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2019年甘肃省中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.
1．（3分）（2019•甘肃）下列四个图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•甘肃）在0，2， ， 这四个数中，最小的数是
A．0 B．2 C． D．
3．（3分）（2019•甘肃）使得式子 有意义的 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•甘肃）计算 的结果是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•甘肃）如图，将一块含有 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若
，那么 的度数是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•甘肃）已知点 在 轴上，则点 的坐标是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•甘肃）若一元二次方程 的一根为 ，则 的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
8．（3分）（2019•甘肃）如图， 是 的直径，点 、 是圆上两点，且 ，则
第1页（共26页）A． B． C． D．
9．（3分）（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞
赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则
下列说法正确的是
参加人数 平均数 中位数 方差
甲 45 94 93 5.3
乙 45 94 95 4.8
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
10．（3分）（2019•甘肃）如图是二次函数 的图象，对于下列说法：① ，②
，③ ，④ ，⑤当 时， 随 的增大而减小，其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）（2019•甘肃）分解因式： ．
第2页（共26页）12．（3分）（2019•甘肃）不等式组 的最小整数解是 ．
13．（3分）（2019•甘肃）分式方程 的解为 ．
14．（3分）（2019•甘肃）在 中 ， ，则 ．
15．（3分）（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几
何体的左视图的面积为 ．
16．（3分）（2019•甘肃）如图，在 中， ， ，点 是 的中点，
以 、 为圆心， 、 长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ，则图中阴影部分的面
积为 ．
17．（3分）（2019•甘肃）如图，在矩形 中， ， ， 为 上一点，把
沿 折叠，使点 落在 边上的 处，则 的长为 ．
18．（3分）（2019•甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，
第3页（共26页）第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第 幅图中有2019个菱形，则 ．
三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.
19．（4分）（2019•甘肃）计算： ．
20．（4分）（2019•甘肃）如图，在 中，点 是 上一点，连接 ，求作一点 ，使得
点 到 和 两边的距离相等，并且到点 和点 的距离相等．（不写作法，保留作图痕
迹）
21．（6分）（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其
中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终
剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
22．（6分）（2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．
中小学楼梯宽度的范围是 含 ，高度的范围是 （含
．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下： ， 分别垂直平分踏
步 ， ，各踏步互相平行， ， ， ，试问该中学楼梯踏步
的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到 ，参考数据： ，
23．（6分）（2019•甘肃）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其
中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从
甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为 ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为 ．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有 可能的结果；
第4页（共26页）（2）若 ， 都是方程 的解时，则小明获胜；若 ， 都不是方程
的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤
24．（7分）（2019•甘肃）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，
荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又
优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体
质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进
行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
年级
七年级 0 10 4 1
八年级 1 5 8 1
（说明：90分及以上为优秀， 分（不含90分）为良好， 分（不含80分）为及格，
60分以下为不及格）
分析数据：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 75 75
八年级 77.5 80
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
25．（7分）（2019•甘肃）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于
、 两点，与 轴相交于点 ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
第5页（共26页）（2）若点 与点 关于 轴对称，求 的面积；
（3）若 ， 、 ， 是反比例函数 上的两点，当 时，比较 与 的
大小关系．
26．（8分）（2019•甘肃）如图，在正方形 中，点 是 的中点，连接 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ．
（1）证明： ；
（2）连接 ，证明： ．
27．（8分）（2019•甘肃）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，
切线 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
28．（10分）（2019•甘肃）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 、
，与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
第6页（共26页）（2）若点 为抛物线上的一点，点 为对称轴上的一点，且以点 、 、 、 为顶点的四边
形为平行四边形，求点 的坐标；
（3）点 是二次函数第四象限图象上一点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，求四边
形 面积的最大值及此时点 的坐标．
第7页（共26页）2019 年甘肃省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.
1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解： ．此图案是中心对称图形，符合题意；
．此图案不是中心对称图形，不合题意；
．此图案不是中心对称图形，不合题意；
．此图案不是中心对称图形，不合题意；
故选： ．
2．（3分）在0，2， ， 这四个数中，最小的数是
A．0 B．2 C． D．
【考点】有理数大小比较
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反
而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
，
所以最小的数是 ．
故选： ．
3．（3分）使得式子 有意义的 的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
第8页（共26页）【解答】解：使得式子 有意义，则： ，
解得： ，
即 的取值范围是： ．
故选： ．
4．（3分）计算 的结果是
A． B． C． D．
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
5．（3分）如图，将一块含有 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若 ，那么
的度数是
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．
【解答】解： 将一块含有 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上， ，
．
故选： ．
6．（3分）已知点 在 轴上，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【考点】点的坐标
【分析】直接利用关于 轴上点的坐标特点得出 的值，进而得出答案．
【解答】解： 点 在 轴上，
第9页（共26页），
解得： ，
，
则点 的坐标是： ．
故选： ．
7．（3分）若一元二次方程 的一根为 ，则 的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
【考点】一元二次方程的解
【分析】把 代入方程计算即可求出 的值．
【解答】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故选： ．
8．（3分）如图， 是 的直径，点 、 是圆上两点，且 ，则
A． B． C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】由 ，可求得 的度数，然后由圆周角定理，求得 的度数．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们
成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确
的是
参加人数 平均数 中位数 方差
甲 45 94 93 5.3
第10页（共26页）乙 45 94 95 4.8
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
【考点】众数；算术平均数；中位数；方差
【分析】由两个班的平均数相同得出选项 正确；由众数的定义得出选项 不正确；由方差的
性质得出选项 不正确；由两个班的中位数得出选项 不正确；即可得出结论．
【解答】解： 、甲、乙两班的平均水平相同；正确；
、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；
、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；
、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；
故选： ．
10．（3分）如图是二次函数 的图象，对于下列说法：① ，② ，
③ ，④ ，⑤当 时， 随 的增大而减小，其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象可知： ， ，
，故①错误；
②由于对称轴可知： ，
，故②正确；
③由于抛物线与 轴有两个交点，
第11页（共26页）△ ，故③正确；
④由图象可知： 时， ，
故④正确；
⑤当 时， 随着 的增大而增大，故⑤错误；
故选： ．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）分解因式： ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式 ，再利用平方差公式对因式 进行分解．
【解答】解： ，
，
．
12．（3分）不等式组 的最小整数解是 0 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．
【解答】解：不等式组整理得： ，
不等式组的解集为 ，
则最小的整数解为0，
故答案为：0
13．（3分）分式方程 的解为 ．
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
第12页（共26页）经检验 是分式方程的解．
故答案为： ．
14．（3分）在 中 ， ，则 ．
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求
解．
【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在 中， ， ，
设 ， ，则 ，
．
故答案为： ．
15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视
图的面积为 ．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体
的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
第13页（共26页）【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为 ，高为 ，三棱柱的高为
3，所以，其表面积为 ．
故答案为 ．
16．（3分）如图，在 中， ， ，点 是 的中点，以 、 为圆
心， 、 长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ，则图中阴影部分的面积为
．
【考点】等腰直角三角形；扇形面积的计算
【分析】根据 ，计算即可．
【解答】解：在 中， ， ，
， ，
是 的中点，
，
，
故答案为：
17．（3分）如图，在矩形 中， ， ， 为 上一点，把 沿 折叠，
使点 落在 边上的 处，则 的长为 ．
第14页（共26页）【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【分析】设 ，则 由折叠性质可知， ， ，所以
， ，在 中， ，即 ，
解得 ．
【解答】解：设 ，则 由折叠性质可知， ， ，
在 中， ， ，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
故答案为 ．
18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有
3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第 幅图中有2019个菱形，则 101 0 ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有 个，第3幅图中有
个， ，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．
【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有 个．
第3幅图中有 个．
第15页（共26页）第4幅图中有 个．
．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第 幅图中共有 个．
当图中有2019个菱形时，
，
，
故答案为：1010．
三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.
19．（4分）计算： ．
【考点】负整数指数幂；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算
时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式 ，
．
20．（4分）如图，在 中，点 是 上一点，连接 ，求作一点 ，使得点 到 和
两边的距离相等，并且到点 和点 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】线段垂直平分线的性质；作图 复杂作图；角平分线的性质
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【解答】解：如图，点 即为所求，
21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》
中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今
第16页（共26页）有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车
可乘，问共有多少人，多少辆车？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设共有 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设共有 人，
根据题意得： ，
去分母得： ，
解得： ，
，
则共有39人，15辆车．
22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯
宽度的范围是 含 ，高度的范围是 （含 ．如
图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下： ， 分别垂直平分踏步 ， ，
各踏步互相平行， ， ， ，试问该中学楼梯踏步的宽度和高
度是否符合规定．（结果精确到 ，参考数据： ，
【考点】解直角三角形的应用 坡度坡角问题；线段垂直平分线的性质
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得 和 的长，然
后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
【解答】解：连接 ，作 于点 ，
， ， 分别垂直平分踏步 ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
， ，
第17页（共26页）， ，
， ，
该中学楼梯踏步的高度符合规定，
， ，
该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的
小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸
出一个小球，记下数字为 ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为 ．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有 可能的结果；
（2）若 ， 都是方程 的解时，则小明获胜；若 ， 都不是方程
的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程 因式分解法
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根
据概率公式求解．
【解答】解：（1）树状图如图所示：
（2） ， 都是方程 的解，
， ，或 ， ，
由树状图得：共有12个等可能的结果， ， 都是方程 的解的结果有2个，
， 都不是方程 的解的结果有2个，
小明获胜的概率为 ，小利获胜的概率为 ，
小明、小利获胜的概率一样大．
第18页（共26页）四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤
24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白
质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，
只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，
以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过
程如下：
收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
年级
七年级 0 10 4 1
八年级 1 5 8 1
（说明：90分及以上为优秀， 分（不含90分）为良好， 分（不含80分）为及格，
60分以下为不及格）
分析数据：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 76. 8 75 75
八年级 77.5 80
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
【考点】算术平均数；用样本估计总体；中位数；频数（率 分布表；众数
【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；
（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一
些；
（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．
【解答】解：（1）七年级的平均数为
第19页（共26页），
八年级的众数为81；
故答案为：76.8；81；
（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：
八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好
一些；
故答案为：八；
（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数 （人 ．
25．（7分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 、
两点，与 轴相交于点 ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点 与点 关于 轴对称，求 的面积；
（3）若 ， 、 ， 是反比例函数 上的两点，当 时，比较 与 的
大小关系．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点 坐标，发现 轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．
【解答】解：（1） 反比例函数 经过点 ，
，
点 在 上，
第20页（共26页），
，
把 ， 坐标代入 ，则有 ，
解得 ，
一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ．
（2） 直线 交 轴于 ，
，
， 关于 轴对称，
，
轴，
．
（3） ， 、 ， 是反比例函数 上的两点，且 ，
．
26．（8分）如图，在正方形 中，点 是 的中点，连接 ，过点 作 交
于点 ，交 于点 ．
（1）证明： ；
（2）连接 ，证明： ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到 ， ，
第21页（共26页），即可得出 ；
（2）延长 交 的延长线于 ，根据 ，即可得出 是 的中点，进而得
到 ．
【解答】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
，
；
（2）如图所示，延长 交 的延长线于 ，
是 的中点，
，
又 ， ，
，
，
即 是 的中点，
又 ，
中， ．
27．（8分）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，切线 交
于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
第22页（共26页）【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】（1）只要证明 ， 即可解决问题；
（2）首先证明 ，在 中， ，设 ，在 中，
，在 中， ，可得 ，解方程即
可解决问题．
【解答】（1）证明：连接 ，
是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接 ．
，
，
是 的直径， ，
是 的切线，
，
，
，
，
在 中， ，
第23页（共26页）设 ，在 中， ，在 中， ，
，
解得 ，
．
28．（10分）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，与 轴
交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点 为抛物线上的一点，点 为对称轴上的一点，且以点 、 、 、 为顶点的四边
形为平行四边形，求点 的坐标；
（3）点 是二次函数第四象限图象上一点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，求四边
形 面积的最大值及此时点 的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；
（3）利用 ，即可求解．
第24页（共26页）【解答】解：（1）用交点式函数表达式得： ；
故二次函数表达式为： ；
（2）①当 为平行四边形一条边时，如图1，
则 ，
则点 坐标为 ，
当点 在对称轴左侧时，即点 的位置，点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，
故：点 或 ；
②当 是四边形的对角线时，如图2，
中点坐标为
设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为2，其中点坐标为： ，
即： ，解得： ，
故点 ；
故：点 或 或 ；
（3）直线 的表达式为： ，
第25页（共26页）设点 坐标为 ，则点 ，
，
，故四边形 面积有最大值，
当 ，其最大值为 ，此时点 ， ．
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