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2019年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•荆州）下列实数中最大的是（ ）
A． B． C． D．|﹣4|
π
2．（3分）（2019•荆州）下列运算正确的是（ ）
A．x﹣ x＝ B．a3•（﹣a2）＝﹣a6
C．（ ﹣1）（ +1）＝4 D．﹣（a2）2＝a4
3．（3分）（2019•荆州）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置
（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为
（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．（3分）（2019•荆州）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
5．（3分）（2019•荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，
若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD
交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质： 矩形的四个角都
是直角， 矩形的对角线互相平分， 等腰三角形的“三线合一”．小①明的作法依据是（
第1页（共30页）
② ③）
A． B． C． D．
6．（3分①）（②2019•荆州）若一次①函③数y＝kx+b的图象不经②过③第二象限，则关于①x的②方③程x2+kx+b
＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（3分）（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ），以原点为中心，将点A
顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（ ）
A．（ ，1） B．（ ，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）
8．（3分）（2019•荆州）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、
丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ）
A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C．丁同学的身高为1.71米
D．四位同学身高的众数一定是1.65
9．（3分）（2019•荆州）已知关于x的分式方程 ﹣2＝ 的解为正数，则k的取值范围为
（ ）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
10．（3分）（2019•荆州）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点
O恰好落在 上的点D处，且 l： l＝1：3（ l表示 的长），若将此扇形OAB围成一
个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
第2页（共30页）A．1：3 B．1： C．1：4 D．2：9
二、填空题（本大题共6小题每小π题3分，共18分）
11．（3分）（2019•荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是 ．
12．（3分）（2019•荆州）如图 ，已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为4cm，E，F，G分别是
1 1 1 1
AB，AA ，AD的中点，截①面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图
1
），则图 中阴影部分的面积为 cm2．
② ②
13．（3分）（2019•荆州）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数
时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x
的取值范围是 ．
14．（3分）（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测
绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北
偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为 海里（结果保留整数）．（参考数据
sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50， ≈2.24）
15．（3分）（2019•荆州）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，过B点的切线交AC的延
长线于点D，E为弦AC的中点，A⊙D＝10，BD＝6，若⊙点P为直径AB上的一个动点，连接
EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为 ．
第3页（共30页）16．（3分）（2019•荆州）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k x平分这
1
8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y
＝ 的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD ＝
．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）（2019•荆州）已知：a＝（ ﹣1）（ +1）+|1﹣ |，b＝ ﹣2sin45°+（ ）﹣1，求b
﹣a的算术平方根．
18．（8分）（2019•荆州）先化简（ ﹣1）÷ ，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数
作为a的值代入求值．
19．（8分）（2019•荆州）如图 ，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，
点C，D分别在OE和OF上①，现将△OEF绕点O逆时针旋转 角（0°＜ ＜90°），连接AF，
DE（如图 ）． α α
（1）在图②中，∠AOF＝ ；（用含 的式子表示）
（2）在图②中猜想AF与DE的数量关系，并α证明你的结论．
②
20．（8分）（2019•荆州）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九
年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图
表：
组别 个数段 频数 频率
1 0≤x＜10 5 0.1
第4页（共30页）2 10≤x＜20 21 0.42
3 20≤x＜30 a
4 30≤x＜40 b
（1）表中的数a＝ ，b＝ ；
（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现
从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生
一个女生的概率．
21．（8分）（2019•荆州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t
（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+（t k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y
＝x+1的伴随函数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面
积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，
n的值．
22．（10分）（2019•荆州）如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，点P是半径OB上一动
点（不与O，B重合），过点P作射⊙线1⊥AB，分别交弦⊙BC， 于D，E两点，在射线l上取
点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是 O的切线；
（2）当点E是 的⊙中点时，
若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
①
若tan∠ABC＝ ，且AB＝20，求DE的长．
②
第5页（共30页）23．（10分）（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某
中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老
师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师
少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有
2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数
为 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
24．（12分）（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标
分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当
PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称
轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
第6页（共30页）第7页（共30页）2019 年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•荆州）下列实数中最大的是（ ）
A． B． C． D．|﹣4|
π
【考点】绝对值；算术平方根；实数大小比较．
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【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ＜|﹣4|＝4，
π
∴所给的几个数中，最大的数是|﹣4|．
故选：D．
2．（3分）（2019•荆州）下列运算正确的是（ ）
A．x﹣ x＝ B．a3•（﹣a2）＝﹣a6
C．（ ﹣1）（ +1）＝4 D．﹣（a2）2＝a4
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；平方差公式；二次根式的混
合运算．
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【分析】根据合并同类项法则判断A；根据单项式乘单项式的法则判断B；根据平方差公式
以及二次根式的性质判断C；根据幂的乘方法则判断D．
【解答】解：A、x﹣ x＝ x，故本选项错误；
B、a3•（﹣a2）＝﹣a5，故本选项错误；
C、（ ﹣1）（ +1）＝5﹣1＝4，故本选项正确；
D、﹣（a2）2＝﹣a4，故本选项错误；
故选：C．
3．（3分）（2019•荆州）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置
（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为
（ ）
第8页（共30页）A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，
故选：B．
4．（3分）（2019•荆州）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
【考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．
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【分析】根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据数据表面积即可进行判断．
【解答】解：A、该几何体是长方体，正确；
B、该几何体的高为3，正确；
C、底面有一边的长是1，正确；
D、该几何体的表面积为：2×（1×2+2×3+1×3）＝22平方单位，故错误，
故选：D．
5．（3分）（2019•荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，
若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD
第9页（共30页）交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质： 矩形的四个角都
是直角， 矩形的对角线互相平分， 等腰三角形的“三线合一”．小①明的作法依据是（
） ② ③
A． B． C． D．
【考①点②】等腰三角形的性质①；③矩形的性质；作图—②基③本作图． ①②③
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【分析】利用矩形的性质得到AE＝CE，则OE为等腰三角形底边上的中线，利用等腰三角
形的性质可得到射线OE平分∠MON．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AE＝CE，
而OA＝OC，
∴OE为∠AOC的平分线．
故选：C．
6．（3分）（2019•荆州）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b
＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式；一次函数的性质．
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【分析】利用一次函数的性质得到k＞0，b≤0，再判断△＝k2﹣4b＞0，从而得到方程根的
情况．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ），以原点为中心，将点A
顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（ ）
A．（ ，1） B．（ ，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）
第10页（共30页）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【分析】如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．
∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°
∴∠AOE＝∠A′，
∵OA＝OA′，
∴△AOE≌△OA′F（AAS），
∴OF＝AE＝ ，A′F＝OE＝1，
∴A′（ ，1）．
故选：A．
8．（3分）（2019•荆州）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、
丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ）
A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C．丁同学的身高为1.71米
D．四位同学身高的众数一定是1.65
【考点】中位数；众数．
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【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集
中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个
数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则
中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中
点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进行分析即可
【解答】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；
B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；
第11页（共30页）C、丁同学的身高为1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确；
D．四位同学身高的众数一定是1.65，错误．
故选：C．
9．（3分）（2019•荆州）已知关于x的分式方程 ﹣2＝ 的解为正数，则k的取值范围为
（ ）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
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【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵ ＝2，
∴ ＝2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，
∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且k≠﹣1，
故选：B．
10．（3分）（2019•荆州）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点
O恰好落在 上的点D处，且 l： l＝1：3（ l表示 的长），若将此扇形OAB围成一
个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1： C．1：4 D．2：9
【考点】垂径定理；弧长的计π算；圆锥的计算．
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【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．
第12页（共30页）【解答】解：连接OD交OC于M．
由折叠的知识可得：OM＝ OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且 ： ＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2 r，
π
∴r：i＝2：9．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019•荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是 7 ．
【考点】二次函数的最值．
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【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．
【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
12．（3分）（2019•荆州）如图 ，已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为4cm，E，F，G分别是
1 1 1 1
AB，AA ，AD的中点，截①面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图
1
），则图 中阴影部分的面积为 2 cm2．
② ②
【考点】截一个几何体；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
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第13页（共30页）【分析】根据已知条件得到GF＝GE＝EF＝ ＝2 ，过G作GH⊥EF于H，求得
GH＝ GF＝ ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA ，AD的
1 1 1 1 1
中点，
∴GF＝GE＝EF＝ ＝2 ，
过G作GH⊥EF于H，
∴GH＝ GF＝ ，
∴图 中阴影部分的面积＝ ×2 × ＝2 cm2．
②
故答案为：2 ．
13．（3分）（2019•荆州）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数
时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x
的取值范围是 1 3 ≤ x ＜ 1 5 ．
【考点】一元一次不等式组的应用．
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【分析】根据题意得到：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5
解得13≤x＜15．
故答案是：13≤x＜15．
14．（3分）（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测
绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北
偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为 22. 4 海里（结果保留整数）．（参考数据
sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50， ≈2.24）
第14页（共30页）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】根据题意得MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝
90°，于是得到BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，得到四边形AMNE是矩形，根据
矩形的性质得到AE＝MN＝20，EN＝AM，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，
∴BN＝MN＝20，
如图，过A作AE⊥BN于E，
则四边形AMNE是矩形，
∴AE＝MN＝20，EN＝AM，
∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，
∴BE＝20﹣10＝10，
∴AB＝ ＝10 ≈22.4海里．
故答案为：22.4．
15．（3分）（2019•荆州）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，过B点的切线交AC的延
长线于点D，E为弦AC的中点，A⊙D＝10，BD＝6，若⊙点P为直径AB上的一个动点，连接
EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为 4 和 2.5 6 ．
第15页（共30页）【考点】勾股定理；切线的性质．
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【分析】根据切线的性质得出△ABD是直角三角形，DB2＝CD•AD，根据勾股定理求得
AB，即可求得AE，然后分两种情况求得AP的长即可．
【解答】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝ ＝ ＝8，
当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴ ＝ ，
∵DB2＝CD•AD，
∴CD＝ ＝ ＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴ ＝ ，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4和2.56．
故答案为4和2.56．
16．（3分）（2019•荆州）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k x平分这
1
8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y
＝ 的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD ＝
．
第16页（共30页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】设A（4，t），利用面积法得到 ×4×t＝4+1，解方程得到A（4， ），利用待定系数法
求出直线解析式为y＝ x，再确定B（2， ），接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为
y＝ ，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出C（ ，2），D（3， ），然后用一个矩形
的面积分别减去三个三角形的面积计算S△OCD ．
【解答】解：设A（4，t），
∵直线y＝k x平分这8个正方形所组成的图形的面积，
1
∴ ×4×t＝4+1，解得t＝ ，
∴A（4， ），
把A（4， ）代入直线y＝k x得4k ＝ ，解得k ＝ ，
1 1 1
∴直线解析式为y＝ x，
当x＝2时，y＝ x＝ ，则B（2， ），
∵双曲线y＝ 经过点B，
∴k ＝2× ＝ ，
2
∴双曲线的解析式为y＝ ＝ ，
当y＝2时， ＝2，解得x＝ ，则C（ ，2）；
第17页（共30页）当x＝3时，y＝ ＝ ，则D（3， ），
∴S△OCD ＝3×2﹣ ×3× ﹣ ×2× ﹣ （2﹣ ）×（3﹣ ）＝ ．
故答案为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）（2019•荆州）已知：a＝（ ﹣1）（ +1）+|1﹣ |，b＝ ﹣2sin45°+（ ）﹣1，求b
﹣a的算术平方根．
【考点】实数的运算；平方差公式；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【分析】利用平方差公式和绝对值的计算法则求得a的值，由二次根式的化简，特殊角的三
角函数值已经负整数指数幂求得b的值，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝（ ﹣1）（ +1）+|1﹣ |＝3﹣1+ ﹣1＝1+ ，
b＝ ﹣2sin45°+（ ）﹣1＝2 ﹣ +2＝ +2．
∴b﹣a＝ +2﹣1﹣ ＝1．
∴ ＝ ＝1．
18．（8分）（2019•荆州）先化简（ ﹣1）÷ ，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数
作为a的值代入求值．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤a＜2中选出一个使
得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（ ﹣1）÷
＝
＝
＝ ，
当a＝﹣2时，原式＝ ＝﹣1．
第18页（共30页）19．（8分）（2019•荆州）如图 ，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，
点C，D分别在OE和OF①上，现将△OEF绕点O逆时针旋转 角（0°＜ ＜
90°），连接AF，DE（如图 ）． α α
（1）在图 中，∠AOF＝② 90 ° ﹣ ；（用含 的式子表示）
（2）在图②中猜想AF与DE的数α量关系，并证α明你的结论．
②
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；旋转的性质．
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【分析】（1）如图2，利用旋转的性质得到∠DOF＝∠COE＝ ，再根据正方形的性质得到
∠AOD＝90°，从而得到∠AOF＝90°﹣ ； α
（2）如图 ，利用正方形的性质得∠AOαD＝∠COD＝90°，OA＝OD，再利用△OEF为等腰
直角三角②形得到 OF＝OE，利用（1）的结论得到∠AOF＝∠DOE，则可证明
△AOF≌△DOE，从而得到AF＝DE．
【解答】解：（1）如图2，
∵△OEF绕点O逆时针旋转 角，
∴∠DOF＝∠COE＝ ， α
∵四边形ABCD为正方α 形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣ ；
故答案为90°﹣ ；α
（2）AF＝DE．α
理由如下：
如图 ，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠②AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，
∵∠DOF＝∠COE＝ ，
∴∠AOF＝∠DOE，α
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴OF＝OE，
第19页（共30页）在△AOF和△DOE中
，
∴△AOF≌△DOE（SAS），
∴AF＝DE．
20．（8分）（2019•荆州）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九
年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图
表：
组别 个数段 频数 频率
1 0≤x＜10 5 0.1
2 10≤x＜20 21 0.42
3 20≤x＜30 a
4 30≤x＜40 b
（1）表中的数a＝ 2 0 ，b＝ 0.0 8 ；
（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现
从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生
一个女生的概率．
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；列表法与树状图法．
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【分析】（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），20≤x＜30的人数：50× ＝20（人），
即a＝20，30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），b＝ ＝0.08；
（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人）；
（3）P（选出的2人为一个男生一个女生的概率） ＝ ＝ ．
【解答】解（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），
第20页（共30页）20≤x＜30的人数：50× ＝20（人），即a＝20，
30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），
b＝ ＝0.08，
故答案为20，0.08；
（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人），
答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；
（3）列表如下
∴P（选出的2人为一个男生一个女生的概率） ＝ ＝ ．
21．（8分）（2019•荆州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t
（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+（t k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y
＝x+1的伴随函数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面
积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，
n的值．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
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【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得
P，进而求得一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算得结果；
（2）根据函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，列出n的方程求得n，再求出二次
函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得m．
【解答】解：∵y＝x2﹣4，
∴其顶点坐标为（0，﹣4），
∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，
∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，
第21页（共30页）∴﹣4＝0+p．
∴p＝﹣4，
∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为： ．
（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x ，x ，则x +x ＝﹣2，x x ＝n，
1 2 1 2 1 2
∴ ，
∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴ ，
解得，n＝﹣3，
∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，
∴﹣4＝﹣m﹣3，
∴m＝1．
22．（10分）（2019•荆州）如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，点P是半径OB上一动
点（不与O，B重合），过点P作射⊙线1⊥AB，分别交弦⊙BC， 于D，E两点，在射线l上取
点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是 O的切线；
（2）当点E是 的⊙中点时，
若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
①
若tan∠ABC＝ ，且AB＝20，求DE的长．
②
第22页（共30页）【考点】圆的综合题．
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【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CF即可；
（2） 四边形BOCE是菱形，可以先证明四边形BOCE是平行四边形，再结合半径相等得
证四①边形BOCE是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形BOCE是菱形；
由三角函数概念得 ＝tan∠ABC＝ ，可求得AC＝12，BC＝16，由垂径定理可求出
②
BH；利用三角形面积公式求得PE＝BH＝8，再利用勾股定理或三角函数求得OP，BP，
DP，由DE＝PE﹣PD求出DE的长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∵FC＝FD
∴∠FCD＝∠FDC
∵∠FDC＝∠BDP
∴∠OCB+∠FCD＝90°
∴OC⊥FC
∴FC是 O的切线．
（2）如⊙图2，连接OC，OE，BE，CE，
以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
①∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵点E是 的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC
第23页（共30页）∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
若tan∠ABC＝ ，且AB＝20，求DE的长．
②
∵ ＝tan∠ABC＝ ，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，
∴AC＝12，BC＝16，
∵点E是 的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，
∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，
由勾股定理得OP＝ ＝ ＝6，
∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，
∵ ＝tan∠ABC＝ ，即DP＝ BP＝ ＝3
∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．
23．（10分）（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某
中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老
第24页（共30页）师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师
少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有
2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数
为 8 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
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【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据“若每位老师带队14
名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名
学生”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用租车总辆数＝师生人数÷35结合每辆客车上至少要有2名老师，即可得出租车总
辆数为8辆；
（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，根据8辆车的座位数不少于师生
人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出
m的取值范围，结合m为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为w元，根据租车总
费用＝400×租用35座客车的数量+320×租用30座客车的数量，即可得出w关于m的函数
关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
依题意，得： ，
解得： ．
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），
∴租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
第25页（共30页）（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，
依题意，得： ，
解得：2≤m≤5 ．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4，5，
∴共有4种租车方案．
设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w的值随m值的增大而增大，
∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
24．（12分）（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标
分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当
PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称
轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）由平行四边形OABC的性质求点B坐标，根据抛物线经过点B、C、D用待定
系数法求解析式．
（2）由OE平分∠AOC易证得∠COE＝∠AOE＝∠OEC，故有CE＝OC，求得点E坐标，进
而求得直线OE解析式．求抛物线对称轴为直线x＝7，即求得点F坐标．作点E关于x轴
第26页（共30页）的对称点点E'，由于点P在x轴上运动，故有PE＝PE'，所以当点F、P、E'在同一直线上时，
PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小．用待定系数法求直线E'F解析式，即求得E'F与x轴交点P的
坐标．
（3）设AH与OE相交于点G，且G的横坐标为t，即能用t表示OG、AG的长，由AH⊥OE
于点G，根据勾股定理可得AG2+OG2＝OA2，把t代入解方程即求得t的值即求得点G坐
标．待定系数法求直线AG解析式，令y＝3时求x的值即为点H坐标．故可得HE＝9﹣5
＝4，且点H、E关于直线x＝7对称．由于以点M，N，H，E为顶点的平行四边形中，H、E固
定，以HE为平行四边形的边或对角线进行分类讨论． 以HE为边时，可得MN∥HE，且
MN＝HE，故可得点M横坐标为3或11，代入抛物线解①析式即求得纵坐标． 以HE为对
角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得点M在抛物线对称轴上，求顶②点即可．
【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）
∴BC＝OA＝6，BC∥x轴
∴x ＝x +6＝10，y ＝y ＝3，即B（10，3）
B C B C
设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x﹣
（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P
∵C（4，3）
∴OC＝
∵BC∥OA
∴∠OEC＝∠AOE
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE＝∠COE
∴∠OEC＝∠COE
∴CE＝OC＝5
第27页（共30页）∴x ＝x +5＝9，即E（9，3）
E C
∴直线OE解析式为y＝ x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣ 7
∴F（7， ）
∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上
∴E'（9，﹣3），PE＝PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小
设直线E'F解析式为y＝kx+h
∴ 解得：
∴直线E'F：y＝﹣ x+21
当﹣ x+21＝0时，解得：x＝
∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（ ，0）．
（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．
设AH与OE相交于点G（t， t），如图2
∵AH⊥OE于点G，A（6，0）
∴∠AGO＝90°
∴AG2+OG2＝OA2
∴（6﹣t）2+（ t）2+t2+（ t）2＝62
∴解得：t ＝0（舍去），t ＝
1 2
∴G（ ， ）
第28页（共30页）设直线AG解析式为y＝dx+e
∴ 解得：
∴直线AG：y＝﹣3x+18
当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5
∴H（5，3）
∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称
当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2
①则HE∥MN，MN＝HE＝4
∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上
∴x ＝7+4或7﹣4，即x ＝11或3
M M
当x＝3时，y ＝﹣ ×9+ ×9﹣ ＝
M
∴M（3， ）或（11， ）
当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3
②则HE、MN互相平分
∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上
∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点
∴y ＝﹣ ×49+ ×7﹣ ＝4
M
∴M（7，4）
综上所述，点M坐标为（3， ）、（11， ）或（7，4）．
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日期：2019/7/10 10:07:55；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第30页（共30页）
