 n
数式表示）．三．解答题（共2小题，满分22分）
19．先化简，再求值（1﹣ ）÷ ，其中x＝4．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行
线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形BDCF是菱形；
（2）当Rt△ABC中的边或角满足什么条件时？四边形BDCF是正方形，请说明理由．
四．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
21．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年
销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示这四种不同口味粽
子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将不完整的条形图补充完整．
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数？
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个煮熟后，小王吃了俩个，用列表或画树状图的方法，
求他第二个吃到的恰好是C粽的概率？
22．已知：过 O外一点C作CE⊥直径AF，垂足为E，交弦AB于D，若CD＝CB，则
（1）判断直⊙线BC与 O的位置关系，并证明；
（2）E为OA中点，∠⊙FAB＝30°，AD＝4，请直接写出图中阴影部分的面积．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装
天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达C处，测得小区
M位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使其到该小区铺设的
管道最短，并求AN的长．（精确到1米， ≈1.414， ≈1.732）
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
该产品90天售量（n件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
①时间（第x天） 1 2 3 10 …
日销售量（n 198 196 194 ？ …
件）
该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
② 时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90销售价格（元/件） x+60 100
（1）求出第10天日销售量；
（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品的销售
利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润＝日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．如图，在Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AO＝AB，BO＝8 ，点A的坐标（﹣8，0），点C在线段AO上
以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为
点E，分别交BO于点F，交y轴于点 D．
（1）用t表示点D的坐标 ；
（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；
（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
26．如图1，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4x与x轴交于O、A两点．直线y＝kx+m经过
抛物线的顶点B及另一点D（D与A不重合），交y轴于点C．
（1）当OA＝4，OC＝3时．分别求该抛物线与直线BC相应的函数表达式；
①连结AC，分别求出tan∠CAO、tan∠BAC的值，并说明∠CAO与∠BAC的大小关系；
（②2）如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，连接CE．当a为任意负数时，试探究AB与CE的位置关系？2019 年辽宁省本溪市名山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、整式的混合计算判断即可．
【解答】解：A、y2+y2＝2y2，错误；
B、y7与y4不能合并，错误；
C、y2•y2+y4＝2y4，正确；
D、y2•（y4）2＝y10，错误；
故选：C．
【点评】此题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、整式的混合计算，关键是根据法则计算．
2．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；
B、任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件，故本选项正确；
C、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故本选项错误；
D、太阳从东方升起是必然事件，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必
然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确
定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣ ，不等号的方向改变，即﹣ ＞﹣ ，故本选项错误；
D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；故选：D．
【点评】考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）
同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一
定要对字母是否大于0进行分类讨论．
5．【分析】根据反比例函数性质逐项判断即可．
【解答】解：
∵当x＝2时，可得y＝1≠﹣1，
∴图象不经过点（2，﹣1），故A不正确；
∵在y＝ 中，k＝2＞0，
∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，故B、D不正确；
又双曲线为中心对称图形，故C正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象形状、位置及增减性是解题的关
键．
6．【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是
其发生的概率． ① ②
【解答】解：∵袋子中共有10个小球，其中白球有2个，
∴摸出一个球是白球的概率是 ＝ ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
7．【分析】设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，根据“甲车行驶30千米与乙
车行驶40千米所用时间相同”，结合时间＝路程÷时间，列出关于x的分式方程，即可得到答案．
【解答】解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，
甲车行驶30千米所用的时间为： ，乙车行驶40千米所用时间为： ，
根据题意得：
＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系
是解决问题的关键．
8．【分析】讨论：当a﹣3＝0，原方程变形为一元一次方程，有一个实数根；当a﹣3≠0，△＝（﹣ ）2
﹣4×（a﹣3）×1≥0，然后综合这两种情况即可．
【解答】解：当a﹣3＝0，方程变形为﹣ x+1＝0，此方程为一元一次方程，有一个实数根；
当a﹣3≠0，△＝（﹣ ）2﹣4×（a﹣3）×1≥0，解得a≤ 且a≠3．
所以a的取值范围为a≤ 且a≠3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了
一元二次方程的定义．
9．【分析】观察表格，结合二次函数的性质一一判断即可；
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4，故结论错误；
（2）观察表格可知：﹣1＜x＜3时，y＜0，故结论正确；
（3）∵x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，故结论正确；
（4）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，交点分别为（﹣1，
0），（3，0），故结论正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的图象与系数的关系等知识点，能熟记二次
函数的图象和性质的内容是解此题的关键．10．【分析】连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD＝∠C′PD，再根据角平分线的定义可得∠BPE＝
∠C′PE，然后证明∠DPE＝90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别表示出AE、CP的长度，
然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，根据函数所对应的图象即可得解．
【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD＝∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE＝∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′＝ ×180°＝90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，
则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，
整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，
所以y＝﹣ x2+ x（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理的应用，作出辅助线并证明得到直角三角形，
然后在多个直角三角形应用勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00092＝9.2×10﹣4，
故答案为：9.2×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．
故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．【分析】先利用平均数的定义求出a，然后根据方差公式计算．
【解答】解：根据题意得（3+a+4+6+7）＝5×5，解得a＝5，
所以这组数据为3，4，5，6，7，
数据的方差＝ [（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据
的方差．计算公式是：s2＝ [（x ﹣x¯）2+（x ﹣x¯）2+…+（x ﹣x¯）2]．也考查了算术平均数．
1 2 n
14．【分析】由折叠可得∠3＝180°﹣2∠2，进而可得∠3的度数，然后再根据两直线平行，同旁内角互
补可得∠1+∠3＝180°，进而可得∠1的度数．
【解答】解：由折叠可得∠3＝180°﹣2∠2＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．【点评】此题主要考查了翻折变换和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
15．【分析】由原数据的平均数得出x +x +x +x ＝24，再根据平均数的计算公式可得．
1 2 3 4
【解答】解：依题意，得 ＝ （x +x +x +x ）＝6，
1 2 3 4
∴x +x +x +x ＝24，
1 2 3 4
∴3x +1，3x +1，3x +1，3x +1的平均数为 ＝ [（3x +1）+（3x +1）+（3x +1）+（3x +1）]＝ ×
1 2 3 4 1 2 3 4
（3×24+1×4）＝19，
故答案为：19．
【点评】此题考查平均数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．
16．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a+b＝2时，
原式＝ •
＝ •
＝a+b
＝2
故答案为：2
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17．【分析】要求重叠部分△AEF的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知∠AEF＝
∠CEF，由平行得∠CEF＝∠AFE，代换后，可知AE＝AF，问题转化为在Rt△ABE中求
AE．
【解答】解：设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝4﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝
由折叠可知∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝ ，
∴S ＝ ×AF×AB＝ × ×3＝ ．
△AEF
故答案为： ．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．
18．【分析】根据题意：先求出AO，A B ，A B 的长度，找出规律，表示出A B ，再计算OB ，可得A 的
1 1 2 2 n n n n
横坐标．
【解答】解：∵直线1：y＝ x+1交x轴，y轴于B，A两点
∴A（0，1），B（﹣ ，0）
∵AB ⊥1，B A ⊥x轴，A B ⊥1，B A ⊥x轴
1 1 1 1 2 2 2
∴A B ∥AO∥A B ∥A B ，AB ∥A B ∥A B ．
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3
∴∠B＝∠OAB ＝∠B A B ＝∠B A B ．
1 1 1 2 2 2 3
∴tan∠B＝tan∠OAB ＝ ＝ ＝
1
∴OB ＝
1
∵OA∥A B
1 1
∴
∴A B ＝
1 1同理可得A B ＝
2 2
…A B ＝
n n
∵OB ＝AO×tan∠OAB ＝1× ＝
1 1
∴B B ＝A B ×tan∠OAB ＝
1 2 1 1 1
…A B ＝A B ×tan∠OAB ＝ ×
n﹣1 n n﹣1 n﹣1 1
∴OB ＝OB +B B +B B +…+A B ＝ + + × +…+ ×
n 1 1 2 2 3 n﹣1 n﹣1
①
∴ OB ＝ + × +…+ × + ×
n
②
∴ ﹣ 得 OB ＝ × ﹣
n
② ①
∴OB ＝ （ ﹣1）
n
故答案为 （ ﹣1）
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，点的规律，解题的关键是从特殊
到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共2小题，满分22分）
19．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷＝ •
＝ ，
当x＝4时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．【分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△DEA，可得CF＝AD，由直角三角形的性质可得CD＝AD＝
BD＝CF，由菱形的判定可证四边形BDCF是菱形；
（2）由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，即可证四边形BDCF是正方形．
【解答】证明：（1）∵CF∥AB
∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE
∴△CEF≌△DEA（AAS）
∴CF＝AD，
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD＝AD＝BD
∴CF＝BD，且CF∥AB
∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD
∴四边形BDCF是菱形
（2）当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，
理由如下：∵AC＝BC，CD是中线
∴CD⊥AB，且四边形BDCF是菱形
∴四边形BDCF是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和
等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
四．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
21．【分析】（1）根据D类型的人数是240人，所占的比例是40%，据此即可求得总人数；
（2）利用总人数，减去其它各组的人数，即可求得C类的人数，据此即可完成直方图；
（3）利用总人数8000乘以对应的百分比即可求解；
（4）利用列举法可以列举出所有的结果，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：（1）调查的居民数有：240÷40%＝600（人）；
（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人）．
（3）爱吃D粽的人数是：8000×40%＝3200（人）；
（4）
．
则P＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】（1）相切，根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得：∠ADE＝∠CDB＝∠CBD，由直角三
角形的两锐角互余可得结论；
（2）先根据直角三角形30度角的性质和勾股定理得：ED＝ ＝2，AE＝2 ，则半径OA＝OB＝
4 ，作辅助线，证明OM⊥AB和△CDB是等边三角形，根据S ＝S ﹣S ﹣S
阴影 四边形OECB △OEM 扇形
，代入可得结论．
OMB
【解答】解：（1）直线BC与 O相切，
证明：连接OB， ⊙
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵CE⊥AF，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠CBD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A，
∴∠OBA+∠CBD＝90°，
∴OB⊥CB，
∵OB是半径，
∴直线BC与 O相切；
（2）Rt△AED⊙中，∠A＝30°，AD＝4，
∴ED＝ ＝2，
由勾股定理得：AE＝2 ，
∵E为OA中点，
∴OA＝OB＝4 ，
设EC交 O于M，连接OM，交AB于G，
⊙
Rt△OEM中，∵OE＝2 ，OM＝4 ，
∴∠EMO＝30°，∠EOM＝60°，
∴EM＝ ＝6，
∵∠A＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BOM＝60°，
∵∠A＝30°，∠AOM＝60°，
∴∠AGO＝90°，
∴OG＝ OA＝2 ，AG＝6，
∴AB＝2AG＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8，
∵∠CDB＝∠ADE＝60°，CD＝CB，
∴△CDB是等边三角形，∴S ＝S ﹣S ﹣S ，
阴影 四边形OECB △OEM 扇形OMB
＝S +S ﹣S ﹣S ，
四边形OEDB △CDB △OEM 扇形OMB
＝ ﹣ AE•ED+ ﹣ OE•EM﹣ ，
＝ ﹣ +16 ﹣ ﹣8 ，
π
＝12 ﹣2 +16 ﹣6 ﹣8 ，
π
＝ ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查了切线的性质和判定，直角三角形30度角的判定和性质，等边三角形的判定，扇
形的面积，三角形的面积等知识点的综合应用，第二问有难度，确定阴影部分面积的求法是关键．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．【分析】首先过点M作MN⊥AC于点N，由题意可求得∠MAN＝30°，∠MCN＝45°，然后设MN＝
x，由三角函数的性质，可表示出AN与CN，继而可得方程： x+x＝1000，解此方程即可求得答
案．
【解答】解：如图：过点M作MN⊥AC于点N，根据题意得：∠MAN＝60°﹣30°＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，
∴∠MCN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，设MN＝x米，
在Rt△AMN中，AN＝ ＝ x（米），
在Rt△CMN中，CN＝ ＝x（米），
∵AC＝1000米，
∴ x+x＝1000，
解得：x＝500（ ﹣1），
∴AN＝ x≈634（米）．
答：AN的长为634米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角
形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可，进而得出第10天日销售量；
（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000，分
别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
（3）根据1≤x＜50和50≤x≤90时，由y≥5400求得x的范围，据此可得销售利润不低于5400元
的天数．
【解答】解：（1）∵n与x成一次函数，
∴设n＝kx+b，将x＝1，n＝198，x＝3，n＝194代入，得：，
解得： ．
所以n关于x的一次函数表达式为n＝﹣2x+200，
故第10天日销售量：n＝﹣20+200＝180（件）；
（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：
y＝ ，
当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+160x+4000＝﹣2（x﹣40）2+7200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝40时，y有最大值，最大值是7200；
当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000，
∵﹣120＜0，
∴y随x增大而减小，即当x＝50时，y的值最大，最大值是6000；
综上所述，当x＝40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，
最大利润是7200元；
（3）当1≤x＜50时，由y≥5400可得﹣2x2+160x+4000≥5400，
解得：10≤x≤70，
∵1≤x＜50，
∴10≤x＜50；
当50≤x≤90时，由y≥5400可得﹣120x+12000≥5400，
解得：x≤55，
∵50≤x≤90，
∴50≤x≤55，
综上，10≤x≤55，
故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合x的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△OAD即可解决问题；
（2）由△FOD≌△FOC（SAS），推出∠FCO＝∠FDC，由△ABC≌△OAD，推出∠ACB＝∠ADO，可
得∠FCO＝∠ACB；
（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝KC＝m，则CK＝ m．构建方
程求出m的值即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，
∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴∠ABC＝∠OAD，
∵AB＝OA，
∴△ABC≌△OAD（ASA），
∴OD＝AC＝2t，
∴D（0，2t）．
故答案为（0，2t）
（2）如图1中，
∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝8 ，
∴AB＝AO＝8，
∵t＝2，
∴AC＝OD＝4，∴OC＝OD＝4，
∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，
∴△FOD≌△FOC（SAS），
∴∠FCO＝∠FDC，
∵△ABC≌△OAD，
∴∠ACB＝∠ADO，
∴∠FCO＝∠ACB．
（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝ m．
∵CB平分∠ABO，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AKC＝45°＝∠ABC+∠KCB，
∴∠KBC＝∠KCB＝22.5°，
∴KB＝KC＝ m，
∴m+ m＝8，
∴m＝8（ ﹣1），
∴t＝ ＝4（ ﹣1）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形
解决问题，属于中考压轴题．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）26．【分析】（1） 根据题意得出A、C的坐标，由A的坐标可求出抛物线解析式及其顶点B坐标，根据
B、C坐标可①得直线解析式；
tan∠CAO＝ ＝ ，先根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据tan∠BAC＝
②
可得答案；
（2）根据y＝ax2+4x求得A（﹣ ，0）、B（﹣ ，﹣ ），先求得tan∠BAO＝2，再将B（﹣ ，﹣ ）代
入y＝kx+m得m＝ ，据此知点C（0， ），由 可求得E（ ，0），根据
tan∠CEO＝ ＝2知∠BAO＝∠CEO，从而得出答案．
【解答】解：（1） ∵OA＝4，OC＝3，
∴A（4，0），C（0①，3），
将A（4，0）代入y＝ax2+4x，得：16a+16＝0，
解得a＝﹣1，
则y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴B（2，4），
将B（2，4），C（0，3）代入y＝kx+m，得： ，
解得 ，
∴y＝ x+3；
tan∠CAO＝ ＝ ，
②∵AC2＝（0﹣4）2+（3﹣0）2＝25，BC2＝（2﹣0）2+（4﹣3）2＝5，AB2＝（2﹣4）2+（4﹣0）2＝20，
∴AC2＝BC2+AB2，且BC＝ ，AB＝2 ，
∴△ABC是直角三角形，其中∠ABC＝90°，
则tan∠BAC＝ ＝ ＝ ，
∵tan∠CAO＞tan∠BAC，
∴∠CAO＞∠BAC．
（2）AB∥CE，理由如下：
由y＝ax2+4x＝0得x ＝0，x ＝﹣ ，则A（﹣ ，0），
1 2
又y＝ax2+4x＝a（x+ ）2﹣ ，
∴顶点B的坐标为（﹣ ，﹣ ），
则tan∠BAO＝ ＝2，
将B（﹣ ，﹣ ）代入y＝kx+m，得：﹣ +m＝﹣ ，
解得m＝ ，
∴点C（0， ），即OC＝ ，由 得x＝﹣ 或x＝ ，
∴E（ ，0），
∴OE＝ ，
∴tan∠CEO＝ ＝ ＝2，
∴tan∠BAO＝tan∠CEO，
∴∠BAO＝∠CEO，
∴AB∥CE．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数图象上点的坐标
特征、待定系数法求函数解析式、配方法求二次函数的顶点坐标及三角函数的应用等知识点．
