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2022年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（3分）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形
的是
A． B．
C． D．
3．（3分）计算 的结果是
A． B． C． D．
4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
5．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为
A． B． C． D．
6．（3分）关于 的一元二次方程 无实数解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转
得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， ，点 是边 的中点，连接 ， ， ．则
下列结论错误的是
第1页（共27页）A． B． ， C． D．
8 ． （ 3 分 ） 我 们 发 现 ： ， ， ， ，
， 一 般 地 ， 对 于 正 整 数 ， ， 如 果 满 足
时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完
美方根数对，则下面4个结论：① 是完美方根数对；② 是完美方根数对；③若
是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则点 在抛物线
上，其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分） ．
10．（3分）分解因式， ．
11．（3分）要使代数式 有意义，则 的取值范围为 ．
12．（3分）方程 的解为 ．
13．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 ．
第2页（共27页）14．（3分）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内
容”占 、“语言表达”占 、“形象风度”占 、“整体效果”占 进行计算，
小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分．
15．（3分）如图，已知 是 内的一点， ， ，若 的面积为2，
， ，则 的面积是 ．
16．（3分）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张
纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样
共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张
纸片，这样共有4张纸片； ；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3
张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算： ．
18．（5分）解不等式组 ．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）化简： ．
20．（6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平
常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米 小时，到达奶奶家时共
第3页（共27页）用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）如图，已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
（1）求 的解析式并直接写出 时 的取值范围；
（2）以 为一条对角线作菱形，它的周长为 ，在此菱形的四条边中任选一条，求其所
在直线的解析式．
22．（7分）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小
学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学
为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此
次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
第4页（共27页）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手
取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某
地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图 ，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终
点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道 米，弧形跳台的跨度 米，
顶端 到 的距离为40米， ， ， ， ．求此大
跳台最高点 距地面 的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
， ， ，
24．（8分）如图，已知 是 的直径， 于 ， 是 上的一点， 交
于 ， ，连接 交 于 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 ， 的长．
第5页（共27页）七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，已知抛物线过点 ， ，且它的对称轴为 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，当 的面积为15时，求 的
坐标；
（3）在（2）的条件下， 是抛物线上的动点，当 的值最大时，求 的坐标以及
的最大值．
26．（10分）在四边形 中， 的平分线 交 于 ，延长 到 使 ，
是 的中点， 交 于 ，连接 ．
（1）当四边形 是矩形时，如图1，求证：① ；② ．
（2）当四边形 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
第6页（共27页）2022年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先化简 ，根据无理数的定义即可得出答案．
【解答】解： ，
无理数有： ， 共2个，
故选： ．
2．（3分）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形
的是
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解： 将图形绕着一点旋转 后能和它本身重合的图形是中心对称图形，
选项 符合上述特征，
故选： ．
3．（3分）计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算便可．
【解答】解：原式
，
故选： ．
第7页（共27页）4．（3分）下列说法正确的是
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
【分析】根据扇形统计图的特点，随机事件的定义，中位数的概念，抽样调查的特点解答即可．
【解答】解： ．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，应采用折线统计图最合适，
不符合题意；
．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，不符合题意；
．一组数据的中位数只有一个，不符合题意；
．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，符合题意，
故选： ．
5．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两个数的和为偶数的结果，即可求出概
率．
【解答】解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，
其中两个数的和为偶数的有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8种，
这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为 ．
故选： ．
6．（3分）关于 的一元二次方程 无实数解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程判别式得到△ ，然后求出不等式的解集即可．
第8页（共27页）【解答】解： 关于 的一元二次方程 无实数解，
△ ，
解得： ，
故选： ．
7．（3分）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转
得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， ，点 是边 的中点，连接 ， ， ．则
下列结论错误的是
A． B． ， C． D．
【分析】根据等边三角形的判定定理得到 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到
，判断 选项；证明 ，根据全等三角形的性质判断 、 选项；解直
角三角形，用 分别表示出 、 ，判断 选项．
【解答】解： 、由旋转的性质可知， ， ，
为等边三角形，
，本选项结论正确，不符合题意；
、在 中， ， ，点 是边 的中点，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
在 和 中，
第9页（共27页），
，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，本选项结论正确，不符合题意；
、 ，
，本选项结论正确，不符合题意；
、在 中， ，
，
同理可得， ，
，故本选项结论错误，符合题意；
故选： ．
8 ． （ 3 分 ） 我 们 发 现 ： ， ， ， ，
， 一 般 地 ， 对 于 正 整 数 ， ， 如 果 满 足
时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完
美方根数对，则下面4个结论：① 是完美方根数对；② 是完美方根数对；③若
是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则点 在抛物线
上，其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】将 ， 代入验证即可判断①②；将 代入公式，建立方程可得出结论；
若 是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．
第10页（共27页）【解答】解：将 代入 ， ， ， ，
是完美方根数对；故①正确；
将 代入 ， ，
不是完美方根数对，故②错误；
③ 是完美方根数对，
将 代入公式， ， ，
解得 或 （舍去），故③正确；
④若 是完美方根数对，则 ， ，
整理得 ，
点 在抛物线 上，故④正确；
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分） 6 ．
【分析】根据绝对值的化简，由 ，可得 ，即得答案．
【解答】解： ，
则 ，
故答案为6．
10．（3分）分解因式， ．
【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
【解答】解：
，
故答案为： ．
11．（3分）要使代数式 有意义，则 的取值范围为 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
第11页（共27页）【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
12．（3分）方程 的解为 ．
【分析】方程两边同乘 ，得到整式方程，解整式方程求出 的值，检验后得到答案．
【解答】解：方程两边同乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的解，
原方程的解为 ．
13．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 月 ．
【分析】根据图形，可以直接写出“神”字对面的字．
【解答】解：由图可得，
“神”字对面的字是“月”，
故答案为：月．
14．（3分）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内
容”占 、“语言表达”占 、“形象风度”占 、“整体效果”占 进行计算，
小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 87. 4 分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：她的最后得分是 （分 ，
故答案为：87.4．
15．（3分）如图，已知 是 内的一点， ， ，若 的面积为2，
， ，则 的面积是 1 2 ．
第12页（共27页）【分析】连接 ， ，由平行四边形的性质可求 ，结合 可求解 ，
再利用 可求解 的面积．
【解答】解：连接 ， ，
四边形 为平行四边形， 的面积为2，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
16．（3分）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张
纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样
共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张
纸片，这样共有4张纸片； ；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3
张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 6 ．
第13页（共27页）【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加
4，如第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为
（ 边 ， 分 成 两 个 图 形 ； 第 二 次 ， 边 数 为 ：
，分成三个图形； ；当剪第 刀时，边数为 ，分成
个图形；令 即可得出结论．
【解答】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增
加4，
第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为
（边 ，分成两个图形；
第二次，边数为： ，分成三个图形； ；
当剪第 刀时，边数为 ，分成 个图形；
最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为 ，
令 ，有 ，
解得 ．
故答案为：6．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算： ．
【分析】根据不等于0的实数零指数幂为1、负整数指数幂是整数指数幂的倒数，特殊角的三
角函数值要记住，化简平方根．
【解答】解： ，
，
，
．
故答案为：1．
18．（5分）解不等式组 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小找不到确定不等式组的解集．
第14页（共27页）【解答】解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）化简： ．
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：
．
20．（6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平
常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米 小时，到达奶奶家时共
用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【分析】设平常的速度是 千米 小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求
解即可．
【解答】解：设平常的速度是 千米 小时，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
（千米），
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）如图，已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
第15页（共27页）（1）求 的解析式并直接写出 时 的取值范围；
（2）以 为一条对角线作菱形，它的周长为 ，在此菱形的四条边中任选一条，求其所
在直线的解析式．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点 的坐标，（也可以直接利
用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点 的坐标． 观察图象即可得出 的取值范
围；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，可证得 是等腰直角三角
形，得出： ， ，再根据菱形性质可得： ， ，利
用勾股定理即可求得 ，再根据对称性可得 ，运用待定系数法即可求得菱形的
边所在直线的解析式．
【解答】解：（1）设反比例函数 ，把 代入，得： ，
解得： ，
，
由 ，解得： ， ，
，
由图象可知：当 时， 或 ；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点 的坐标．
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
第16页（共27页），
，
是等腰直角三角形，
， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
菱形 的周长为 ，
，
在 中， ，
，
，
由菱形的对称性可得： ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
所在直线的解析式为 ；
同理可得 所在直线的解析式为 ， 所在直线的解析式为 ， 所在
直线的解析式为 ．
第17页（共27页）22．（7分）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小
学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学
为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此
次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
【分析】（1）根据平均每周劳动时间不少于3小时的学生人数计算即可；
（2）计算出木工所占的比例然后估算即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1） ，
本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为 ；
（2） （人 ，
若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的有320人；
第18页（共27页）（3）（答案不唯一，合理即可）
如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳
动课的课时等．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手
取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某
地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图 ，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终
点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道 米，弧形跳台的跨度 米，
顶端 到 的距离为40米， ， ， ， ．求此大
跳台最高点 距地面 的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
， ， ，
【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，分别在
中， 和 中，解直角三角形即可得出结论．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ．
根据题意可知， ， （米 ，
，
，
第19页（共27页）在 中， ， ，
（米 ，
在 和 中，设 米，则 米，
，
，
，解得 （米 ，
（米 ，
（米 ．
此大跳台最高点 距地面 的距离是70米．
24．（8分）如图，已知 是 的直径， 于 ， 是 上的一点， 交
于 ， ，连接 交 于 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 ， 的长．
【 分 析 】（ 1 ） 连 接 ， 证 明 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到
，根据切线的判定定理得到 是 的切线；
（2）过点 作 于 ，根据勾股定理求出 ，根据矩形的性质、勾股定理求出 ，
再根据相似三角形的性质求出 ．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
第20页（共27页），
，
，
为 的半径，
是 的切线；
（2）解：过点 作 于 ，
，
，
则四边形 为矩形，
， ，
， ，
，
，
、 是 的切线
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，即 ，
，
，即 ，
解得： ．
第21页（共27页）七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，已知抛物线过点 ， ，且它的对称轴为 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，当 的面积为15时，求 的
坐标；
（3）在（2）的条件下， 是抛物线上的动点，当 的值最大时，求 的坐标以及
的最大值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 ， ，运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，设直线 与抛物线
对称轴交于点 ，则 ， ，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
（3）运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，当 的值最大时， 、 、
在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点 的坐标，利用两点间距离公式可求得 ，
即 的最大值．
【解答】解：（1） 抛物线过点 ， ，且它的对称轴为 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，把 代入，得 ，
解得： ，
，
第22页（共27页）故此抛物线的解析式为 ；
（2） 点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，
设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设直线 与抛物线对称轴交于点 ，则 ，
，
，
，
解得： ，
点 的坐标为 ；
（3）设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 的值最大时， 、 、 在同一条直线上，
是抛物线上的动点，
，
解得： ， （舍去），
，
此时， ．
第23页（共27页）26．（10分）在四边形 中， 的平分线 交 于 ，延长 到 使 ，
是 的中点， 交 于 ，连接 ．
（1）当四边形 是矩形时，如图1，求证：① ；② ．
（2）当四边形 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
【分析】（1）连接 ，过点 作 于点 ．证明 ，可得 ，
，再证明 ，推出 ，可得结论；
（2）过点 作 于点 ，连接 ．证明 ，推出 ，
第24页（共27页），再证明 ，推出 ，可得结论．
【解答】（1）证明：连接 ，过点 作 于点 ．
四边形 是矩形，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第25页（共27页）， ，
；
（2）解：过点 作 于点 ，连接 ．
四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
第26页（共27页），
，
， ，
．
第27页（共27页）
