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2022年浙江省杭州市中考数学试卷
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（3分）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为
，最高气温为 ，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为
A． B． C． D．
2．（3分）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000
用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
3．（3分）如图，已知 ，点 在线段 上（不与点 ，点 重合），连接 ．若
， ，则
A． B． C． D．
4．（3分）已知 ， ， ， 是实数，若 ， ，则
A． B． C． D．
5．（3分）如图， 于点 ，已知 是钝角，则
A．线段 是 的 边上的高线
第1页（共25页）B．线段 是 的 边上的高线
C．线段 是 的 边上的高线
D．线段 是 的 边上的高线
6．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，其中 表示照相
机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片（像 到镜头的距离．已知 ， ，则
A． B． C． D．
7．（3分）某体育比赛的门票分 票和 票两种， 票每张 元， 票每张 元．已知10张
票的总价与19张 票的总价相差320元，则
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ．以点 为旋转中心，把点
按逆时针方向旋转 ，得点 ．在 ， ， ， ， ， 四个点
中，直线 经过的点是
A． B． C． D．
9．（3分）已知二次函数 ， 为常数）．命题①：该函数的图象经过点 ；命
题②：该函数的图象经过点 ；命题③：该函数的图象与 轴的交点位于 轴的两侧；命题
④：该函数的图象的对称轴为直线 ．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个
假命题是
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
10．（3分）如图，已知 内接于半径为1的 ， 是锐角），则 的面积
第2页（共25页）的最大值为
A． B． C． D．
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算： ； ．
12．（4分）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是
偶数的概率等于 ．
13．（4分）已知一次函数 与 是常数， 的图象的交点坐标是 ，则方
程组 的解是 ．
14．（4分）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆 的高度，把标杆 直立在
同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 ，
．已知 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ，则
．
15．（4分）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169
万，设新注册用户数的年平均增长率为 ，则 （用百分数表示）．
16．（4分）如图是以点 为圆心， 为直径的圆形纸片，点 在 上，将该圆形纸片沿直
线 对折，点 落在 上的点 处（不与点 重合），连接 ， ， ．设 与直径
交于点 ．若 ，则 度； 的值等于 ．
第3页（共25页）三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算： ■ ．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是 ，请计算 ．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
18．（8分）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文
化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分
100分）如下表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别
按照 ， ， 的比例计入综合成绩，应该录取谁？
19．（8分）如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，连接 ， ．已知
四边形 是平行四边形， ．
（1）若 ，求线段 的长．
（2）若 的面积为1，求平行四边形 的面积．
第4页（共25页）20．（10分）设函数 ，函数 ， ， 是常数， ， ．
（1）若函数 和函数 的图象交于点 ，点 ，
①求函数 ， 的表达式；
②当 时，比较 与 的大小（直接写出结果）．
（2）若点 在函数 的图象上，点 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点
，点 恰好落在函数 的图象上，求 的值．
21．（10分）如图，在 中， ，点 为边 的中点，点 在线段 上，
于点 ，连接 ， ．已知 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求线段 的长．
22．（12分）设二次函数 ， 是常数）的图象与 轴交于 ， 两点．
（1）若 ， 两点的坐标分别为 ， ，求函数 的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数 的表达式可以写成 是常数）的形式，求 的最小值．
（3）设一次函数 是常数），若函数 的表达式还可以写成
的形式，当函数 的图象经过点 ， 时，求 的值．
23．（12分）在正方形 中，点 是边 的中点，点 在线段 上（不与点 重合），
点 在边 上，且 ，连接 ，以 为边在正方形 内作正方形 ．
第5页（共25页）（1）如图1，若 ，当点 与点 重合时，求正方形 的面积．
（2）如图2，已知直线 分别与边 ， 交于点 ， ，射线 与射线 交于点 ．
①求证： ；
②设 ， 和四边形 的面积分别为 ， ．求证： ．
第6页（共25页）2022年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（3分）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为
，最高气温为 ，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为
A． B． C． D．
【分析】由最高温差减去最低温度求出该地这天的温差即可．
【解答】解：根据题意得： ，
则该地这天的温差为 ．
故选： ．
2．（3分）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000
用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
【分析】根据科学记数法的规则，进行书写即可．
【解答】解： ，
故选： ．
3．（3分）如图，已知 ，点 在线段 上（不与点 ，点 重合），连接 ．若
， ，则
A． B． C． D．
第7页（共25页）【分析】由 为 的外角，利用外角性质求出 的度数，再利用两直线平行内错角
相等即可求出 的度数．
【解答】解： 为 的外角，且 ， ，
，即 ，
，
，
．
故选： ．
4．（3分）已知 ， ， ， 是实数，若 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质判断 选项；根据特殊值法判断 ， ， 选项．
【解答】解： 选项， ， ，
，故该选项符合题意；
选项，当 ， ， 时， ，故该选项不符合题意；
选项，当 ， ， 时， ，故该选项不符合题意；
选项，当 ， ， 时， ，故该选项不符合题意；
故选： ．
5．（3分）如图， 于点 ，已知 是钝角，则
A．线段 是 的 边上的高线
B．线段 是 的 边上的高线
C．线段 是 的 边上的高线
D．线段 是 的 边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解： 、线段 是 的 边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段 是 的 边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
、线段 不是 的 边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
第8页（共25页）、线段 不是 的 边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选： ．
6．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，其中 表示照相
机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片（像 到镜头的距离．已知 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】利用分式的基本性质，把等式 恒等变形，用含 、 的代数式表示 ．
【解答】解： ，
，
，
，
．
故选： ．
7．（3分）某体育比赛的门票分 票和 票两种， 票每张 元， 票每张 元．已知10张
票的总价与19张 票的总价相差320元，则
A． B． C． D．
【分析】直接利用10张 票的总价与19张 票的总价相差320元，得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得： ．
故选： ．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ．以点 为旋转中心，把点
按逆时针方向旋转 ，得点 ．在 ， ， ， ， ， 四个点
中，直线 经过的点是
第9页（共25页）A． B． C． D．
【分析】根据含 角的直角三角形的性质可得 ，利用待定系数法可得直线
的解析式，依次将 ， ， ， 四个点的一个坐标代入 中可解答．
【解答】解： 点 ，点 ，
轴， ，
由旋转得： ， ，
如图，过点 作 轴于 ，
，
， ，
，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
，
第10页（共25页）直线 的解析式为： ，
当 时， ， ，
点 ， 不在直线 上，
当 时， ，
， 在直线 上，
当 时， ，
不在直线 上，
当 时， ，
不在直线 上．
故选： ．
9．（3分）已知二次函数 ， 为常数）．命题①：该函数的图象经过点 ；命
题②：该函数的图象经过点 ；命题③：该函数的图象与 轴的交点位于 轴的两侧；命题
④：该函数的图象的对称轴为直线 ．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个
假命题是
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【分析】假设命题④正确，推出②③正确，由此即可判断．
【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线 ，
则 ，
解得 ，
函数的图象经过点 ，
，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ，
第11页（共25页）当 时，得 ，
解得 或 ，
故抛物线与 轴的交点为 和 ，
函数的图象与 轴的交点位于 轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选： ．
10．（3分）如图，已知 内接于半径为1的 ， 是锐角），则 的面积
的最大值为
A． B． C． D．
【分析】要使 的面积 的最大，则 要最大，当高经过圆心时最大．
【解答】解：当 的高 经过圆的圆心时，此时 的面积最大，
如图所示，
，
， ，
在 中，
，
， ，
，
，
第12页（共25页）．
故选： ．
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算： 2 ； ．
【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解： ， ，
故答案为：2，4．
12．（4分）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是
偶数的概率等于 ．
【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
【解答】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶
数的可能性有2种可能性，
从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ，
故答案为： ．
13．（4分）已知一次函数 与 是常数， 的图象的交点坐标是 ，则方
程组 的解是 ．
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的
解．
【解答】解： 一次函数 与 是常数， 的图象的交点坐标是 ，
联立 与 的方程组的解为： ，
故答案为： ．
14．（4分）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆 的高度，把标杆 直立在
第13页（共25页）同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 ，
．已知 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ，则
9.8 8 ．
【分析】根据平行投影得 ，可得 ，证明 △ ，然后
利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解： 同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 ， ．
，
，
， ，
，
△ ，
，即 ，
解得 ，
旗杆的高度为 ．
故答案为：9.88．
15．（4分）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169
万，设新注册用户数的年平均增长率为 ，则 （用百分数表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为 ，利用2019年的新注册用户数为100万
平均增长率） 年的新注册用户数为169万，即可得出关于 的一元二次方程，解
之取其正值即可得出结论．
【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
，
第14页（共25页）新注册用户数的年平均增长率为 ．
故答案为： ．
16．（4分）如图是以点 为圆心， 为直径的圆形纸片，点 在 上，将该圆形纸片沿直
线 对折，点 落在 上的点 处（不与点 重合），连接 ， ， ．设 与直径
交于点 ．若 ，则 3 6 度； 的值等于 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出 ，证出 ，由折叠的性质得出
， 设 ， 证 出 ，
，由三角形内角和定理可得出答案；证明 ，由相似三角形的性质得
出 ，设 ， ，得出 ，求出 ，证明
，由相似三角形的性质得出 ，则可得出答案．
【解答】解： ，
，
， ，
，
将该圆形纸片沿直线 对折，
，
又 ，
，
设 ，
，
，
，
第15页（共25页），
，
；
， ，
，
，
，
设 ， ，
，
解得， （负值舍去），
，
，
， ，
，
，
．
故答案为：36， ．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算： ■ ．
第16页（共25页）圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是 ，请计算 ．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【分析】（1）将被污染的数字 代入原式，根据有理数的混合运算即可得出答案；
（2）设被污染的数字为 ，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）
；
（2）设被污染的数字为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
答：被污染的数字是3．
18．（8分）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文
化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分
100分）如下表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别
按照 ， ， 的比例计入综合成绩，应该录取谁？
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；
（2）根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：（1）甲的平均成绩为 （分 ；
乙的平均成绩为 （分 ，
第17页（共25页）因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，
所以乙被录用；
（2）根据题意，甲的平均成绩为 （分 ，
乙的平均成绩为 （分 ，
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用．
19．（8分）如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，连接 ， ．已知
四边形 是平行四边形， ．
（1）若 ，求线段 的长．
（2）若 的面积为1，求平行四边形 的面积．
【分析】（1）证明 ，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得 的面积是16，同理可得 的
面积 ，根据面积差可得答案．
【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
的面积为1，
第18页（共25页）的面积是16，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
的面积 ，
平行四边形 的面积 ．
20．（10分）设函数 ，函数 ， ， 是常数， ， ．
（1）若函数 和函数 的图象交于点 ，点 ，
①求函数 ， 的表达式；
②当 时，比较 与 的大小（直接写出结果）．
（2）若点 在函数 的图象上，点 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点
，点 恰好落在函数 的图象上，求 的值．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点 的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
【解答】解：（1）把点 代入 ，
，
解得： ，
函数 的表达式为 ，
把点 代入 ，解得 ，
把点 ，点 代入 ，
第19页（共25页），
解得 ，
函数 的表达式为 ；
（2）如图，
当 时， ；
（3）由平移，可得点 坐标为 ，
，
解得： ，
的值为1．
21．（10分）如图，在 中， ，点 为边 的中点，点 在线段 上，
于点 ，连接 ， ．已知 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求线段 的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得 ，根据外角的性质可得
， ，根据等角对等边即可得证；
第20页（共25页）（2）根据 先求出 的长，再解直角三角形即可求出 的长．
【解答】（1）证明： ，点 为边 的中点，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
， ，
．
22．（12分）设二次函数 ， 是常数）的图象与 轴交于 ， 两点．
（1）若 ， 两点的坐标分别为 ， ，求函数 的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数 的表达式可以写成 是常数）的形式，求 的最小值．
（3）设一次函数 是常数），若函数 的表达式还可以写成
的形式，当函数 的图象经过点 ， 时，求 的值．
【分析】（1）根据 、 两点的坐标特征，可设函数 的表达式为 ，其中
， 是抛物线与 轴交点的横坐标；
（2）把函数 ，化成一般式，求出对应的 、 的值，再根据 式子的特点求
出其最小值；
第21页（共25页）（3）把 ， 代入 求出 关于 的函数表达式，再根据其图象过点 ， ，把 ，
代入其表达式，形成关于 的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1） 二次函数 过点 、 ，
，即 ．
抛物线的对称轴为直线 ．
（2）把 化成一般式得，
．
， ．
．
把 的值看作是 的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
当 时， 的最小值是 ．
（3）由题意得，
．
函数 的图象经过点 ， ，
．
，或 ．
即 或 ．
23．（12分）在正方形 中，点 是边 的中点，点 在线段 上（不与点 重合），
点 在边 上，且 ，连接 ，以 为边在正方形 内作正方形 ．
第22页（共25页）（1）如图1，若 ，当点 与点 重合时，求正方形 的面积．
（2）如图2，已知直线 分别与边 ， 交于点 ， ，射线 与射线 交于点 ．
①求证： ；
②设 ， 和四边形 的面积分别为 ， ．求证： ．
【分析】（1）由点 是边 的中点，若 ，当点 与点 重合，得出 ，由
，得出 ，由勾股定理得出 ，即可求出正方形 的面积；
（2）①由“一线三直角”证明 ，得出 ，由 ，得出
，进而证明 ；
② 先 证 明 ， 得 出 ， 再 证 明 ， 得 出
，由正弦的定义得出 ，进而得出 ，
得出 ，即可证明 ．
【解答】（1）解：如图1，
第23页（共25页）点 是边 的中点，若 ，当点 与点 重合，
，
，
，
在 中， ，
正方形 的面积 ；
（2）如图2，
①证明：
四边形 是正方形，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
第24页（共25页），
，
；
②证明： 四边形 是正方形，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
第25页（共25页）
