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2022年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）．
1．（4分） 的相反数是
A． B．2 C． D．
2．（4分）代数式 ， ， ， ， ， 中，属于分式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（4分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗
者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）下列说法正确的是
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
5．（4分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．（4分）下列一元二次方程有实数解的是
A． B． C． D．
7．（4分）一个多边形的内角和为 ，则这个多边形是
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
8．（4分）如图， 沿 方向平移后的像为 ，已知 ， ，则平移的距离
是
第1页（共22页）A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）从下列一组数 ， ， ， ，0， 中随机抽取一个数，这个数是负数的概
率为
A． B． C． D．
10．（4分）如图，直线 交 轴于点 ，交反比例函数 的图象于 、 两点，
过点 作 轴，垂足为点 ，若 ，则 的值为
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）计算 ．
12．（4分）因式分解： ．
13．（4分）已知点 与点 关于原点对称，则 ．
14．（4分）如图， 中，点 、 分别是 、 的中点，若 ，则 ．
15．（4分）如图， 与 相切于点 ， ， 的半径为2，则 的长为 ．
第2页（共22页）16．（4分）正偶数2，4，6，8，10， ，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算： ．
18．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（10分）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆
形纪念园．如图，纪念园中心点 位于 村西南方向和 村南偏东 方向上． 村在 村
的正东方向且两村相距 ．有关部门计划在 、 两村之间修一条笔直的公路来连接两
村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据： ，
第3页（共22页）20．（10分）如图，点 ， ， ， 在 上， ．
求证：（1） ；
（2） ．
21．（12分）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到
显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，
并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
满意程度 频数（人 频率
非常满意 50 0.5
满意 30 0.3
一般
不满意 0.05
合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．
第4页（共22页）22．（12分）如图，在等边三角形 中，点 为 边上任意一点，延长 至点 ，使
，连接 交 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求线段 的长（结果用含 的代数式表示）．
23．（12分）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单
位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了 ，并
按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每
套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买
了 套，购买费用为 元，请写出 关于 的函数关系式．
（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线 经过点 、 ，
与 轴交于点 ，顶点为点 ．在线段 上方的抛物线上有一动点 ，过点 作
于点 ，作 交 于点 ．
第5页（共22页）（1）求抛物线和直线 的函数表达式．
（2）当 的周长为最大值时，求点 的坐标和 的周长．
（3）若点 是抛物线上的一个动点，点 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以 、 、
、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
第6页（共22页）2022年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）．
1．（4分） 的相反数是
A． B．2 C． D．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】解： 的相反数是 ，
故选： ．
2．（4分）代数式 ， ， ， ， ， 中，属于分式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式的定义：一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式 叫
做分式判断即可．
【解答】解：分式有： ， ， ，
整式有： ， ， ，
分式有3个，
故选： ．
3．（4分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗
者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】把比较大的数写成 ，其中 ， 为正整数即可得出答案．
【解答】解： ，
故选： ．
4．（4分）下列说法正确的是
A．相等的角是对顶角
第7页（共22页）B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．
【解答】解： 、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；
、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．
故选： ．
5．（4分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完全平
方公式分别计算，进而得出答案．
【解答】解： ． ，故此选项不合题意；
． ，故此选项不合题意；
，故此选项符合题意；
． ，故此选项不合题意；
故选： ．
6．（4分）下列一元二次方程有实数解的是
A． B． C． D．
【分析】根据各方程的系数结合根的判别式△ ，可求出各方程根的判别式△的值，
取△ 的选项即可得出结论．
【解答】解： ． △ ，
方程 没有实数根；
． △ ，
方程 没有实数根；
． △ ，
第8页（共22页）方程 有两个不相等的实数根；
． △ ，
方程 没有实数根．
故选： ．
7．（4分）一个多边形的内角和为 ，则这个多边形是
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据多边形的内角和公式： 列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设多边形的边数为 ，
，
解得： ．
故选： ．
8．（4分）如图， 沿 方向平移后的像为 ，已知 ， ，则平移的距离
是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
【解答】解：点 平移后对应点是点 ．
线段 就是平移距离，
已知 ， ，
．
故选： ．
9．（4分）从下列一组数 ， ， ， ，0， 中随机抽取一个数，这个数是负数的概
率为
A． B． C． D．
【分析】首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可．
【解答】这组数据共有6个数，其中是负数的有 ， ， ， 这4个，
第9页（共22页）．
故选： ．
10．（4分）如图，直线 交 轴于点 ，交反比例函数 的图象于 、 两点，
过点 作 轴，垂足为点 ，若 ，则 的值为
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设点 的坐标为 ，然后根据三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：设点 的坐标为 ，
，且 ，
，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
故选： ．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）计算 1 ．
【分析】原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式
第10页（共22页）．
故答案为：1．
12．（4分）因式分解： ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
13．（4分）已知点 与点 关于原点对称，则 5 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【解答】解： 点 与点 关于原点对称，
， ，
，
故答案为：5．
14．（4分）如图， 中，点 、 分别是 、 的中点，若 ，则 8 ．
【分析】由中位线定理可得线段 与 的比，即可得出 与 的比，又已知
的面积，进而即可得出 的面积．
【解答】解： ， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
，
即 ，
第11页（共22页）．
故答案为：8．
15．（4分）如图， 与 相切于点 ， ， 的半径为2，则 的长为 ．
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接 ，
与 相切于点 ，
，
在 中， ， ，
则 ，
故答案为： ．
16．（4分）正偶数2，4，6，8，10， ，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 74 4 ．
第12页（共22页）【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个
数，第三行有3个数 第 行有 个数，则前 行共有 个数，再根据偶数的特征
确定第几行第几个数是几．
【解答】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
第 行有 个数．
前 行共有 个数．
前27行共有378个数，
第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
这些数都是正偶数，
第372个数为 ．
故答案为：744．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算： ．
【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．
【解答】解：原式
．
18．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
第13页（共22页）【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即
可．
【解答】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
原不等式组的解集是 ，
其解集在数轴上表示如下：
．
19．（10分）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆
形纪念园．如图，纪念园中心点 位于 村西南方向和 村南偏东 方向上． 村在 村
的正东方向且两村相距 ．有关部门计划在 、 两村之间修一条笔直的公路来连接两
村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据： ，
【分析】过 点作 于 点，根据题意可得 ， ，由 可
得关于 的方程，计算可求解 的长，进而可求解．
【解答】解：过 点作 于 点，
第14页（共22页）由题意知： ， ，
， ，
，
，
解得： ，
故该公路不能穿过纪念园．
20．（10分）如图，点 ， ， ， 在 上， ．
求证：（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据等式的性质可得： ，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；
（2）根据两角相等可证明两三角形相似．
【解答】证明：（1） ，
，
；
第15页（共22页）（2） ， ，
．
21．（12分）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到
显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，
并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
满意程度 频数（人 频率
非常满意 50 0.5
满意 30 0.3
一般
不满意 0.05
合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1） 1 5 ， ， ；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．
【分析】（1）用样本容量乘“不满意”的频率求出 ，进而求出 、 的值；
（2）用 乘“一般”的频率即可；
（3）根据频数分布表的数据提出建议即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ， ， ，
，
故答案为：15；5；0.15；
（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 的度数为 ；
（3）在调查数据中，还有约 的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游质
第16页（共22页）量还有待提高．（答案不唯一）．
22．（12分）如图，在等边三角形 中，点 为 边上任意一点，延长 至点 ，使
，连接 交 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求线段 的长（结果用含 的代数式表示）．
【分析】（1）过点 作 ，交 于点 ，根据等边三角形的性质以及平行线的性质
可得 ，可得 是等边三角形，易证 ，即
可得证；
（2）根据等边三角形的性质可知 ，根据全等三角形的性质可知 ，即可表示
出 的长．
【解答】（1）证明：过点 作 ，交 于点 ，如图所示：
在等边 中， ，
，
， ， ，
是等边三角形，
，
第17页（共22页），
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： 是等边三角形，且 ，
，
，
，
，
， ，
．
23．（12分）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单
位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了 ，并
按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每
套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买
了 套，购买费用为 元，请写出 关于 的函数关系式．
（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
【分析】（1）设每件雨衣 元，则每双雨鞋 元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：
件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；
（2）根据题意求出 的取值范围，并求出 与 的关系式解答即可；
（3）根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每件雨衣 元，则每双雨鞋 元，
根据题意，得 ，
第18页（共22页）解得 ，
经检验 是所列方程的根，并符合题意．
所以 ，
答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；
（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为： （元 ，
当购买 套雨衣和雨鞋 时，费用为 ；
当购买 套雨衣和雨鞋 时，费用为 ，
关于 的函数关系式为： ；
（3）由题意得： ，解得 ，
答：最多可购买6套．
24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线 经过点 、 ，
与 轴交于点 ，顶点为点 ．在线段 上方的抛物线上有一动点 ，过点 作
于点 ，作 交 于点 ．
（1）求抛物线和直线 的函数表达式．
（2）当 的周长为最大值时，求点 的坐标和 的周长．
（3）若点 是抛物线上的一个动点，点 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以 、 、
、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
第19页（共22页）【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出 ， 的值，设 的解析式为
，把 ， 两点坐标代入求出 ， 即可；
（2）如图一中，连接 ， ， ．设 ，证明 是等腰直角三角形，求
出 的最大值，可得结论；
（3）存在．如图二中，设 ， ．分两种情形： 为平行四边形的边，
为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 、 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
令 ，可得 ，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
，
直线 的解析式为 ；
（2）如图一中，连接 ， ， ．设 ，
第20页（共22页）， ，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
的值最大时， 的周长最大，
，
，
时， 的面积最大，面积的最大值为 ，此时 的值最大，
，
，
的周长的最大值 ，此时 ， ；
第21页（共22页）（3）存在．
理由：如图二中，设 ， ．
当 为平行四边形的边时，则有 ，
解得 或4，
或 ，
当 为平行四边形的对角线时， ，
，
，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
第22页（共22页）
