文档内容
2019年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•达州）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．（3分）（2019•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4
C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
3．（3分）（2019•鄂州）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据
1031万用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1031×106 B．1.031×107 C．1.031×108 D．10.31×109
4．（3分）（2019•鄂州）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•鄂州）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝
35°，则∠1的度数为（ ）
第1页（共27页）A．45° B．55° C．65° D．75°
6．（3分）（2019•鄂州）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为
（ ）
A．3 B．4.5 C．5.2 D．6
7．（3分）（2019•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x 、x ，且
1 2
x +3x ＝5，则m的值为（ ）
1 2
A． B． C． D．0
8．（3分）（2019•鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝ （k为常数，且
k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
abc＜0； 3a+c＞0； （a+c）2﹣b2＜0； a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正
①确的个数为（② ） ③ ④
第2页（共27页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、A 、A …A 在x轴上，B 、B 、B …
1 2 3 n 1 2 3
B 在直线y＝ x上，若A（1，0），且△A B A 、△A B A …△A B A 都是等边三角形，
n 1 1 1 2 2 2 3 n n n+1
从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S 、S 、S …S ．则S 可表示为（ ）
1 2 3 n n
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019•鄂州）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝ ．
12．（3分）（2019•鄂州）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y≤0，则m
的取值范围是 ．
13．（3分）（2019•鄂州）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是
．
14．（3分）（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x ，y ）到直线Ax+By+C＝0的距离公式
0 0
为：d＝ ，则点P（3，﹣3）到直线y＝﹣ x+ 的距离为 ．
15．（3分）（2019•鄂州）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，
第3页（共27页）P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
16．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴
相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为 C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最
大值为 ． ⊙
三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2019•鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
（ ﹣ ）÷
18．（8分）（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点
O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
19．（8分）（2019•鄂州）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的
喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节
目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
第4页（共27页）类别 A B C D E
类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 11 20 40 m 4
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ，A类对应扇形的圆心角为
度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学
去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
20．（8分）（2019•鄂州）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x 、x ，且 + ＝x •x ，试求k的值．
1 2 1 2
21．（8分）（2019•鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部
新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底
部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处
的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F
处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到
0.1米， ≈1.41， ≈1.73）．
第5页（共27页）22．（10分）（2019•鄂州）如图，PA是 O的切线，切点为A，AC是 O的直径，连接OP交
O于E．过A点作AB⊥PO于点D⊙，交 O于B，连接BC，PB⊙．
⊙（1）求证：PB是 O的切线； ⊙
（2）求证：E为△⊙PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝ ，BC＝1，求PO的长．
23．（10分）（2019•鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲
裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，
该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条
裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，
最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐
款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单
价？
24．（12分）（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y
轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F
第6页（共27页）的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛
物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
①△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
②
第7页（共27页）2019 年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•达州）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
【考点】绝对值．
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【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．
故选：A．
2．（3分）（2019•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4
C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．
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【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a5，不符合题意；
B、原式＝a4，符合题意；
C、原式＝9a2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2a+1，不符合题意，
故选：B．
3．（3分）（2019•鄂州）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据
1031万用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1031×106 B．1.031×107 C．1.031×108 D．10.31×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据
此判断即可．
【解答】解：将1031万用科学记数法可表示为1.031×107．
故选：B．
4．（3分）（2019•鄂州）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（ ）
第8页（共27页）A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左主视图中．
【解答】解：从左面看易得其左视图为：
故选：A．
5．（3分）（2019•鄂州）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则
∠1的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
第9页（共27页）【解答】解：如图，
作EF∥AB∥CD，
∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠1＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
6．（3分）（2019•鄂州）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为
（ ）
A．3 B．4.5 C．5.2 D．6
【考点】算术平均数；方差．
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【分析】先由平均数是5计算x的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
【解答】解：∵一组数据7，2，5，x，8的平均数是5，
∴5＝ （7+2+5+x+8），
∴x＝5×5﹣7﹣2﹣5﹣8＝3，
∴s2＝ [（7﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+（8﹣5）2]＝5.2，
故选：C．
7．（3分）（2019•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x 、x ，且
1 2
x +3x ＝5，则m的值为（ ）
1 2
A． B． C． D．0
【考点】根与系数的关系．
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【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x ＝4，代入代数式计算即可．
1 2
【解答】解：∵x +x ＝4，
1 2
∴x +3x ＝x +x +2x ＝4+2x ＝5，
1 2 1 2 2 2
∴x ＝ ，
2
第10页（共27页）把x ＝ 代入x2﹣4x+m＝0得：（ ）2﹣4× +m＝0，
2
解得：m＝ ，
故选：A．
8．（3分）（2019•鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝ （k为常数，且
k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．
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【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确
的，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y＝ （k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y＝ 经过第一、三象限，故选项A、B错误，
当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y＝ 经过第二、四象限，故选项C正确，选项
D错误，
故选：C．
9．（3分）（2019•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
abc＜0； 3a+c＞0； （a+c）2﹣b2＜0； a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正
①确的个数为（② ） ③ ④
第11页（共27页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
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【分析】 由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与
y轴正半①轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项 错误；
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以①正确；
②由x＝1时对应的函数值＜0，可得出a+b+c＜0，得②到a+c＜﹣b，由a＞0，c＞0，﹣b＞0，
③得到（ ）a+c）2﹣b2＜0，选项 正确；
由对称轴为直线x＝1，即x＝1时③，y有最小值，可得结论，即可得到 正确．
④【解答】解： ∵抛物线开口向上，∴a＞0， ④
∵抛物线的对①称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0， 错误；
当x＝﹣1①时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
②
∵ ，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以 正确；
当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0， ②
③∴a+c＜﹣b，
∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，
∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以 正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ③
④∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
第12页（共27页）即a+b≤m（am+b），所以 正确．
故选：C． ④
10．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、A 、A …A 在x轴上，B 、B 、B …
1 2 3 n 1 2 3
B 在直线y＝ x上，若A（1，0），且△A B A 、△A B A …△A B A 都是等边三角形，
n 1 1 1 2 2 2 3 n n n+1
从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S 、S 、S …S ．则S 可表示为（ ）
1 2 3 n n
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】直线y＝ x与x轴的成角∠B OA ＝30°，可得∠OB A ＝30°，…，∠OB A ＝30°，
1 1 2 2 n n
∠OB A ＝90°，…，∠OB A ＝90°；根据等腰三角形的性质可知A B ＝1，B A ＝OA ＝2，
1 2 n n+1 1 1 2 2 2
B A ＝4，…，B A ＝2n﹣1；根据勾股定理可得B B ＝ ，B B ＝2 ，…，B B ＝2n ，
3 3 n n 1 2 2 3 n n+1
再由面积公式即可求解；
【解答】解：∵△A B A 、△A B A …△A B A 都是等边三角形，
1 1 2 2 2 3 n n n+1
∴A B ∥A B ∥A B ∥…∥A B ，B A ∥B A ∥B A ∥…∥B A ，△A B A 、△A B A …
1 1 2 2 3 3 n n 1 2 2 3 3 4 n n+1 1 1 2 2 2 3
△A B A 都是等边三角形，
n n n+1
∵直线y＝ x与x轴的成角∠B OA ＝30°，∠OA B ＝120°，
1 1 1 1
∴∠OB A ＝30°，
1 1
∴OA ＝A B ，
1 1 1
∵A （1，0），
1
∴A B ＝1，
1 1
同理∠OB A ＝30°，…，∠OB A ＝30°，
2 2 n n
∴B A ＝OA ＝2，B A ＝4，…，B A ＝2n﹣1，
2 2 2 3 3 n n
易得∠OB A ＝90°，…，∠OB A ＝90°，
1 2 n n+1
第13页（共27页）∴B B ＝ ，B B ＝2 ，…，B B ＝2n ，
1 2 2 3 n n+1
∴S ＝ ×1× ＝ ，S ＝ ×2×2 ＝2 ，…，S ＝ ×2n﹣1×2n ＝ ；
1 2 n
故选：D．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019•鄂州）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝ a （ 2 x ﹣ 1 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（4x2﹣4x+1）＝a（2x﹣1）2，
故答案为：a（2x﹣1）2
12．（3分）（2019•鄂州）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y≤0，则m
的取值范围是 m ≤﹣ 2 ．
【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式．
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【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y≤0即可得到关于m的不
等式，求得m的范围．
【解答】解： ，
+ 得2x+2y＝4m+8，
①则x+②y＝2m+4，
根据题意得2m+4≤0，
解得m≤﹣2．
故答案是：m≤﹣2．
13．（3分）（2019•鄂州）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是
．
【考点】圆锥的计算．
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【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝ ×底面半径×母线长，
把相应数值代入即可求解． π
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为 ＝5 ，
∴圆锥的侧面积为 ×5 ×5＝ ，
π
第14页（共27页）故答案为： ．
14．（3分）（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x ，y ）到直线Ax+By+C＝0的距离公式
0 0
为：d＝ ，则点P（3，﹣3）到直线y＝﹣ x+ 的距离为 ．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据题目中的距离公式即可求解．
【解答】解：∵y＝﹣ x+
∴2x+3y﹣5＝0
∴点P（3，﹣3）到直线y＝﹣ x+ 的距离为： ＝ ，
故答案为： ．
15．（3分）（2019•鄂州）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，
P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
【考点】勾股定理．
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【分析】分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股
定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2 ，
∴BP＝ ＝2 ，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2 ，
第15页（共27页）故答案为：2或2 或2 ．
16．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴
相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为 C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最
大值为 1 6 ． ⊙
【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；切线的性质．
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【分析】连接OC并延长，交 C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作 O，交x轴于A、
B，此时AB的长度最大，根⊙据勾股定理和题意求得OP＝8，则AB的最⊙大长度为16．
【解答】解：连接OC并延长，交 C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作 O，交x轴于
A、B，此时AB的长度最大， ⊙ ⊙
∵C（3，4），
∴OC＝ ＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴ C的半径为3，
∴⊙OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
第16页（共27页）∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2019•鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
（ ﹣ ）÷
【考点】分式的化简求值．
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【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]÷
＝[ ﹣ ]）÷
＝ •
＝x+2
∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，
∴x≠2且x≠4，
∴当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+2＝1．
18．（8分）（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点
O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．
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【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全
等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；
第17页（共27页）（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝
8﹣x根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解之得：x＝ ，
∴DE＝8﹣ ＝ ，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD＝ ，
∴OD＝ BD＝5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，
∴OE＝ ，
∴EF＝2OE＝ ．
19．（8分）（2019•鄂州）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的
喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节
第18页（共27页）目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 11 20 40 m 4
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 25 ，统计图中n的值为 25 ，A类对应扇形的圆心角为
39.6 度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学
去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
【考点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；列表法与树状图法．
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【分析】（1）先根据B类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数
求出m，继而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A类别人数所占比例即可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100，
∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝ ×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为
360°× ＝39.6°，
故答案为：25、25、39.6．
（2）1500× ＝300（人）
答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；
（3）画树状图如下：
第19页（共27页）共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
所以所选2名同学中有男生的概率为 ．
20．（8分）（2019•鄂州）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x 、x ，且 + ＝x •x ，试求k的值．
1 2 1 2
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
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【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2
﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
【解答】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
（2）∵x ，x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
1 2
x
1
+x
2
＝2，x
1
•x
2
＝2k﹣1
又∵ + ＝x •x ，
1 2
∴
∴（x
1
+x
2
）2﹣2x
1
x
2
＝（x
1
•x
2
）2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
解之，得： ．经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
∴ ．
第20页（共27页）21．（8分）（2019•鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部
新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底
部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处
的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F
处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到
0.1米， ≈1.41， ≈1.73）．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；得到四
边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90° ；
∴四边形DEFG是矩形；
∴FG＝DE；
在Rt△CDE中，
DE＝CE•tan∠DCE；
＝6×tan30 o ＝2 （米）；
∴点F到地面的距离为2 米；
（2）∵斜坡CF i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2 ×1.5＝3 ，
∴FD＝EG＝3 +6．
在Rt△BCE中，
BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6 ．
第21页（共27页）∴AB＝AD+DE﹣BE．
＝3 +6+2 ﹣6 ＝6﹣ ≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
22．（10分）（2019•鄂州）如图，PA是 O的切线，切点为A，AC是 O的直径，连接OP交
O于E．过A点作AB⊥PO于点D⊙，交 O于B，连接BC，PB⊙．
⊙（1）求证：PB是 O的切线； ⊙
（2）求证：E为△⊙PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝ ，BC＝1，求PO的长．
【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形．
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【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到
∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三
角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，
计算即可．
【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为 O的直径，
∴∠ABC⊙＝90°，
∵AB⊥PO，
第22页（共27页）∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为 O的切线，
∴∠OA⊙P＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是 O的切线；
（2）证⊙明：连结AE，
∵PA为 O的切线，
∴∠PAE⊙+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为 O的切线，
∴PD平分∠A⊙PB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝ ，
在Rt△ABC中，cos∠C＝ ＝ ＝ ，
第23页（共27页）∴AC＝ ，AO＝ ，
∵△PAO∽△ABC，
∴ ，
∴PO＝ ＝ ＝5．
23．（10分）（2019•鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲
裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，
该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条
裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，
最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐
款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单
价？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
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【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
（3）利用总利润＝4220+200，求出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500
第24页（共27页）∵a＝﹣5＜0∴w有最大值
即当x＝70时，w最大值 ＝4500
∴应降价80﹣70＝10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200
解之，得：x
1
＝66，x
2
＝74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
24．（12分）（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y
轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F
的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛
物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
①△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
②
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）将A、B关坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；
（2）确定直线BC的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F关于直线x＝1对称，即可求解；
第25页（共27页）（3） △AOC与△BMN相似，则 ，即可求解； 分OQ＝BQ、BO＝BQ、OQ
① ②
＝OB三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
代入y＝﹣x2+bx+c中，得： ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则有： ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点E、F关于直线x＝1对称，
又E到对称轴的距离为1，
∴EF＝2，
∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，
得：y＝﹣2+3＝1，
∴F（2，1）；
（3） 如下图，
MN＝①﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，
△AOC与△BMN相似，则 ，
即： ，
解得：t＝ 或﹣ 或3或1（舍去 、﹣ 、3），
故：t＝1；
第26页（共27页）∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），
②∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，
第一种，当OQ＝BQ时，
∵QM⊥OB
∴OM＝MB
∴2t＝3﹣2t
∴t＝ ；
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中
∵∠OBQ＝45°，
∴BQ＝ ，
∴BO＝ ，
即3＝ ，
∴t＝ ；
第三种，当OQ＝OB时，
则点Q、C重合，此时t＝0
而t＞0，故不符合题意
综上述，当t＝ 或 秒时，△BOQ为等腰三角形．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/9 8:38:34；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第27页（共27页）
