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2022年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多
选、错选，均不给分）
1．（4分）计算 的结果是
A．6 B． C．3 D．
2．（4分）某物体如图所示，它的主视图是
A． B． C． D．
3．（4分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳
动实践小组有
A．75人 B．90人 C．108人 D．150人
4．（4分）化简 的结果是
A． B． C． D．
5．（4分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面
朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为
第1页（共34页）A． B． C． D．
6．（4分）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是
A．36 B． C．9 D．
7．（4分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为 米，所经过的时
间为 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画 与 之间关系的是
A． B．
C． D．
8．（4分）如图， ， 是 的两条弦， 于点 ， 于点 ，连结 ，
．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
9．（4分）已知点 ， ， 都在抛物线 上，点 在点 左侧，下
列选项正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（4分）如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，连结 ，作
于点 ， 于点 ， 于点 ，交 于点 ．若正方形 与
第2页（共34页）正方形 的面积之比为5， ，则 的长为
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式： ．
12．（5分）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树
株．
13．（5分）计算： ．
14．（5分）若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则它的弧长为 ．
15．（5分）如图，在菱形 中， ， ．在其内部作形状、大小都相同的菱
形 和菱形 ，使点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，点 ， 在对
角线 上．若 ，则 的长为 ．
第3页（共34页）16．（5分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点 在旋转中
心 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ， ，此时各叶片影子在点 右
侧成线段 ，测得 ， ，垂直于地面的木棒 与影子 的比为 ，
则点 ， 之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算： ．
（2）解不等式 ，并把解集表示在数轴上．
18．（8分）如图，在 的方格纸中，已知格点 ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单
位后的图形．
（2）在图2中画一个以 为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕
点 旋转 后的图形．
第4页（共34页）19．（8分）为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时
间，由图示分组信息得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ．
分组信息
组：
组：
组：
组：
组：
注：（分钟）为午餐时间！
某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别 划记 频数
2
4
合计 20
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在 组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分
钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
20．（8分）如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
第5页（共34页）21．（10分）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点 ．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当 ，且 时自变量 的取值范围．
22．（10分）如图，在 中， 于点 ， ， 分别是 ， 的中点， 是 的
中点， 的延长线交线段 于点 ，连结 ， ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）当 ， 时，求 的长．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
第6页（共34页）素材1 图1中有一座拱
桥，图2是其抛物
线形桥拱的示意
图，某时测得水面
宽 ，拱顶离水
面 ．据调查，该
河段水位在此基础
上再涨 达到最
高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱
上悬挂 长的灯笼，如图3．为了
安全，灯笼底部距离水面不小于 ；
为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水
平间距均为 ；为了美观，要求在
符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成
轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
形状
任务2 探究悬挂 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最
范围 小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求
方案 出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
24．（14分）如图1， 为半圆 的直径， 为 延长线上一点， 切半圆于点 ，
，交 延长线于点 ，交半圆于点 ，已知 ， ，点 ， 分别在线段
， 上（不与端点重合），且满足 ．设 ， ．
（1）求半圆 的半径．
（2）求 关于 的函数表达式．
（3）如图2，过点 作 于点 ，连结 ， ．
①当 为直角三角形时，求 的值．
②作点 关于 的对称点 ，当点 落在 上时，求 的值．
第7页（共34页）第8页（共34页）2022年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多
选、错选，均不给分）
1．（4分）计算 的结果是
A．6 B． C．3 D．
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：
．
故选： ．
2．（4分）某物体如图所示，它的主视图是
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
【解答】解：某物体如图所示，它的主视图是：
故选： ．
3．（4分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳
动实践小组有
第9页（共34页）A．75人 B．90人 C．108人 D．150人
【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后
根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．
【解答】解：本次参加课外兴趣小组的人数为： （人 ，
劳动实践小组有： （人 ，
故选： ．
4．（4分）化简 的结果是
A． B． C． D．
【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：原式
．
故选： ．
5．（4分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面
朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为
A． B． C． D．
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．
【解答】解：因为1到9共9个自然数．是偶数的有4个，
所以正面的数是偶数的概率为 ．
故选： ．
6．（4分）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是
A．36 B． C．9 D．
第10页（共34页）【分析】方程 有两个相等的实数根，可知△ ，然后即可计算出 的
值．
【解答】解： 方程 有两个相等的实数根，
△ ，
解得 ，
故选： ．
7．（4分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为 米，所经过的时
间为 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画 与 之间关系的是
A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在 分钟休息可解答．
【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发， 米表示他离家的路程，所以 ， 错误；
小聪在凉亭休息10分钟，所以 正确， 错误．
故选： ．
8．（4分）如图， ， 是 的两条弦， 于点 ， 于点 ，连结 ，
．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
第11页（共34页）【分析】根据四边形的内角和等于 计算可得 ，再根据圆周角定理得到
，进而可以得到答案．
【解答】解： ， ，
， ，
，
，
，
故选： ．
9．（4分）已知点 ， ， 都在抛物线 上，点 在点 左侧，下
列选项正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当 时， 、 、 的大小关系或
当 时， 、 、 的大小关系．
【解答】解： 抛物线 ，
该抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，当 时， 随 的增大而增大，当
时， 随 的增大而减小，
点 ， ， 都在抛物线 上，点 在点 左侧，
若 ，则 ，故选项 、 均不符合题意；
若 ，则 ，故选项 不符合题意，选项 符合题意；
故选： ．
10．（4分）如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，连结 ，作
于点 ， 于点 ， 于点 ，交 于点 ．若正方形 与
正方形 的面积之比为5， ，则 的长为
第12页（共34页）A． B． C． D．
【分析】设 交 于 ，过 作 于 ，设正方形 边长为 ，根据正方形
与正方形 的面积之比为5，得 ，证明 ，可
得 ，设 ，在 中， ，可解得 ，有
， ，从而可得 ， ， ，即知 为 中点，
，由 ，得 ， ，即得 ，而
，又 ，得 ，即 ，故
．
【解答】解：设 交 于 ，过 作 于 ，如图：
第13页（共34页）设正方形 边长为 ，
正方形 面积为 ，
正方形 与正方形 的面积之比为5，
正方形 的面积为 ，
，
由已知可得： ， ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 或 （舍去），
， ，
，
，
，
， ，
，即 为 中点，
，
，
， ，
，
，即 ，
第14页（共34页）， ，
，
，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选： ．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式： ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解： ，
故答案为： ．
12．（5分）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树
5 株．
第15页（共34页）【分析】根据算术平均数公式即可解决问题．
【解答】解：观察图形可知： ，
平均每组植树5株．
故答案为：5．
13．（5分）计算： 2 ．
【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．
【解答】解：原式 ，
，
．
故答案为：2．
14．（5分）若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则它的弧长为 ．
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
【解答】解： 扇形的圆心角为 ，半径为 ，
它的弧长为： ，
故答案为： ．
15．（5分）如图，在菱形 中， ， ．在其内部作形状、大小都相同的菱
第16页（共34页）形 和菱形 ，使点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，点 ， 在对
角线 上．若 ，则 的长为 ．
【分析】方法一：根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得 、 和 的长，然后即可
计算出 的长．
方法二：根据相似三角形的判定和性质可以得到 和 的关系，然后解直角三角形可以
求得 的长，从而可以得到 的长．
【解答】解：方法一：连接 交 于点 ，作 于点 ，作 交 的延长线
于点 ，如图1所示，
四边形 是菱形， ， ，
， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
， ，
菱形 和菱形 大小相同，
， ，
，
第17页（共34页），
，
同理可得， ，
，
故答案为： ．
方法二：连接 交 于点 ，连接 ，
由题意可得，四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
． ， 垂直平分 ，
，
，
，
故答案为： ．
第18页（共34页）16．（5分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点 在旋转中
心 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ， ，此时各叶片影子在点 右
侧成线段 ，测得 ， ，垂直于地面的木棒 与影子 的比为 ，
则点 ， 之间的距离等于 1 0 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【分析】解法一：作平行线 ，根据平行线分线段成比例定理可知 ，由 与影子
的比为 ，可得 的长，同法由等角的正弦可得 的长，从而得结论；
解法二：作辅助线，构建直角 ，证明 ，根据垂直于地面的木棒 与影
子 的比为 ，列比例式可得 的长，由三角函数的定义可得 的长，从而得
，由此可解答．
第19页（共34页）【解答】解：解法一：如图，过点 作 ，交 于 ，过 作 于 ，则
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
；
，
，
，即 ，
，
以点 为圆心， 的长为半径作圆，当 与 共线时，叶片外端离地面的高度最大，其
最大高度等于 米．
解法二：如图，设 与 交于点 ，过点 作 于 ，
第20页（共34页），
，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
设 ， ，则 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
第21页（共34页），
，
以点 为圆心， 的长为半径作圆，当 与 共线时，叶片外端离地面的高度最大，其
最大高度等于 米．
故答案为：10， ．
三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算： ．
（2）解不等式 ，并把解集表示在数轴上．
【分析】（1）根据算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂和绝对值可以解答本题；
（2）先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：（1）
；
（2） ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
其解集在数轴上表示如下：
．
18．（8分）如图，在 的方格纸中，已知格点 ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单
位后的图形．
（2）在图2中画一个以 为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕
第22页（共34页）点 旋转 后的图形．
【分析】（1）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意
即可；
（2）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．
【解答】解：（1）如图1中 即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中 即为所求（答案不唯一）．
19．（8分）为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时
间，由图示分组信息得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ．
分组信息
组：
组：
组：
组：
组：
注：（分钟）为午餐时间！
某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别 划记 频数
2
4
第23页（共34页）合计 20
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在 组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分
钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
【分析】（1）根据数据收集20名学生用餐时间，可得 ， 、 组的频数，即可完成统计表，
根据样本估计总体的方法进行计算即可得答案；
（2）分析每组数据的频数即可得出答案．
【解答】解：（1）频数表填写如图，
（名 ．
答：这400名学生午餐所花时间在 组的有240名．
（2）①选择25分钟，有19人能按时完成用餐，占比 ，可以鼓励最后一位同学适当加快用
餐速度，有利于食堂提高运行效率，
②选择20分钟，有18人能按时完成用餐，占比 ，可以鼓励最后两位同学适当加快用餐
速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行效率．
③选择30分钟，能说明所有学生都能完成用餐，但未考虑食堂的运行效率．
20．（8分）如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．
（1）求证： ．
第24页（共34页）（2）当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得 ，则 ，从而有 ，由（1）得，
，可知 ，等量代换即可．
【解答】（1）证明： 是 的角平分线，
，
，
，
．
（2）解： ，理由如下：
，
，
，
， ，
，
，
，
由（1）得， ，
，
．
21．（10分）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点 ．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当 ，且 时自变量 的取值范围．
第25页（共34页）【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）把点 代入 ，
，
解得： ，
反比例函数的表达式为 ，
补充其函数图象如下：
（2）当 时， ，
第26页（共34页）解得： ，
当 ，且 时， 或 ．
22．（10分）如图，在 中， 于点 ， ， 分别是 ， 的中点， 是 的
中点， 的延长线交线段 于点 ，连结 ， ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）当 ， 时，求 的长．
【 分 析 】（ 1 ） 由 三 角 形 中 位 线 定 理 得 ， 则 ， 再 证
，得 ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得 ，则 ，再由锐角三角函
数定义得 ，然后由勾股定理得 ，则 ，进而由平行四边形的
性质即可得出结论．
【解答】（1）证明： ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
第27页（共34页），
，
四边形 是平行四边形．
（2）解： ，
，
是 的中点，
，
，
，
即 ，
，
，
，
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱
桥，图2是其抛物
线形桥拱的示意
图，某时测得水面
宽 ，拱顶离水
面 ．据调查，该
河段水位在此基础
上再涨 达到最
高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱
上悬挂 长的灯笼，如图3．为了
安全，灯笼底部距离水面不小于 ；
为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水
平间距均为 ；为了美观，要求在
符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成
轴对称分布．
第28页（共34页）问题解决
任务1 确定桥拱 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
形状
任务2 探究悬挂 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最
范围 小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求
方案 出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨 达到最高，灯笼底部距离水面至少 ，灯笼长 ，计算
悬挂点的纵坐标的最小值是 ；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．
【解答】解：任务
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为 ，且过点 ，
设抛物线的解析式为： ，
把点 代入得： ，
，
抛物线的函数表达式为： ；
任务
该河段水位再涨 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，灯笼长 ，
当悬挂点的纵坐标 ，
即悬挂点的纵坐标的最小值是 ，
当 时， ，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是： ；
第29页（共34页）任务
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时， ，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时， ，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为： ；
方案二：如图3，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时， ，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时， ，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为： ．
24．（14分）如图1， 为半圆 的直径， 为 延长线上一点， 切半圆于点 ，
，交 延长线于点 ，交半圆于点 ，已知 ， ，点 ， 分别在线段
， 上（不与端点重合），且满足 ．设 ， ．
（1）求半圆 的半径．
（2）求 关于 的函数表达式．
（3）如图2，过点 作 于点 ，连结 ， ．
①当 为直角三角形时，求 的值．
②作点 关于 的对称点 ，当点 落在 上时，求 的值．
第30页（共34页）【分析】（1）连接 ，设半径为 ，利用 ，得 ，代入计算即可；
（2）根据 ，用含 的代数式表示 的长，再由（1）计算求 的长即可；
（3）①显然 ，所以分两种情形，当 时，则四边形 是矩形，当
时，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，分别根据图形可得答
案；
②连接 ， ，由对称可知 ， ，利用三角函数表示出
和 的长度，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图1，连接 ，设半径为 ，
切半圆于点 ，
，
，
，
，
，
，
第31页（共34页）解得 ，
半圆 的半径为 ；
（2）由（1）得， ，
， ，
，
，
；
（3）①显然 ，所以分两种情形，
当 时，则四边形 是矩形，
，
，
，
，
当 时，过点 作 于点 ，如图，
则四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
第32页（共34页），
，
由 得： ，
，
综上， 的值为 或 ；
②如图，连接 ， ，由对称可知 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半圆 的直径，
，
，
，
，
第33页（共34页）．
第34页（共34页）
