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2022年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方
框里）
1．（3分）2022的倒数是
A．2022 B． C． D．
2．（3分）下列式子正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月份 2 6 8 6 10 4 7 8 8 7
这组数据（月份）的众数是
A．10 B．8 C．7 D．6
4．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清
洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000
亿用科学记数法表示为
第1页（共31页）A． B． C． D．
6．（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知 ，则
A． B． C． D．
7．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
8．（3分）将直线 向上平移2个单位，相当于
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确
记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，
那么孩子已经出生了
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
10．（3分）如图，等边 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色
第2页（共31页）部分和白色部分关于等边 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 的面
积之比是
A． B． C． D．
11．（3分）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 、 ， 且 ，过
点 、 的直线与两坐标轴相交于 、 两点，连接 、 ，则下列结论中成立的有
①点 、 在反比例函数 的图象上；
② 为等腰直角三角形；
③ ；
④ 的值随 的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
12．（3分）若 ，则称 是以10为底 的对数．记作： ．
例如： ，则 ； ，则 ．
对数运算满足：当 ， 时， ．
例如： ，则 的值为
A．5 B．2 C．1 D．0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数 的自变量 的取值范围是 ．
14．（3分）已知实数 ， 是方程 的两根，则 ．
15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为 号台球共15个，搅拌均匀后，
从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 ．
16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比
第3页（共31页）较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点 是 的黄金分割点，即 ．延长
与 相交于点 ，则 ．（精确到
17．（3分）菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的动点，
的最小值为 ．
18．（3分）如图，已知等腰 的顶角 的大小为 ，点 为边 上的动点（与 、
不重合），将 绕点 沿顺时针方向旋转 角度时点 落在 处，连接 ．给出下列
结论：
① ；
② ；
③当 时， 的面积取得最小值．
其中正确的结论有 （填结论对应的应号）．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算： ．
第4页（共31页）20．（6分）先化简，再求值： ，其中 是满足条件 的合适的非
负整数．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督
导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他
们一周的课外阅读时间 以上， ， ， 以下）进行问卷调查，
将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共 名；
（2） ， ；
（3）补全条形统计图．
22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻
炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点 处，在无外力作用下，弹簧的长度为 ，
即 ．开始训练时，将弹簧的端点 调在点 处，此时弹簧长 ，弹力大小是
，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点
调到点 处，使弹力大小变为 ，已知 ，求 的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即 △ ， 是劲度系数，△ 是弹簧的形变量，在无外
力作用下，弹簧的长度为 ，在外力作用下，弹簧的长度为 ，则△ ．
第5页（共31页）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能
够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘
量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少 ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年
的平均滞尘总量为 ．
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约
50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
24．（9分）如图，以 为边分别作菱形 和菱形 （点 ， ， 共线），动点 在
以 为直径且处于菱形 内的圆弧上，连接 交 于点 ．设 ．
（1）求证：无论 为何值， 与 相互平分；并请直接写出使 成立的 值．
（2）当 时，试给出 的值，使得 垂直平分 ，请说明理由．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，已知 是 的角平分线，点 是斜边 上的动点，以点 为圆心，
长为半径的 经过点 ，与 相交于点 ．
（1）判定 与 的位置关系，为什么？
第6页（共31页）（2）若 ， ，
①求 、 的值；
②试用 和 表示 ，猜测 与 、 的关系，并用
给予验证．
26．（10分）如图，抛物线 与 轴相交于点 、点 ，与 轴相交于点 ．
（1）请直接写出点 ， ， 的坐标；
（2）点 ， 在抛物线上，当 取何值时， 的面积最大？并求出 面
积的最大值．
（3）点 是抛物线上的动点，作 交 轴于点 ，是否存在点 ，使得以 、 、 、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
第7页（共31页）第8页（共31页）2022年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方
框里）
1．（3分）2022的倒数是
A．2022 B． C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是 ．
故选： ．
2．（3分）下列式子正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即
可解答．
【解答】解： 、 ，故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 与 不能合并，故 不符合题意；
故选： ．
3．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月份 2 6 8 6 10 4 7 8 8 7
这组数据（月份）的众数是
A．10 B．8 C．7 D．6
【分析】根据众数的意义求出众数即可．
【解答】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8，共出现3次，因此众数是8，
第9页（共31页）故选： ．
4．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解： ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选： ．
5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清
洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000
亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】根据5000亿 ，再用科学记数法表示即可．
【解答】解： 亿 ，
故选： ．
6．（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知 ，则
第10页（共31页）A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义可得结论．
【解答】解：如图，
由平行线的性质得： ，
，
．
故选： ．
7．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．
【解答】解： ，
解①，得 ，
解②，得 ．
所以原不等式组的解集为： ．
故符合条件的选项是 ．
故选： ．
8．（3分）将直线 向上平移2个单位，相当于
第11页（共31页）A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【分析】根据直线 平移 值不变，只有 发生改变解答即可．
【解答】解：将直线 向上平移2个单位后得到新直线解析式为： ，即
．
由于 ，
所以将直线 向左平移1个单位即可得到直线 ．
所以将直线 向上平移2个单位，相当于将直线 向左平移1个单位．
故选： ．
9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确
记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，
那么孩子已经出生了
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为5， ，
和 ，然后把它们相加即可．
【解答】解：孩子自出生后的天数是：
，
答：那么孩子已经出生了516天．
故选： ．
10．（3分）如图，等边 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色
部分和白色部分关于等边 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 的面
积之比是
第12页（共31页）A． B． C． D．
【分析】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆
中的黑色部分的面积与 的面积之比．
【解答】解：作 于点 ，作 于点 ， 和 交于点 ，如图所示，
设 ，则 ，
，
，
，
圆中的黑色部分的面积与 的面积之比是： ，
故选： ．
11．（3分）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 、 ， 且 ，过
点 、 的直线与两坐标轴相交于 、 两点，连接 、 ，则下列结论中成立的有
①点 、 在反比例函数 的图象上；
② 为等腰直角三角形；
第13页（共31页）③ ；
④ 的值随 的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据 、 点的坐标特征即可判断
②③；求得直线 、 的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．
【解答】解： 点 、 ， 且 ，则 ，
点 、 在反比例函数 的图象上，故①正确；
设直线 为 ，则 ，解得 ，
直线 为 ，
当 时， ；当 时， ，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，故②正确；
点 、 ， 且 ，
、 都在第一象限，
，故③正确；
直线 为 ，直线 为 ，
当 时， 的值随 的增大而减小，当 时， 的值随 的增大而增大，
故④错误；
故选： ．
12．（3分）若 ，则称 是以10为底 的对数．记作： ．
例如： ，则 ； ，则 ．
第14页（共31页）对数运算满足：当 ， 时， ．
例如： ，则 的值为
A．5 B．2 C．1 D．0
【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．
【解答】解：原式
．
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数 的自变量 的取值范围是 ．
【分析】根据 ，以及分母不能为0，可得 ，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
解得： ，
故答案为： ．
14．（3分）已知实数 ， 是方程 的两根，则 ．
【分析】根据根与系数的关系解答．
【解答】解： 方程 中的 ， ，
．
故答案是： ．
15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为 号台球共15个，搅拌均匀后，
从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到一共有多少种可能性，其中摸出编号是偶数的有
多少种可能性，从而可以求得摸出的球编号为偶数的概率．
第15页（共31页）【解答】解：由题意可得，
从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7种可能性，
故摸出的球编号为偶数的概率是 ，
故答案为： ．
16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比
较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点 是 的黄金分割点，即 ．延长
与 相交于点 ，则 0.61 8 ．（精确到
【分析】根据黄金分割的定义可得 ，再根据题意可得 ，即可解答．
【解答】解： 点 是 的黄金分割点，且 ，
，
由题意得：
，
，
，
故答案为：0.618．
17．（3分）菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的动点，
的最小值为 ．
第16页（共31页）【分析】连接 ，作 于 ，利用 证明 ，得 ，当点 、 、
共线， 的最小值为 的长，再求出 的长即可．
【解答】解：连接 ，作 于 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
当点 、 、 共线， 的最小值为 的长，
， ，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
18．（3分）如图，已知等腰 的顶角 的大小为 ，点 为边 上的动点（与 、
不重合），将 绕点 沿顺时针方向旋转 角度时点 落在 处，连接 ．给出下列
结论：
① ；
② ；
③当 时， 的面积取得最小值．
其中正确的结论有 ①②③ （填结论对应的应号）．
第17页（共31页）【分析】由题意可知 ， ， ，即可根据 判断
；根据 ， ，即可判断 ；由
，得出 ，根据等腰三角形三线合一的性质，当 ，则
时， 最小， 的面积取得最小值．
【解答】解：由题意可知 ， ， ，
，故①正确；
， ， ，
，
，故②正确；
，
，
当 时， 最小， 的面积取得最小值．
而 ，
，
当 时， 的面积取得最小值，故③正确；
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算： ．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后
算加减．
第18页（共31页）【解答】解：原式
．
20．（6分）先化简，再求值： ，其中 是满足条件 的合适的非
负整数．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
且 ，
且 ，
，
则原式 ．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督
导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他
们一周的课外阅读时间 以上， ， ， 以下）进行问卷调查，
将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共 20 0 名；
（2） ， ；
（3）补全条形统计图．
第19页（共31页）【分析】（1）根据 类人数以及所占的百分比即可求解；
（2）根据总数以及 类、 类的人数即可求解；
（3）根据 类所占的百分比，求出 类人数，即可补全条形统计图．
【解答】解：（1）本次调查的学生共： （名 ，
故答案为：200；
（2） ， ，
故答案为：30，50；
（3） 类人数为 ，
补全条形统计图如图：
22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻
第20页（共31页）炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点 处，在无外力作用下，弹簧的长度为 ，
即 ．开始训练时，将弹簧的端点 调在点 处，此时弹簧长 ，弹力大小是
，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点
调到点 处，使弹力大小变为 ，已知 ，求 的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即 △ ， 是劲度系数，△ 是弹簧的形变量，在无外
力作用下，弹簧的长度为 ，在外力作用下，弹簧的长度为 ，则△ ．
【分析】由题意可以先求出 的值，然后即可求出 的长，再根据勾股定理即可得到 和
的长，由图可知： ，代入数据计算即可．
【解答】解：由题意可得，
，
，
解得 ，
△ ，
当 时， ，
解得 ，
由图可得，
， ，
，
，
， ，
，
第21页（共31页），
，
即 的长是 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能
够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘
量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少 ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年
的平均滞尘总量为 ．
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约
50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
【分析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为
，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍
少 ，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 ．列出二元一次方程组，
解方程组即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量
为 ，
由题意得： ，
第22页（共31页）解得： ，
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 ；
（2） ，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
24．（9分）如图，以 为边分别作菱形 和菱形 （点 ， ， 共线），动点 在
以 为直径且处于菱形 内的圆弧上，连接 交 于点 ．设 ．
（1）求证：无论 为何值， 与 相互平分；并请直接写出使 成立的 值．
（2）当 时，试给出 的值，使得 垂直平分 ，请说明理由．
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形，可得结论；
（2）当 时， 垂直平分线段 ．证明 ，可得结论．
【解答】（1）证明： 四边形 ，四边形 都是菱形，
， ， ，
， ， 共线，
， ， 共线，
， ，
四边形 是平行四边形，
与 互相平分．
当 时， ，
，
，
；
（2）解：当 时， 垂直平分线段 ．
第23页（共31页）理由：如图（2）中，设 交 于点 ．
四边形 是菱形，
，
与 互相平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
垂直平分线段 ．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，已知 是 的角平分线，点 是斜边 上的动点，以点 为圆心，
长为半径的 经过点 ，与 相交于点 ．
（1）判定 与 的位置关系，为什么？
（2）若 ， ，
①求 、 的值；
②试用 和 表示 ，猜测 与 、 的关系，并用
给予验证．
第24页（共31页）【分析】（1）连接 ，证明 ，则 ，再根据圆的切线的判定定理证
明 是 的切线；
（2）①根据三角函数定义可得结论；
② 计 算 的 值 ， 并 计 算 的 值 ， 可 得 结 论 ：
；并用 可得结论．
【解答】解：（1） 是 切线，理由如下：
如图，连接 ，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，
，
是 的半径，且 ，
第25页（共31页）是 的切线；
（2）①在 中， ， ，
，
，
如图2，连接 ， ，过点 作 于 ，
，
四边形 是矩形，
，
是 的切线，
，
，
，
，
，
第26页（共31页），
；
② ，
；
猜想： ，理由如下：
当 时， ，
，
．
26．（10分）如图，抛物线 与 轴相交于点 、点 ，与 轴相交于点 ．
（1）请直接写出点 ， ， 的坐标；
（2）点 ， 在抛物线上，当 取何值时， 的面积最大？并求出 面
积的最大值．
（3）点 是抛物线上的动点，作 交 轴于点 ，是否存在点 ，使得以 、 、 、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
第27页（共31页）【分析】（1）将 及 代入抛物线 的解析式，进而求得结果；
（2）连接 ，设点 ，分别表示出 ， ，计算出 ，根据
，从而得出 的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为 和 的情形．当 时，点 和点 关于抛物线对称轴对称，从
而得出 点坐标；当 时，可推出点 的纵坐标为6，进一步求得结果．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
当 时， ，
， ，
， ；
（2）方法一：如图1，
第28页（共31页）连接 ，
设点 ，
，
，
，
，
当 时， ；
方法二：如图2，
第29页（共31页）作 于 ，交 于点 ，
， ，
直线 的解析式为： ，
，
，
，
当 时， ；
（3）如图3，
第30页（共31页）当 时， ，
抛物线对称轴为直线： ，
点的坐标： ，
如图4，
当 时，
作 于 ，
，
当 时， ，
， ，
， ， ， ，
综上所述： 或 ， 或 ， ．
第31页（共31页）
