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2022年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正
确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）如图，数轴上点 对应的实数是
A． B． C．1 D．2
2．（4分）下列多边形具有稳定性的是
A． B．
C． D．
3．（4分）剪纸是我国具有独特艺未风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．
下列剪纸图形中，是中心对称图形的有
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．（4分）永州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长
，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆．将数7791000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（4分）下列各式正确的是
A． B． C． D．
6．（4分）下列因式分解正确的是
A． B．
第1页（共25页）C． D．
7．（4分）我市江华县有“神州摇都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用
的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”
的几何体，其俯视图的大致形状是
A． B． C． D．
8．（4分）李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座
随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点， ，则
的长为
A． B． C．2 D．4
10．（4分）学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生
队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学
习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为 米，离校的
时间为 分钟，则下列图象能大致反映 与 关系的是
第2页（共25页）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）若单项式 与 是同类项，则 ．
12．（4分）请写出一个比 大且比10小的无理数： ．
13．（4分）“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛，在五场小组赛中，该足球队的进球数
分别为：2，0，1，2，3，则此组数据的众数是 ．
14．（4分）解分式方程 去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
15．（4分）已知一次函数 的图象经过点 ，则 ．
16．（4分）如图， 是 的直径，点 、 在 上， ，则 度．
17．（4分）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点 为网格线的交点．若线段 绕
原点 顺时针旋转 后，端点 的坐标变为 ．
第3页（共25页）18．（4分）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理
的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个
大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
19．（8分）解关于 的不等式组： ．
20．（8分）先化简，再求值： 其中 ．
21．（8分）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择
性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课
程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整
统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程 人数
：剪纸
：陶艺 20
：厨艺
：刺绣 20
第4页（共25页）：养殖
请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中 ．
（2）所抽取样本的样本容量是 ，频数统计表中 ．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．
22．（10分）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在
滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道 端以平均 米 秒的速度滑到 端，用了24秒；
第二次从滑雪道 端以平均 米 秒的速度滑到 端，用了20秒．
（1）求 的值；
（2）设小勇从滑雪道 端滑到 端的平均速度为 米 秒，所用时间为 秒，请用含 的代数
式表示 （不要求写出 的取值范围）．
23．（10分）如图， 是平行四边形 的对角线， 平分 ，交 于点 ．
（1）请用尺规作 的角平分线 ，交 于点 （要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形 为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明： 四边形 是平行四边形，
．
．（两直线平行，内错角相等）．
又 平分 ， 平分 ，
， ．
．
． （填推理的依据）
又 四边形 是平行四边形．
第5页（共25页）．
四边形 为平行四边形 （填推理的依据）．
24．（10分）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地 、 、 、 四个位置安装四个
自动喷洒装置（如图1所示）， 、 、 、 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，
为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线
为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形 的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形 的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．
满足 ， ， ．请将小明的方案与爸妈的方案
比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据： ，
25．（12分）如图，已知 ， 是 的直径， 是 的切线，点 在 的延长线上，
， 交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 的面积 ，求四边形 的面积 ．
第6页（共25页）26．（12分）已知关于 的函数 ．
（1）若 ，函数的图象经过点 和点 ，求该函数的表达式和最小值；
（2）若 ， ， 时，函数的图象与 轴有交点，求 的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设 ，函数图象与 轴有两个不同的交点 ， ，若 ， 两点均在原点左侧，探究系数 ，
， 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与 轴有两个不同的交点，所以△ ；
②因为 ， 两点在原点左侧，所以 对应图象上的点在 轴上方，即 ；
③上述两个条件还不能确保 ， 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来
进一步限制抛物线的位置：即需 ．
综上所述，系数 ， ， 应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数 的图象在直线 的右侧与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
第7页（共25页）2022年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正
确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）如图，数轴上点 对应的实数是
A． B． C．1 D．2
【分析】观察数轴即可得出答案．
【解答】解：数轴上点 对应的实数是 ，
故选： ．
2．（4分）下列多边形具有稳定性的是
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，
故选： ．
3．（4分）剪纸是我国具有独特艺未风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．
下列剪纸图形中，是中心对称图形的有
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
第8页（共25页）【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：①、是中心对称图形，故本选项符合题意；
②、是中心对称图形，故本选项符合题意；
③、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选： ．
4．（4分）永州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长
，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆．将数7791000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】将较大的数写成科学记数法形式： ，其中 ， 为正整数即可．
【解答】解： ．
故选： ．
5．（4分）下列各式正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质与化简判断 选项；根据零指数幂判断 选项；根据合并同类项
判断 选项；根据有理数的减法判断 选项．
【解答】解： 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项符合题意；
故选： ．
6．（4分）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．
【解答】解： 选项， ，故该选项不符合题意；
选项， ，故该选项符合题意；
选项， ，故该选项不符合题意；
选项， 与 没有公因式，故该选项不符合题意；
第9页（共25页）故选： ．
7．（4分）我市江华县有“神州摇都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用
的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”
的几何体，其俯视图的大致形状是
A． B． C． D．
【分析】根据题目描述，判断几何体的俯视图即可．
【解答】解：根据长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，可知俯视图中空，两端鼓口为
圆形可知俯视图是圆形；
故选： ．
8．（4分）李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座
随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为
A． B． C． D．
【分析】一共有“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，第一场安排的是三场之中的
一场，因此可求出概率．
【解答】解：一共有3种可能出现的结果，其中第一场是“心理”的只有1种，
所以若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为 ，
故选： ．
9．（4分）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点， ，则
的长为
第10页（共25页）A． B． C．2 D．4
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和 角所对的直角边等于斜边的一半即
可得到结论．
【解答】解：在 中， ，点 为边 的中点， ，
，
，
，
，
故选： ．
10．（4分）学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生
队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学
习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为 米，离校的
时间为 分钟，则下列图象能大致反映 与 关系的是
A． B．
C． D．
【分析】根据已知，结合各选项 与 的关系图象即可得到答案．
【解答】解：根据已知 时， 随 的增大而增大，
当 时， 是一个定值，
当 时， 随 的增大而减小，
能大致反映 与 关系的是 ，
第11页（共25页）故选： ．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）若单项式 与 是同类项，则 6 ．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可得出答案．
【解答】解： 与 是同类项，
．
故答案为：6．
12．（4分）请写出一个比 大且比10小的无理数： （答案不唯一） ．
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解： ，
，
比 大且比10小的无理数是 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
13．（4分）“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛，在五场小组赛中，该足球队的进球数
分别为：2，0，1，2，3，则此组数据的众数是 2 ．
【分析】根据众数的概念求解即可．
【解答】解：此组数据2出现2次，次数最多，所以众数是2．
故答案为：2．
14．（4分）解分式方程 去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
故答案为： ．
15．（4分）已知一次函数 的图象经过点 ，则 1 ．
【分析】由一次函数 的图象经过点 ，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出
，解之即可求出 的值．
【解答】解： 一次函数 的图象经过点 ，
，
第12页（共25页）．
故答案为：1．
16．（4分）如图， 是 的直径，点 、 在 上， ，则 12 0 度．
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的
一半求出 的度数，根据平角的定义即可得到 的度数．
【解答】解： 是 所对的圆周角，
，
．
故答案为：120．
17．（4分）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点 为网格线的交点．若线段 绕
原点 顺时针旋转 后，端点 的坐标变为 ．
【分析】根据旋转的性质找到旋转后的 点的对应点的位置，即可求解．
【解答】解：线段 绕原点 顺时针旋转 如图所示，则 ，
第13页（共25页）则旋转后 点坐标变为： ，
故答案为： ．
18．（4分）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理
的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个
大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 3 ．
【 分 析 】 根 据 题 意 得 出 ， ， 设
，结合图形得出 ，利用勾股定理列方程求解．
【解答】解： 大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
， ，
根据题意，设 ，
则 ，
在 中， ，
，
解得： ， （舍去），
，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
第14页（共25页）19．（8分）解关于 的不等式组： ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ．
20．（8分）先化简，再求值： 其中 ．
【分析】根据分式的加减法法则先计算括号里面，将多项式因式分解，将除法转化为乘法，约
分，然后代入求值即可．
【解答】解：原式
，
当 时，
原式
．
21．（8分）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择
性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课
程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整
统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程 人数
：剪纸
：陶艺 20
第15页（共25页）：厨艺
：刺绣 20
：养殖
请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中 2 0 ．
（2）所抽取样本的样本容量是 ，频数统计表中 ．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．
【分析】（1）1减去其他组的百分比可得 组的百分比，即可求解；
（2）利用 的频数及其百分比可得所抽取样本的样本容量，样本容量乘以 的百分比，即可
得 的值；
（3）样本估计总体，样本中，有意向选择 “养殖”的占 ，因此估计总体2000人的20
是有意向选择“养殖”技能课程的人数．
【解答】解：（1） ，
，
故答案为：20；
（2）所抽取样本的样本容量是 ，
，
故答案为：200，50；
（3） （人 ，
答：估计全校有意向选择“养殖”技能课程的有400人．
22．（10分）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在
滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道 端以平均 米 秒的速度滑到 端，用了24秒；
第16页（共25页）第二次从滑雪道 端以平均 米 秒的速度滑到 端，用了20秒．
（1）求 的值；
（2）设小勇从滑雪道 端滑到 端的平均速度为 米 秒，所用时间为 秒，请用含 的代数
式表示 （不要求写出 的取值范围）．
【分析】（1）根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）求出从滑雪道 端滑到 端的路程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
答： 的值为3；
（2）从滑雪道 端滑到 端的路程为： （米 ，
小勇从滑雪道 端滑到 端的平均速度为 米 秒，所用时间为 秒，
．
23．（10分）如图， 是平行四边形 的对角线， 平分 ，交 于点 ．
（1）请用尺规作 的角平分线 ，交 于点 （要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形 为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明： 四边形 是平行四边形，
．
．（两直线平行，内错角相等）．
又 平分 ， 平分 ，
， ．
．
． （填推理的依据）
又 四边形 是平行四边形．
．
四边形 为平行四边形 （填推理的依据）．
第17页（共25页）【分析】（1）根据作已知角的角平分线步骤作图即可；
（2）根据平行线的性质及判定分别填空即可．
【解答】解：（1）作图如下：
即为所求；
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
．
．（两直线平行，内错角相等）．
又 平分 ， 平分 ，
， ．
．
．（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据），
又 四边形 是平行四边形．
．
四边形 为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
故答案为： ， ，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
24．（10分）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地 、 、 、 四个位置安装四个
自动喷洒装置（如图1所示）， 、 、 、 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，
为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线
为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形 的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形 的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．
满足 ， ， ．请将小明的方案与爸妈的方案
第18页（共25页）比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据： ，
【分析】（1）分别算出两种方案中铺设水管的总长度，再比较即可得答案；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，由 ， ，可得
米 ，
， 在 中 ，
（ 米 ， （ 米 ， 故
米，从而可得方案中铺设水管的总长度为
（米 ，即知小明的方案中铺设水管的总长度最短．
【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为 （米 ，
方案二：铺设水管的总长度为 （米 ，
，
方案二铺设水管的总长度更短；
（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下：
如图：
， ，
第19页（共25页）米， ，
同理 米， ，
在 中，
（米 ， （米 ，
同理 米， 米
米，
方案中铺设水管的总长度为 （米 ，
，
小明的方案中铺设水管的总长度最短．
25．（12分）如图，已知 ， 是 的直径， 是 的切线，点 在 的延长线上，
， 交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 的面积 ，求四边形 的面积 ．
【分析】（1）由切线的性质证出 ，由圆周角定理得出 ，则可
得出结论；
（2）证明 ，由全等三角形的性质得出结论；
（3）证出 ，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，
第20页（共25页）求出 ， ， ，则可得出答案．
【解答】（1）证明： 是 的切线，
，
，
是 的直径，
，
，
；
（2）证明： ，
，
， ，
，
是 的直径，
，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
的面积 ，
， ， ，
第21页（共25页）．
26．（12分）已知关于 的函数 ．
（1）若 ，函数的图象经过点 和点 ，求该函数的表达式和最小值；
（2）若 ， ， 时，函数的图象与 轴有交点，求 的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设 ，函数图象与 轴有两个不同的交点 ， ，若 ， 两点均在原点左侧，探究系数 ，
， 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与 轴有两个不同的交点，所以△ ；
②因为 ， 两点在原点左侧，所以 对应图象上的点在 轴上方，即 ；
③上述两个条件还不能确保 ， 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来
进一步限制抛物线的位置：即需 ．
综上所述，系数 ， ， 应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数 的图象在直线 的右侧与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
【分析】（1）根据题意得得方程组，解方程组求得 ，根据二次函数的性
质健康得到结论；
（2）根据函数的图象与 轴有交点，得到△ ，解不等式即可得
到结论；
（3）根据题意得到 的图象如解不等式组即可得到结论．’
【解答】解：（1）根据题意得 ，
第22页（共25页）解得 ，
，
该函数的表达式为 或 ，
当 时， 的最小值为0；
（2）根据题意得 ，
函数的图象与 轴有交点，
△ ，
解得： ；
（3）根据题意得到 的图象如图所示，
如图1，
，即 ，
的值不存在；
如图2，
第23页（共25页），即 ，
的取值范围为 ，
如图3，
，即 ，
的值不存在；
如图4，
第24页（共25页），即
的值不存在；
如图5，
，即 ，
的值为 ；
如图6，
当 时，函数解析式为 ，函数与 轴的交点为 ，
成立；
综上所述， 的取值范围为 或 ．
第25页（共25页）
