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2021年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（3分）8的相反数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8
2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准
下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（ ）
A．98.99×106 B．9.899×107
C．9899×104 D．0.09899×108
3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a3）2 D．（ a3）2
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B．（﹣2）0＝1 C． + ＝ D． ＝3
6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小
组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错
误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）
第1页（共27页）A． B．
C． D．
8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层
之间的距离 BC 为 6 米，则自动扶梯 AB 的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
9．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B．正六边形的每一个内角为120°
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．对角线相等的四边形是矩形
10．（3分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
第2页（共27页）C．
D．
11．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是
D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，
其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的
有1360人
12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩
形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，
交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN
＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
13．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）计算： ＝ ．
15．（3分）因式分解：3a2﹣9ab＝ ．
16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留 ）
17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由π于志愿
者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每
天植树 棵．
第3页（共27页）18．（3分）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以
1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运
动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系
的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点
的运动路程之和为 厘米．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）
19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：
△ABC≌△DEF．
21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020
年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研
究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．
（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 度；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活
垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2
名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，
求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．
第4页（共27页）22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向
旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售
货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部
分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层
部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．
双层部分长度x（cm） 2 8 14 20
单层部分长度y（cm） 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分
的长度；
（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．
第5页（共27页）24．（8分）如图，AB是 O的直径，D为 O上一点，E为 的中点，点C在BA的延长线上，
且∠CDA＝∠B． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若DE＝2，∠⊙BDE＝30°，求CD的长．
25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点
O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，
点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连
接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解
析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
第6页（共27页）26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．
例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．
（1）求函数y＝ 图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点
（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y
＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使
点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共27页）2021年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（3分）8的相反数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8
【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是﹣8．
故选：A．
2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准
下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（ ）
A．98.99×106 B．9.899×107
C．9899×104 D．0.09899×108
【解答】解：98990000＝9.899×107，
故选：B．
3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）下列运算结果为a6的是（ ）
第8页（共27页）A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a3）2 D．（ a3）2
【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意；
B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意；
C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意；
D．（ a3）2＝ a6,故此选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B．（﹣2）0＝1 C． + ＝ D． ＝3
【解答】解：16的算术平方根为4，即 ，故A不符合题意；
根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；
、 无法运用加法运算化简，故 ，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小
组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错
误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，
A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；
B、数据的中位数为 ＝84，此选项正确，不符合题意；
C、数据的平均数为 ＝85，
所以方差为 ×（[ 85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此选
项错误，符合题意；
D、由C选项知此选项正确；
故选：C．
7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）
第9页（共27页）A． B．
C． D．
【解答】解：这个组合体的三视图如下：
故选：A．
8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层
之间的距离 BC 为 6 米，则自动扶梯 AB 的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝ ＝sin37°≈0.6＝ ，
∴AB≈ BC＝ ×6＝10（米），
第10页（共27页）故选：D．
9．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B．正六边形的每一个内角为120°
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A．每个多边形的外角和都是360°，故错误，假命题；
B．正六边形的内角和是720°，每个内角是120°，故正确，真命题；
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；
D．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．
故选：B．
10．（3分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,
解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为：
故选：A．
11．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
第11页（共27页）C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是
D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，
其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的
有1360人
【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，
∴A选项错误，
彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，
∴B选项错误，
根据概率的计算公式，C选项中摸出红球的概率为 ，
∴C选项错误，
200名学生中有85名学生喜欢跳绳，
∴跳绳的占比为 ，
∴3200×42.5＝1360(人)，
∴D选项正确，
故选：D．
12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩
形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，
交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN
＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【解答】解：∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
第12页（共27页）∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，
故①正确；
如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，
即4²+x²＝(8﹣x)²，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AC＝ ＝4 ，
∴CQ＝ AC＝2 ，
∴QN＝ ＝ ，
∴MN＝2QN＝2 ，
故②不正确；
由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，
此时S＝ S菱形CMPN ＝ ×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，
此时S＝ ×5×4＝5，
∴4≤S≤5正确，
故选：C．
第13页（共27页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
13．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 x ≥ 3 ．
【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
14．（3分）计算： ＝ 1 ．
【解答】解：原式＝ ＝1．
故答案为：1．
15．（3分）因式分解：3a2﹣9ab＝ 3 a （ a ﹣ 3 b ） ．
【解答】解：3a2﹣9ab
＝3a（a﹣3b），
故答案为：3a（a﹣3b）．
16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 1 2 ．（结果保留 ）
【解答】解：圆锥的侧面积＝2 ×3×4÷2＝12 ． π π
故答案为：12 ． π π
17．（3分）“绿水π青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿
者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每
第14页（共27页）天植树 50 0 棵．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，
依题意得： ﹣ ＝3，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，
∴（1+25%）x＝500．
故答案为：500．
18．（3分）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以
1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运
动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系
的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点
的运动路程之和为 ( 2 +3) 厘米．
【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，
当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2 cm，
∴AC＝2 cm，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ ＝ cm，
当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，
∴OD＝OB＝ BD＝1cm，
在Rt△ADO中，AD＝ ＝ ＝2(cm)，
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，
如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到
第15页（共27页）点F处时，P、Q两点的最短，
此时，OE＝OF＝ ＝ ，
AE＝AF＝ ＝ ＝ ,
∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：
（cm）
故答案为：(2 +3)．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）
19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)
＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy
＝3x2．
20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：
△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等),
又∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等),
在△ABC和△DEF中，
第16页（共27页）,
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020
年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研
究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．
（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 64. 8 度；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活
垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2
名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，
求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．
【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1﹣20%﹣7%﹣55%＝18%，
∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：360°×18%＝64.8°，
故答案为：64.8；
（2）500×20%＝100（吨），
100×0.2＝20（万元），
答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；
（3）由题意可列树状图：
第17页（共27页）∴P（一男一女） ＝ ＝ ．
22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向
旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
第18页（共27页）即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售
货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部
分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层
部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．
双层部分长度x（cm） 2 8 14 20
单层部分长度y（cm） 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分
的长度；
（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题知 ，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；
（2）根据题意知 ，
解得 ，
第19页（共27页）∴双层部分的长度为22cm；
（3）由题知，当x＝0时，y＝152，
当y＝0时，x＝76，
∴76≤L≤152．
24．（8分）如图，AB是 O的直径，D为 O上一点，E为 的中点，点C在BA的延长线上，
且∠CDA＝∠B． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若DE＝2，∠⊙BDE＝30°，求CD的长．
【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ADO＝90°，
又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，
∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥CD，且OD为 O半径，
∴CD是 O的切线；⊙
（2）连结⊙OE，如图所示：
第20页（共27页）∵∠BDE＝30°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，
又∵E为 的中点，
∴∠EOD＝60°,
∴△EOD为等边三角形，
∴ED＝EO＝OD＝2,
又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°,
在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2，
∴tan∠DOC＝tan60°＝ ＝ ＝ ,
∴CD＝2 ．
25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点
O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，
点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连
接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解
析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，
由题意得：OQ＝2t，OP＝3t,PB＝6﹣3t，
∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），
第21页（共27页）∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝ ，
∵MN∥OB，
∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，
∴△OQM∽△AFO，
∴ ，
∴ ，
∴QM＝ ，
∴点M的坐标是（ ）．
（2）∵MN∥OB，
∴四边形QEFO是矩形，
∴QE＝OF，
∴ME＝OF﹣QM＝3﹣ ，
∵OA＝AB，
∴ME＝NE，
∴MN＝2ME＝6﹣3t，
∴S四边形MNBP ＝S△MNP +S△BNP
＝ MN•OQ+ •BP•OQ
＝
＝﹣6t2+12t
＝﹣6(t﹣1)2+6，
∵点P到达点B时，P、Q同时停止，
∴0≤t≤2，
∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6．
（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，
∴MN＝BP，
∵MN∥BP，
第22页（共27页）∴四边形MNBP是平行四边形，
∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，
设中点为H（x，y），
∵M( )，B（6，0），
∴x＝ ＝ ，
y＝ ．
∴x＝ ，
化简得：y＝ ，
∴直线l的解析式为：y＝ ．
（4）∵OA＝AB，
∴∠AOB＝∠PBN，
又∵∠OAP＝∠BPN，
∴△AOP∽△PBN，
∴ ，
∴ ，
解得：t＝ ．
∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ,ME＝3﹣ ，
∴MN＝6﹣3× ，
AE＝ ，
ME＝ ，
第23页（共27页）∴AM＝ ．
设点N到OA得距离为h，
∵S△AMN ＝ •MN•AE＝ •AM•h，
∴ ，
解得：h＝ ．
∴点N到OA得距离为 ．
26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．
例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．
（1）求函数y＝ 图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点
（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y
＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使
点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第24页（共27页）【解答】解：（1）由题意得：x＝ ，解得x＝±2，
当x＝±2时，y＝ ＝±2，
故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；
（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为y＝x，
∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，
则ax2+5x+c＝x，
则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，
∵a＞1，
故c＜4；
②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+ ＝0，
解得x＝﹣ 或﹣ ，即点M的坐标为（﹣ ，0），
第25页（共27页）由ax2+5x+c＝x，ac＝4，
解得x＝﹣ ，即点E的坐标为（﹣ ，﹣ ），
故点E作EH⊥x轴于点H，
则HE＝ ，MH＝x ﹣x ＝﹣ ﹣（﹣ ）＝ ＝HE，
E M
故∠EMN的度数为45°；
（3）存在，理由：
由题意知，点C在直线y＝x上，故设点C的坐标为（t，t），
过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点
N，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
则BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,
∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,
第26页（共27页）∴∠NPB＝∠CPM,
∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,
∴△CMP≌△PNB（AAS），
∴PM＝BN，CM＝PN，
即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，
解得m＝1+ （舍去）或1﹣ 或 ，
故点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
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