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2019年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．（3分）（2019•达州） 的绝对值是
A．2019 B． C． D．
2．（3分）（2019•岳阳）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•岳阳）下列立体图形中，俯视图不是圆的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•岳阳）如图，已知 平分 ，且 ，若 ，则 的度
数是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•岳阳）在函数 中，自变量 的取值范围为
A． B． C． 且 D． 且
6．（3分）（2019•岳阳）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方
差分别是 ， ， ， ，则射击成绩最稳定的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）（2019•岳阳）下列命题是假命题的是
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
第1页（共25页）C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
8．（3分）（2019•岳阳）对于一个函数，自变量 取 时，函数值 也等于 ，我们称 为这个
函数的不动点．如果二次函数 有两个相异的不动点 、 ，且 ，则
的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）（2019•岳阳）因式分解： ．
10．（4分）（2019•岳阳）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空
铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000
人次．数据600000用科学记数法表示为 ．
11．（4分）（2019•岳阳）分别写有数字 、 、 、0、 的五张大小和质地均相同的卡片，从
中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．
12．（4分）（2019•岳阳）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是 ．
13．（4分）（2019•岳阳）分式方程 的解是 ．
14．（4分）（2019•岳阳）已知 ，则代数式 的值为 ．
15．（4分）（2019•岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日
自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共
织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
16．（4分）（2019•岳阳）如图， 为 的直径，点 为 延长线上的一点，过点 作
的切线 ，切点为 ，过 、 两点分别作 的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，连接
，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① 平分 ；
② ；
③若 ， ，则 的长为 ；
④若 ， ，则有 ．
第2页（共25页）三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2019•岳阳）计算：
18．（6分）（2019•岳阳）如图，在菱形 中，点 、 分别为 、 边上的点，
，求证： ．
19．（8分）（2019•岳阳）如图，双曲线 经过点 ，且与直线 有两个
不同的交点．
（1）求 的值．
（2）求 的取值范围．
20．（8分）（2019•岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改
革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复
耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休
第3页（共25页）闲小广场总面积不超过花卉园总面积的 ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
21．（8分）（2019•岳阳）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共
成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为
正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段 频数 频率
2 0.05
0.2
12 0.3
14
4 0.1
（1）表中 ， ；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段
内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手
参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．（8分）（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之
一．如图，小亮的目高 为1.7米，他站在 处测得塔顶的仰角 为 ，小琴的目高
为1.5米，她站在距离塔底中心 点 米远的 处，测得塔顶的仰角 为 ．（点
、 、 在同一水平线上，参考数据： ， ，
（1）求小亮与塔底中心的距离 ；（用含 的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度 ．
第4页（共25页）23．（10分）（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上，
将矩形 沿直线 折叠，使点 恰好与点 重合，点 落在点 处．点 为直线
上一动点（不与 、 重合），过点 分别作直线 、 的垂线，垂足分别为点 和 ，以
、 为邻边构造平行四边形 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）特例感知：如图2，若 ， ，当点 在线段 上运动时，求平行四边形
的周长；
（3）类比探究：若 ， ．
①如图3，当点 在线段 的延长线上运动时，试用含 、 的式子表示 与 之间的
数量关系，并证明；
②如图4，当点 在线段 的延长线上运动时，请直接用含 、 的式子表示 与 之
间的数量关系．（不要求写证明过程）
24．（10 分）（2019•岳阳）如图 1， 的三个顶点 、 、 分别落在抛物线
的图象上，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ．（点 在点 的左侧）
（1）求点 、 的坐标；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，抛物线 经过 、 两
点，已知点 为抛物线 的对称轴上一定点，且点 恰好在以 为直径的圆上，连接
第5页（共25页）、 ，求△ 的面积；
（3）如图2，延长 交抛物线 于点 ，连接 ，在坐标轴上是否存在点 ，使得以 、
、 为顶点的三角形与△ 相似．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共25页）2019 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．（3分） 的绝对值是
A．2019 B． C． D．
【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【解答】解： 的绝对值是：2009．
故选： ．
2．（3分）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析得
出答案．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，正确；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
故选： ．
3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从几何体的上面看物体，所得到的图形，分析每个几何体，解答出即可．
【解答】解： 、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；
、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；
、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；
、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．
第7页（共25页）故选： ．
4．（3分）如图，已知 平分 ，且 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．
【解答】解： 平分 ， ，
，
，
．
故选： ．
5．（3分）在函数 中，自变量 的取值范围为
A． B． C． 且 D． 且
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出
的范围．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： 且 ．
故选： ．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是
， ， ， ，则射击成绩最稳定的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解： ， ， ， ，
第8页（共25页），
射击成绩最稳定的是丙，
故选： ．
7．（3分）下列命题是假命题的是
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【分析】由平行四边形的性质得出 是假命题；
由同角（或等角）的余角相等，得出 是真命题；
由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出 、 是真命题，即可得出答案．
【解答】解： ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
．同角（或等角）的余角相等；真命题；
．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；
．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选： ．
8．（3分）对于一个函数，自变量 取 时，函数值 也等于 ，我们称 为这个函数的不动点．
如果二次函数 有两个相异的不动点 、 ，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由函数的不动点概念得出 、 是方程 的两个实数根，由 知
，解之可得．
【解答】解：由题意知二次函数 有两个相异的不动点 、 是方程
的两个实数根，
且 ，
第9页（共25页）整理，得： ，
则 ．
解得 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解： ．
【分析】通过提取公因式 进行因式分解即可．
【解答】解：原式 ．
故答案是： ．
10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的
交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为 600000人次．数据
600000用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将600000用科学记数法表示为： ．
故答案为： ．
11．（4分）分别写有数字 、 、 、0、 的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取
一张，抽到无理数的概率是 ．
【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案．
【解答】解： 写有数字 、 、 、0、 的五张大小和质地均相同的卡片， 、 是无理数，
从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是： ．
故答案为： ．
12．（4分）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是 4 ．
第10页（共25页）【分析】设多边形的边数为 ，根据题意得出方程 ，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为 ，
则 ，
解得： ，
故答案为：4．
13．（4分）分式方程 的解是 1 ．
【分析】观察可得最简公分母为 ．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘 ，
得 ，
解得 ．
将 代入 ．
所以 是原方程的解．
14．（4分）已知 ，则代数式 的值为 1 ．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．
【解答】解： ，
代数式
．
故答案为：1．
15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织
五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每
日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设第一天织布 尺，则第二天织布 尺，第三天织布 尺，第四天织布 尺，第
五天织布 尺，根据题意可得：
，
解得： ，
第11页（共25页）即该女子第一天织布 尺．
故答案为： ．
16．（4分）如图， 为 的直径，点 为 延长线上的一点，过点 作 的切线 ，
切点为 ，过 、 两点分别作 的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，连接 ，则下列
结论正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
① 平分 ；
② ；
③若 ， ，则 的长为 ；
④若 ， ，则有 ．
【 分 析 】 连 接 ， 可 证 ， 得 出 ， 由 可 得
，故①正确；证明 ，则可得出②正确；求出 ，
，则用弧长公式可求出 的长为 ，故③错误；由 可得 ，则
，得出 ，则 ，可得出 ，故④正确．
【解答】解：连接 ，
第12页（共25页）为 的切线，
，
，
，
，
，
，
，即 平分 ，故①正确；
为 的直径，
，
， ，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
的长为 ，故③错误；
， ，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
第13页（共25页），
，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出
答案．
【解答】解：原式
．
18．（6分）如图，在菱形 中，点 、 分别为 、 边上的点， ，求证：
．
【分析】由菱形的性质得出 ，由 证明 ，即可得出结论．
【解答】证明： 四边形 是菱形，
，
在 和 中， ，
，
．
19．（8分）如图，双曲线 经过点 ，且与直线 有两个不同的交点．
（1）求 的值．
（2）求 的取值范围．
第14页（共25页）【分析】（1）根据反比例函数系数 的几何意义即可求得；
（2）联立方程，消去 得到关于 的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得
的取值范围．
【解答】解：（1） 双曲线 经过点 ，
；
（2） 双曲线 与直线 有两个不同的交点，
，整理为： ，
△ ，
，
的取值范围是 ．
20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案
例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，
其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休
闲小广场总面积不超过花卉园总面积的 ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
【分析】（1）设改造土地面积是 亩，则复耕土地面积是 亩．根据“复耕土地面积
改造土地面积 亩”列出方程并解答；
（2）设休闲小广场总面积是 亩，则花卉园总面积是 亩，根据“休闲小广场总面积
不超过花卉园总面积的 ”列出不等式并解答．
第15页（共25页）【解答】解：（1）设改造土地面积是 亩，则复耕土地面积是 亩，
由题意，得
解得 ．
则 ．
答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；
（2）设休闲小广场总面积是 亩，则花卉园总面积是 亩，
由题意，得 ．
解得 ．
故休闲小广场总面积最多为75亩．
答：休闲小广场总面积最多为75亩．
21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演
讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满
分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段 频数 频率
2 0.05
0.2
12 0.3
14
4 0.1
（1）表中 8 ， ；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段
内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手
参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
第16页（共25页）【分析】（1）根据频率 频数 总数求解可得；
（2）根据所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的概念求解可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰
好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1） ， ，
故答案为：8，0.35；
（2）补全图形如下：
（3）由于40个数据的中位数是第 20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在
，
测他的成绩落在分数段 内，
故答案为： ．
第17页（共25页）（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮
的目高 为1.7米，他站在 处测得塔顶的仰角 为 ，小琴的目高 为1.5米，她
站在距离塔底中心 点 米远的 处，测得塔顶的仰角 为 ．（点 、 、 在同
一水平线上，参考数据： ， ，
（1）求小亮与塔底中心的距离 ；（用含 的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度 ．
【分析】（1）根据正切的定义用 表示出 ，根据等腰直角三角形的性质计算；
（2）根据题意列方程求出 ，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，四边形 、 为矩形，
， ，
，
在 中， ，
则 ，
，
在 中， ，
，
，
答：小亮与塔底中心的距离 米；
（2）由题意得， ，
第18页（共25页）解得， ，
则 ，
，
答：慈氏塔的高度 为36.1米．
23．（10分）操作体验：如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上，将矩形
沿直线 折叠，使点 恰好与点 重合，点 落在点 处．点 为直线 上一动点（不与
、 重合），过点 分别作直线 、 的垂线，垂足分别为点 和 ，以 、 为邻
边构造平行四边形 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）特例感知：如图2，若 ， ，当点 在线段 上运动时，求平行四边形
的周长；
（3）类比探究：若 ， ．
①如图3，当点 在线段 的延长线上运动时，试用含 、 的式子表示 与 之间的
数量关系，并证明；
②如图4，当点 在线段 的延长线上运动时，请直接用含 、 的式子表示 与 之
间的数量关系．（不要求写证明过程）
【分析】（1）证明 即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即
可）．
（2）如图2中，连接 ，作 于 ，则四边形 是矩形．利用面积法证明
，利用勾股定理求出 即可解决问题．
（ 3 ） ① 如 图 3 中 ， 连 接 ， 作 于 ． 由 ， 可 得
，由 ，推出 ，由此即可
第19页（共25页）解决问题．
②如图4，当点 在线段 的延长线上运动时，同法可证： ．
【解答】（1）证明：如图1中，
四边形 是矩形，
，
，
由翻折可知： ，
，
．
（2）解：如图2中，连接 ，作 于 ，则四边形 是矩形， ．
， ，
， ，
在 中， ， ， ，
，
， ， ，
，
，
第20页（共25页），
四边形 是平行四边形，
四边形 的周长 ．
（3）①证明：如图3中，连接 ，作 于 ．
， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
②如图4，当点 在线段 的延长线上运动时，同法可证： ．
24．（10分）如图1， 的三个顶点 、 、 分别落在抛物线 的图象上，
点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ．（点 在点 的左侧）
（1）求点 、 的坐标；
第21页（共25页）（2）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，抛物线 经过 、 两
点，已知点 为抛物线 的对称轴上一定点，且点 恰好在以 为直径的圆上，连接
、 ，求△ 的面积；
（3）如图2，延长 交抛物线 于点 ，连接 ，在坐标轴上是否存在点 ，使得以 、
、 为顶点的三角形与△ 相似．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把 代入抛物线 解析式求得 即得到点 坐标；把 代入抛物线
解析式，解方程并判断大于 的解为点 横坐标．
（2）根据旋转 的性质特点可求点 、 坐标（过点作 轴垂线，构造全等得到对应边相
等）及 的长，用待定系数法求抛物线 的解析式，进而求得对称轴．设点 纵坐标为 ，
则能用 表示 、 的长度．因为点 恰好在以 为直径的圆上，即 为圆周
角，等于 ，故能根据勾股定理列得关于 的方程，解方程求得 的值即求得 的长，
即求得△ 的面积．
（3）求直线 解析式，与抛物线 解析式联立方程组，求解即求得点 坐标，发现 与
纵坐标相同，即 轴，故 ．以 、 、 为顶点的三角形要与△ 相
似，则 必须有一角为 ．因为点 得直线 与 轴夹角为 ，所以点
不能在 轴或 轴的负半轴，在 轴或 轴的正半轴时，刚好有 ．由于 的
两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论： △ 或 △ ．每种
第22页（共25页）情况下由对应边成比例求得 的长，即得到点 坐标．
【解答】解：（1）当 时，
点 坐标为
当 时，
解得： ，
点 在点 的左侧
点 坐标为
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点
， ，
将 绕点 逆时针旋转 得到△
，
在△ 与 中
△
，
点 在第四象限
同理可求得：
抛物线 经过点 、
解得：
第23页（共25页）抛物线 解析式为：
对称轴为直线：
点 在直线 上，设
，
点 在以 为直径的圆上
解得：
（3）在坐标轴上存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与△ 相似．
直线 解析式为
解得： （即为点
轴，
，
，即直线 与 轴夹角为
当点 在 轴负半轴或 轴负半轴时， ，此时 不可能与△ 相似
点 在 轴正半轴或 轴正半轴时， （如图2、图
第24页（共25页）①若 △ ，则
或
②若 △ ，则
或
综上所述，点 坐标为 、 、 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与△
相似．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/9 8:37:39；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第25页（共25页）
