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2022年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1． 的相反数是
A．2022 B． C． D．
2．下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆
生产建设兵团全域上线，为1360000000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程
碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是
A． B． C． D．
5．开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8
天数（天 3 3 4 2 2
这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
7．如图，在 中， 为斜边 的中点， 为 上一点， 为 中点．若 ，
，则 的长为
A． B．3 C． D．4
8．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗
桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，
即出米率为 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再
舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米 斗，向桶中加谷子 斗，那么可
列方程组为
A． B． C． D．
9．点 ， 都在二次函数 的图象上．若 ，则 的取值范
第1页（共18页）围为
A． B． C． D．
10．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形
内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能
求出
A．正方形纸片的面积 B．四边形 的面积 C． 的面 D． 的面积
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．请写出一个大于2的无理数： ．
12．分解因式： ．
13．一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸
出一个球是红球的概率为 ．
14．定义一种新运算：对于任意的非零实数 ， ， ．若 ，则
的值为 ．
15．如图，在 中， ， ，点 在 上，以 为半径的圆与 相切于点 ．
是 边上的动点，当 为直角三角形时， 的长为 ．
16．如图，四边形 为矩形，点 在第二象限，点 关于 的对称点为点 ，点 ，
都在函数 的图象上， 轴于点 ．若 的延长线交 轴于点 ，当矩
形 的面积为 时， 的值为 ，点 的坐标为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算： ．（2）解不等式组： ．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点
称为格点，线段 的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形 ，且点 在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以 为边的菱形 ，且点 ， 均在格点上．
19．（8分）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点
．（1）求点 的坐标和反比例函数表达式．
第2页（共18页）（2）若点 在该反比例函数图象上，且它到 轴距离小于3，请根据图象直接写出 的
取值范围．
20．（10分）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训
时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？
（2）哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？
（3）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想
法．
21．（10分）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减
灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯 可伸缩（最长可伸至
，且可绕点 转动，其底部 离地面的距离 为 ，当云梯顶端 在建筑物 所在
直线上时，底部 到 的距离 为 ．
（1）若 ，求此时云梯 的长．
（2）如图2，若在建筑物底部 的正上方 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前
提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据： ， ，
22．（10分）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试
验，其平均单株产量 千克与每平方米种植的株数 ，且 为整数）构成一种函数关系．
每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增
加1株，单株产量减少0.5千克．
第3页（共18页）（1）求 关于 的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在 中， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ，
交 于点 ，求证： ．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结 ， ．若 ， ， ，求 的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在 中， ， 与 交于点 ， 为 上一点， 交
于点 ， 交 于点 ．若 ， 平分 ， ，求 的
长．
24．（14分）如图1， 为锐角三角形 的外接圆，点 在 上， 交 于点 ，点
在 上，满足 ， 交 于点 ， ，连结 ，
．设 ．
（1）用含 的代数式表示 ．
（2）求证： ．
（3）如图2， 为 的直径．
①当 的长为2时，求 的长．
②当 时，求 的值．
第4页（共18页）2022年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1． 的相反数是
A．2022 B． C． D．
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】解： 的相反数是2022．
故选： ．
2．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项判断 选项；根据同底数幂的除法判断 选项；根据幂的乘方判断
选项；根据同底数幂的乘法判断 选项．
【解答】解： 选项， 与 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项符合题意；
故选： ．
3．据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆
生产建设兵团全域上线，为1360000000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程
碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】将较大的数写成 ，其中 ， 为正整数即可．
【解答】解： ，
故选： ．
4．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底面圆
的半径大于球体的半径，如图，
第5页（共18页）故 选项符合题意．
故选： ．
5．开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8
天数（天 3 3 4 2 2
这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】应用众数和中位数的定义进行计算即可得出答案．
【解答】解：由统计表可知，
众数为36.5，
中位数为 ．
故选： ．
6．已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径
等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的侧面积 ．
故选： ．
7．如图，在 中， 为斜边 的中点， 为 上一点， 为 中点．若 ，
，则 的长为
A． B．3 C． D．4
【分析】根据三角形中位线可以求得 的长，再根据 ，可以得到 的长，然后根
据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得 的长．
【解答】解： 为斜边 的中点， 为 中点， ，
，
，
，
在 中， 为斜边 的中点，
，
故选： ．
第6页（共18页）8．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗
桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，
即出米率为 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再
舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米 斗，向桶中加谷子 斗，那么可
列方程组为
A． B．
C． D．
【分析】根据原来的米 向桶中加的谷子 ，原来的米 桶中的谷子舂成米 即可得出答
案．
【解答】解：根据题意得： ，
故选： ．
9．点 ， 都在二次函数 的图象上．若 ，则 的取值范
围为
A． B． C． D．
【分析】根据 列出关于 的不等式即可解得答案．
【解答】解： 点 ， 都在二次函数 的图象上，
，
，
，
，
，
即 ，
，
故选： ．
10．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形
内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能
求出
A．正方形纸片的面积 B．四边形 的面积
C． 的面积 D． 的面积
【分析】根据题意设 ， ，则 ，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
可得 ，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四
第7页（共18页）个选项的面积，可得出正确的选项．
【解答】解：设 ， ，则 ，
矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
，
，
图中阴影部分的面积
，
、正方形纸片的面积 ，故 不符合题意；
、四边形 的面积 ，故 不符合题意；
、 的面积 ，故 符合题意；
、 的面积 ，故 不符合题意；
故选： ．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．请写出一个大于2的无理数： 如 （答案不唯一） ．
【分析】首先2可以写成 ，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．
【解答】解：大于2的无理数有：
须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）．
12．分解因式： ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解： ．
13．一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸
出一个球是红球的概率为 ．
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
【解答】解：摸出红球的概率为 ．
故答案为： ．
14．定义一种新运算：对于任意的非零实数 ， ， ．若 ，则
的值为 ．
【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
第8页（共18页）【解答】解：根据题意得： ，
化为整式方程得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
原方程的解为： ．
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ，点 在 上，以 为半径的圆与 相切于点 ．
是 边上的动点，当 为直角三角形时， 的长为 或 ．
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【解答】解：连接 ，过点 作 于点 ，
圆与 相切于点 ．
，
由题意可知： 点位置分为两种情况，
①当 为 时，此时 点与 点重合，设圆的半径 ，
， ，
，
在 中，根据勾股定理可得： ，
解得： ，
即 ；
②当 时， ，
， ， ，
，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
第9页（共18页）16．如图，四边形 为矩形，点 在第二象限，点 关于 的对称点为点 ，点 ，
都在函数 的图象上， 轴于点 ．若 的延长线交 轴于点 ，当矩
形 的面积为 时， 的值为 ，点 的坐标为 ．
【分析】连接 ，作 轴，设点 ， ，根据矩形的面积得出三角形
的面积，将三角形 的面积转化为梯形 的面积，从而得出 ， 的等式，将其
分解因式，从而得出 ， 的关系，进而在直角三角形 中，根据勾股定理列出方程，进而
求得 ， 的坐标，进一步可求得结果．
【解答】解：如图，
作 轴于 ，连接 ，设 和 交于 ，
设点 ， ，
由对称性可得： ，
， ，
，
，
，
，
第10页（共18页），
，
，
，
， ，
，
，
，
，
， （舍去），
，
即： ，
在 中，由勾股定理得，
，
，
，
， ， ， ，
直线 的解析式为： ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
， ，
， ，
，
，
故答案为： ， ， ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算： ．
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；
（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．
第11页（共18页）【解答】解：（1）原式
；
（2） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为： ．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点
称为格点，线段 的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形 ，且点 在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以 为边的菱形 ，且点 ， 均在格点上．
【分析】（1）结合等腰三角形的性质，找出点 的位置，再连线即可．
（2）结合菱形的性质，找出点 ， 的位置，再连线即可．
【解答】解：（1）答案不唯一．
（2）
19．（8分）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点
．
（1）求点 的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点 在该反比例函数图象上，且它到 轴距离小于3，请根据图象直接写出 的
取值范围．
第12页（共18页）【分析】（1）把点 的坐标代入一次函数关系式可求出 的值，再代入反比例函数关系式确
定 的值，进而得出答案；
（2）确定 的取值范围，再根据反比例函数关系式得出 的取值范围即可．
【解答】解：（1）把 的坐标代入 ，即 ，
解得 ，
，
又 点 是反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的关系式为 ；
（2） 点 在该反比例函数图象上，且它到 轴距离小于3，
或 ，
当 时， ，当 时， ，
由图象可知，
若点 在该反比例函数图象上，且它到 轴距离小于3， 的取值范围为 或 ．
20．（10分）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训
时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？
（2）哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？
（3）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想
法．
【分析】（1）根据条形统计图进行计算即可得出答案；
（2）根据折线统计图进行求解即可得出答案；
（3）对比折线统计图分析即可得出答案．
【解答】解：（1） （天 ．
第13页（共18页）答：这5期的集训共有55天．
（2） （秒 ．
答：第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒．
（3）个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳
累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时成绩最好．
21．（10分）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减
灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯 可伸缩（最长可伸至
，且可绕点 转动，其底部 离地面的距离 为 ，当云梯顶端 在建筑物 所在
直线上时，底部 到 的距离 为 ．
（1）若 ，求此时云梯 的长．
（2）如图2，若在建筑物底部 的正上方 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前
提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据： ， ，
【分析】（1）在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答；
（2）根据题意可得 ，从而求出 ，然后在 中，利用锐角三角函
数的定义求出 的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）在 中， ， ，
，
此时云梯 的长为 ；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
，
，
，
在 中， ，
，
，
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
22．（10分）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试
验，其平均单株产量 千克与每平方米种植的株数 ，且 为整数）构成一种函数关系．
每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增
加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加 1 株，单株产量减少 0.5 千克，即可得
，
（2）设每平方米小番茄产量为 千克，由产量 每平方米种植株数 单株产量即可列函数关
第14页（共18页）系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1） 每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
，
答： 关于 的函数表达式为 ， ，且 为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为 千克，
根据题意得： ，
，
当 时， 取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在 中， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ，
交 于点 ，求证： ．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结 ， ．若 ， ， ，求 的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在 中， ， 与 交于点 ， 为 上一点， 交
于点 ， 交 于点 ．若 ， 平分 ， ，求 的
长．
【分析】（1）证明 ， ，根据相似三角形的性质得到 ，进
而证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出 ，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（3）延长 交 于 ，连接 ，过点 作 于 ，根据直角三角形的性质求出
，求出 ，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明： ，
， ，
， ，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
；
（3）解：延长 交 于 ，连接 ，过点 作 于 ，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
第15页（共18页），
，
在 中， ，
，
平分 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
24．（14分）如图1， 为锐角三角形 的外接圆，点 在 上， 交 于点 ，点
在 上，满足 ， 交 于点 ， ，连结 ，
．设 ．
（1）用含 的代数式表示 ．
（2）求证： ．
（3）如图2， 为 的直径．
①当 的长为2时，求 的长．
②当 时，求 的值．
【分析】（1）联立 ， ，即可得出 的度
数；
（2）根据角的关系得出 ，推出 ，又 ，即可根据 证两三
角形全等；
（3）①用 表示出 的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；
②证 ，设相似比为 ， ，则可得出 ， ， 的长度，根据比例关
系得出方程求出 的值，在用 的代数式分别表示出 和 ，即可得出结论．
【解答】解：（1） ，①
又 ，②
第16页（共18页）② ①，得 ，
；
（2）由（1）得 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（3）① ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
与 所对的圆心角度数之比为 ，
与 的长度之比为 ，
，
；
②如图，连接 ，
，
，
，
，
第17页（共18页），
，
，
设 与 的相似比为 ，
，
，
设 ，则 ， ，
， ，
，
由 ，得 ，
解得 或 （舍去），
， ，
，
在 中， ，
．
方法二：连接 ，作 于 ，
由题意知， 和 都是等腰三角形，
，
设 ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
，
即 ，
解得 或 （舍去），
．
第18页（共18页）
