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2019年辽宁省本溪市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）（2019•本溪）下列各数是正数的是
A．0 B．5 C． D．
2．（3分）（2019•本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•本溪）下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•本溪）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000
科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•本溪）下表是我市七个县（区 今年某日最高气温 的统计结果：
县（区 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县
气温 26 26 25 25 25 23 22
则该日最高气温 的众数和中位数分别是
A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25
6．（3分）（2019•本溪）不等式组 的解集是
A． B． C． D．
第1页（共31页）7．（3分）（2019•本溪）如图所示，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•本溪）下列事件属于必然事件的是
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立
C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小
D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数
9．（3分）（2019•本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器
人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，
两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台 万元，根据题意，所列方程正确
的是
A． B．
C． D．
10．（3分）（2019•本溪）如图，点 是以 为直径的半圆上的动点， ， 于
点 ，连接 ，设 ， ，则下列函数图象能反映 与 之间关系的
是
第2页（共31页）A．
B．
C．
D．
二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2019•本溪）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围为 ．
12．（3分）（2019•本溪）函数 的图象经过的象限是 ．
13．（3分）（2019•本溪）如果关于 的一元二次方程 有实数根，那么 的取值
范围是 ．
14．（3分）（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别是 ， ，以点
为位似中心，相们比为 ，把 缩小，得到△ ，则点 的对应点 的坐标为 ．
15．（3分）（2019•本溪）如图， 是矩形 的对角线，在 和 上分别截取 ， ，
第3页（共31页）使 ；分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，
作射线 交 于点 ，若 ，则点 到 的距离为 ．
16．（3分）（2019•本溪）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小
正方形 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 ．
17．（3分）（2019•本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边 和菱形 的边 ，
都在 轴上，点 在 边上， ，反比例函数 的图象经过点 ，则 的
值为 ．
18．（3分）（2019•本溪）如图，点 在直线 上，点 的横坐标为2，过 作 ，
交 轴于点 ，以 为边，向右作正方形 ，延长 交 轴于点 ；以 为边，
向右作正方形 ，延长 交 轴于点 ；以 为边，向右作正方形 延长
第4页（共31页）交 轴于点 ； ；按照这个规律进行下去，点 的横坐标为 （结果用含正整数
的代数式表示）
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2019•本溪）先化简，再求值 ，其中 满足
．
20．（12分）（2019•本溪）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团： ．机器人， ．
围棋， ．羽毛球， ．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参
加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统
计图，其中图（1）中 所占扇形的圆心角为 ．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社
团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选
第5页（共31页）两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2019•本溪）如图，在四边形 中， ， ， ，延长
到点 ，使 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
22．（12分）（2019•本溪）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图
①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆
，箱长 ，拉杆 的长度都相等， ， 在 上， 在 上，支杆 ，
， ， ，请根据以上信息，解决下列向题．
（1）求 的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离（结果保留根号）．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2019•本溪）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将
该产品进行网络批发，批发单价 （元 与一次性批发量 （件 为正整数）之间满足如图所
示的函数关系．
（1）直接写出 与 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
第6页（共31页）六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2019•本溪）如图，点 为正方形 的对角线 上的一点，连接 并延长
交 于点 ，交 的延长线于点 ， 是 的外接圆，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，正方形 的边长为4，求 的半径和线段 的长．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2019•本溪）在 中， ， ， 是 边上一点，且
， 是 的中点， 是 的中线．
（1）如图 ，连接 ，请直接写出 和 的数量关系： ；
（2）点 是射线 上的一个动点，将射线 绕点 逆时针旋转得射线 ，使
， 与射线 交于点 ．
①如图 ，猜想并证明线段 和线段 之间的数量关系；
②若 ， ，当 时，请直接写出线段 的长度（用含 的代数
式表示）．
第7页（共31页）八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2019•本溪）抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点为
，对称轴交 轴于点 ，点 为抛物线对称轴 上的一动点（点 不与 ， 重合）．过
点 作直线 的垂线交 于点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 的面积为5时，求点 的坐标；
（3）当 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．
第8页（共31页）2019 年辽宁省本溪市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）下列各数是正数的是
A．0 B．5 C． D．
【分析】此题利用正数和负数的概念即可解答．
【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数； 和 都是负数．
故选： ．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断．
【解答】解： 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选： ．
3．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
第9页（共31页）、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项正确；
故选： ．
4．（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表
示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将数据9560000科学记数法表示为 ．
故选： ．
5．（3分）下表是我市七个县（区 今年某日最高气温 的统计结果：
县（区 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县
气温 26 26 25 25 25 23 22
则该日最高气温 的众数和中位数分别是
A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25
【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解： 在这7个数中， 出现了3次，出现的次数最多，
该日最高气温 的众数是25；
把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25，
则中位数为：25；
故选： ．
6．（3分）不等式组 的解集是
A． B． C． D．
第10页（共31页）【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选： ．
7．（3分）如图所示，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，
故选： ．
8．（3分）下列事件属于必然事件的是
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立
C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小
D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
第11页（共31页）【解答】解： 、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；
、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；
、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；
、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；
故选： ．
9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行
垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号
机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台 万元，根据题意，所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设甲种型号机器人每台的价格是 万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480
万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于 的分式方程．
【解答】解：设甲型机器人每台 万元，根据题意，可得： ，
故选： ．
10．（3分）如图，点 是以 为直径的半圆上的动点， ， 于点 ，连接
，设 ， ，则下列函数图象能反映 与 之间关系的是
A．
第12页（共31页）B．
C．
D．
【分析】设圆的半径为 ，连接 ，则 ，则
，即可求解．
【解答】设：圆的半径为 ，连接 ，
则 ，
，即 是圆的切线，则 ，
则 ，
则 ，
图象为开口向下的抛物线，
故选： ．
二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分）
第13页（共31页）11．（3分）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，再解即可．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
12．（3分）函数 的图象经过的象限是 一、三 ．
【分析】利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可．
【解答】解：函数 的图象经过一三象限，
故答案为：一、三
13．（3分）如果关于 的一元二次方程 有实数根，那么 的取值范围是
．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于 的不等式，求出不等
式的解集即可得到 的范围．
【解答】解：根据题意得：△ ，
解得： ．
故答案为： ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别是 ， ，以点 为位似中心，
相们比为 ，把 缩小，得到△ ，则点 的对应点 的坐标为 或 ．
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：以点 为位似中心，相们比为 ，把 缩小，点 的坐标是 ，
则点 的对应点 的坐标为 ， 或 ， ，即 或 ，
故答案为： 或 ．
15．（3分）如图， 是矩形 的对角线，在 和 上分别截取 ， ，使 ；
分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线
交 于点 ，若 ，则点 到 的距离为 3 ．
第14页（共31页）【分析】首先结合作图的过程确定 是 的平分线，然后根据角平分线的性质求得点
到 的距离即可．
【解答】解：结合作图的过程知： 平分 ，
， ，
点 到 的距离等于 的长，为3，
故答案为：3．
16．（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形
内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 ．
【分析】如图所示， 与直线的交点为 ， 与直线的交点为 ，分别求出 、 所占
边长的比例即可解答．
【解答】解：如图所示， 与直线的交点为 ， 与直线的交点为 ，
根据题意可知 ， ，
，
第15页（共31页）小球停留在阴影区域的概率为： ．
故答案为：
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边 和菱形 的边 ， 都在 轴上，
点 在 边上， ，反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为 ．
【分析】连接 ，由 是等边三角形，得到 ，根据平行线的性质得到
，推出 是等边三角形，得到 ，得到
，求得 ，推出 ，过 作 于 ，由等边三角
形的性质得到 ，求得 ，于是得到结论．
【解答】解：连接 ，
是等边三角形，
，
四边形 是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
第16页（共31页），
过 作 于 ，
，
，
反比例函数 的图象经过点 ，
的值为 ，
故答案为： ．
18．（3分）如图，点 在直线 上，点 的横坐标为2，过 作 ，交 轴于点 ，
以 为边，向右作正方形 ，延长 交 轴于点 ；以 为边，向右作正方形
，延长 交 轴于点 ；以 为边，向右作正方形 延长 交 轴
于点 ； ；按照这个规律进行下去，点 的横坐标为 （结果用含正整数 的
代数式表示）
第17页（共31页）【分析】根据点 的横坐标为2，在直线 上，可求出点 的坐标，由作图可知图中所
有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 ，然后依次利用相似三角形的性质计算出
、 、 、 的横坐标，根据规律得出答案．
【解答】解：过点 、 、 、 、 分别作 轴， 轴， 轴，
轴， 轴， 垂足分别为 、 、 、 、
点 在直线 上，点 的横坐标为2，
点 的纵坐标为1，
即： ， ，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 ，
点 的横坐标为： ，
点 的横坐标为：
点 的横坐标为：
第18页（共31页）点 的横坐标为：
点 的横坐标为：
故答案为：
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值 ，其中 满足 ．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据 ，可以求得所
求式子的值．
【解答】解：
，
第19页（共31页），
，
原式 ．
20．（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团： ．机器人， ．围棋， ．羽
毛球， ．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学
生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图
（1）中 所占扇形的圆心角为 ．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 20 0 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社
团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选
两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）由 类有20人，所占扇形的圆心角为 ，即可求得这次被调查的学生数；
（2）首先求得 项目对应人数，即可补全统计图；
（3）该校1000学生数 参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位
同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1） 类有20人，所占扇形的圆心角为 ，
这次被调查的学生共有： （人 ；
故答案为：200；
第20页（共31页）（2） 项目对应人数为： （人 ；
补充如图．
（3） （人
答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团；
（4）画树状图得：
共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
（选中甲、乙） ．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）如图，在四边形 中， ， ， ，延长 到点 ，使
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
【分析】（1）通过证明四边形 是平行四边形，可得结论；
第21页（共31页）（2）由平行四边形的性质可求 ，即可求四边形 的面积．
【解答】证明：（1） ，
，
，且
四边形 是平行四边形
（2） 四边形 是平行四边形
四边形 的面积
22．（12分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是
她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 ，箱长 ，
拉杆 的长度都相等， ， 在 上， 在 上，支杆 ， ，
， ，请根据以上信息，解决下列向题．
（1）求 的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离（结果保留根号）．
【分析】（1）过 作 于 ，解直角三角形即可得到结论；
（2）过 作 交 的延长线于 ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过 作 于 ，
，
， ，
第22页（共31页）， ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）过 作 交 的延长线于 ，
，
，
答：拉杆端点 到水平滑杆 的距离为 ．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网
络批发，批发单价 （元 与一次性批发量 （件 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出 与 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
第23页（共31页）【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；
（2）根据利润 （售价 成本） 件数，列出利润的表达式，求出最值．
【解答】解：（1）当 且 为整数时， ；
当 且 为整数时， ；
当 且 为整数时， ；
（2）设所获利润 （元 ，
当 且 为整数时， ，
元，
当 且 为整数时， ，
当 且 为整数时， ，
，
，
，
，
当 时， 最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，点 为正方形 的对角线 上的一点，连接 并延长交 于点 ，
交 的延长线于点 ， 是 的外接圆，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，正方形 的边长为4，求 的半径和线段 的长．
第24页（共31页）【分析】（1）连接 ，可证 ，可得 ，由 ，
，可证出 ，则 是 的切线；
（2）先求出 长，在 中可求出 长，证明 ，由比例线段可求出
长，则 可求出．
【解答】（1）连接 ，
正方形 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第25页（共31页），
是 的切线；
（2） ，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
在 中， ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
解得 ，
．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）在 中， ， ， 是 边上一点，且 ，
是 的中点， 是 的中线．
（1）如图 ，连接 ，请直接写出 和 的数量关系： ；
第26页（共31页）（2）点 是射线 上的一个动点，将射线 绕点 逆时针旋转得射线 ，使
， 与射线 交于点 ．
①如图 ，猜想并证明线段 和线段 之间的数量关系；
②若 ， ，当 时，请直接写出线段 的长度（用含 的代数
式表示）．
【分析】（1）结论： ．理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解
决问题即可．
（2）①只要证明 ，即可解决问题．
②分两种情形：如图 中，当点 在 的延长线上时，如图 中，当点 在线段 上
时，作 于 ．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）结论： ．
理由：如图1中，连接 ．
， ， ，
， ，
，
， ，
第27页（共31页）， ，
．
，
．
故答案为： ．
（2）如图2中，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图 中，当点 在 的延长线上时，
第28页（共31页）， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
．
如图 中，当点 在线段 上时，作 于 ．
， ，
，
，
，
第29页（共31页），
，
，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ，对称轴交
轴于点 ，点 为抛物线对称轴 上的一动点（点 不与 ， 重合）．过点 作直线
的垂线交 于点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 的面积为5时，求点 的坐标；
（3）当 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）函数的表达式为： ，即可求解；
（ 2 ） 确 定 、 的 表 达 式 ， 联 立 求 得 点 ， ，
，即可求解；
（3）分当 、 、 三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数的表达式为： ；
第30页（共31页）（2）抛物线的对称轴为 ，则点 ，
设点 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式： 并解得：
函数 的表达式为： ①，
，故直线 表达式中的 值为 ，
将点 的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线 的表达式为： ②，
联立①②并解得： ，
故点 ， ，
，
解得： 或 （舍去 ，
故点 ；
（3）由（2）确定的点 的坐标得：
， ， ，
①当 时，即： ，解得： 或 （均舍去），
②当 时， ，解得： 或3（舍去 ，
③当 时，同理可得： （舍去 ，
故点 或 ．
第31页（共31页）
