文档内容
2022年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一
项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）如图，点 、 表示的实数互为相反数，则点 表示的实数是
A．2 B． C． D．
2．（3分）下列整式与 为同类项的是
A． B． C． D．
3．（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计
创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，
冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
玩具数量（件 35 47 50 48 42 60 68
则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是
A．48，47 B．50，47 C．50，48 D．48，50
4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是
A． B．
C． D．
5．（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办
了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子
共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设
有 张桌子，有 条凳子，根据题意所列方程组正确的是
第1页（共32页）A． B．
C． D．
6．（3分）在 中（如图），连接 ，已知 ， ，则
A． B． C． D．
7．（3分）在 中（如图），点 、 分别为 、 的中点，则
A． B． C． D．
8．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正
方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积
与每个直角三角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则
A．2 B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代
第2页（共32页）号涂在答题卡相应的位置上）
9．（3分）若 ，则下列四个选项中一定成立的是
A． B． C． D．
10．（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学
为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一 班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如
图所示的频数分布直方图：（数据分成3组： ， ， ．则下列说法
正确的是
A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在 分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数占全班人数的
11．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
12．（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段 ，
分别以点 、 为圆心，以 长为半径画弧，两弧相交于点 、 ；②连接 、 ，作直
线 ，且 与 相交于点 ．则下列说法正确的是
第3页（共32页）A． 是等边三角形 B．
C． D．
三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）四个数 ，0， ， 中，为无理数的是 ．
14．（3分）请写出一个 随 增大而增大的一次函数表达式 ．
15．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨
后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数
法表示为 米．
16．（3分）如图，一束光沿 方向，先后经过平面镜 、 反射后，沿 方向射出，已知
， ，则 ．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将
解答过程写在答题卡相应位置上）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，
， ．将 绕原点 顺时针旋转 后得到△ ．
（1）请写出 、 、 三点的坐标：
第4页（共32页）， ， ；
（2）求点 旋转到点 的弧长．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
19．（6分）如图，在 中，直径 与弦 相交于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求 的半径．
20．（6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”
的主题比赛活动．八年级（一 班由 、 、 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的
同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若 、 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为 、 、 的3张卡片（如图，除编
第5页（共32页）号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由 随机摸取1张卡片记下编号，
然后放回，再由 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．
求 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写
出分析过程）．
21．（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．
某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设
计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中 ：伞柄 始终平分 ，
，当 时，伞完全打开，此时 ．请问最少需要准备多
长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：
22．（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，
继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，
开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八
年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
第6页（共32页）数据整理
本数
组别
频数 2 6 3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中， ；
（2）在扇形统计图中， 部分对应的圆心角的度数为 ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4
本以上的人数．
23．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里
利用围墙（墙长 和 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小
组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答
下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需
保证总种植面积为 ，试分别确定 、 的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 应设计为多长？此时最大
面积为多少？
第7页（共32页）24．（8分）已知 、 是平面直角坐标系中两点，连接 ．
（1）如图①，点 在线段 上，以点 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点 的反比例
函数表达式；
（2）如图②，点 是线段 上一点，连接 ，将 沿 翻折，使得点 与线段 上
的点 重合，求经过 、 两点的一次函数表达式．
25．（10分）在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 、 分别作 的垂
线，垂足分别为点 、 ．
（1）特例体验：如图①，若直线 ， ，分别求出线段 、 和 的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ，请探究线段 、 和
的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线 从图①状态开始绕点 顺时针旋转 ，与线段 相交
于点 ，请再探线段 、 和 的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段 交线段 于点 ，若 ， ，求 ．
第8页（共32页）26．（10分）已知抛物线 ．
（1）如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ，连接 ．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交
于点 ，是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
（2）如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，
以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交
点，求 的取值范围．
第9页（共32页）2022年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一
项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）如图，点 、 表示的实数互为相反数，则点 表示的实数是
A．2 B． C． D．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】解： 的相反数是2，
故选： ．
2．（3分）下列整式与 为同类项的是
A． B． C． D．
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．
【解答】解：在 ， ， ， 四个整式中，与 为同类项的是： ，
故选： ．
3．（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计
创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，
冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
玩具数量（件 35 47 50 48 42 60 68
则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是
A．48，47 B．50，47 C．50，48 D．48，50
【分析】根据中位数、平均数的意义分别求出中位数、平均数即可．
【 解 答 】 解 ： 这 个 星 期 该 玩 具 店 销 售 冰 墩 墩 玩 具 的 平 均 数
（件 ；
将这7天销售冰墩墩玩具数量从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第4个数是48，因
此中位数是48，
第10页（共32页）故选： ．
4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的特点解答即可．
【解答】解： 、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；
、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；
、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不符合题意；
故选： ．
5．（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办
了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子
共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设
有 张桌子，有 条凳子，根据题意所列方程组正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子
腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解： 组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个，
；
又 桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿，
．
第11页（共32页）列出的方程组为 ．
故选： ．
6．（3分）在 中（如图），连接 ，已知 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质可求得 ，即可求出 ．
【解答】解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
，
故选： ．
7．（3分）在 中（如图），点 、 分别为 、 的中点，则
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：在 中，点 、 分别为 、 的中点，
为 的中位线，
， ，
，
．
第12页（共32页）故选： ．
8．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正
方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积
与每个直角三角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则
A．2 B． C． D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两
条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即
可求得 的值．
【解答】解：由已知可得，
大正方形的面积为 ，
设直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，
则 ， ，
解得 ， 或 ， （不合题意，舍去），
，
故选： ．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代
号涂在答题卡相应的位置上）
9．（3分）若 ，则下列四个选项中一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可．
【解答】解： ． ，
，
，
第13页（共32页）故 选项符合题意；
． ，
，
，
故 选项不符合题意；
． ，
，
，
故 选项符合题意；
． ，
，
，
故 选项不符合题意；
故选： ．
10．（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学
为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一 班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如
图所示的频数分布直方图：（数据分成3组： ， ， ．则下列说法
正确的是
A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在 分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数占全班人数的
【分析】把三个组的频数加起来判断 选项；根据该班学生当天完成作业时长在 分
第14页（共32页）钟的人数为25人判断 选项；根据该班学生当天完成作业时长在 分钟的频数是10
判断 选项；根据该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数占全班人数
判断 选项．
【解答】解： 选项， （名 ，故该选项符合题意；
选项，该班学生当天完成作业时长在 分钟的人数最多，故该选项符合题意；
选项，该班学生当天完成作业时长在 分钟的频数是10，故该选项不符合题意；
选 项 ， 该 班 学 生 当 天 完 成 作 业 时 长 在 分 钟 的 人 数 占 全 班 人 数
，故该选项不符合题意；
故选： ．
11．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据实数指数幂的运算方法分别判断各个选项即可．
【解答】解： ． ，
，
故 选项不符合题意；
． ，计算正确，
故 选项符合题意；
． ，
，
故 选项不符合题意；
． ，计算正确，
故 选项符合题意；
故选： ．
12．（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段 ，
分别以点 、 为圆心，以 长为半径画弧，两弧相交于点 、 ；②连接 、 ，作直
线 ，且 与 相交于点 ．则下列说法正确的是
第15页（共32页）A． 是等边三角形 B．
C． D．
【分析】利用基本作图得到 垂直平分 ， ，则可对 选项、 选项和 选
项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对 选项进行判断．
【解答】解：由作法得 垂直平分 ， ，
为等边三角形， ， ，所以 、 、 选项符合题意；
．所以 选项不符合题意；
故选： ．
三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）四个数 ，0， ， 中，为无理数的是 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是分数，属于有理数，而无限不循环
小数是无理数．由此即可解答．
【解答】解：四个数 ，0， ， 中，为无理数的是 ．
故答案为： ．
14．（3分）请写出一个 随 增大而增大的一次函数表达式 （答案不唯一） ．
【分析】根据 随着 的增大而增大时，比例系数 即可确定一次函数的表达式．
【解答】解：在 中，若 ，则 随 增大而增大，
只需写出一个 的一次函数表达式即可，比如： ，
故答案为： （答案不唯一）．
第16页（共32页）15．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨
后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数
法表示为 米．
【分析】根据科学记数法的形式改写即可．
【解答】解：400000米用科学记数法表示为 米，
故答案为： ．
16．（3分）如图，一束光沿 方向，先后经过平面镜 、 反射后，沿 方向射出，已知
， ，则 ．
【分析】根据平面镜反射的规律得到 ， ，在 中，根
据三角形内角和定理求出 的度数，即可得到 的度数．
【解答】解： 一束光沿 方向，先后经过平面镜 、 反射后，沿 方向射出，
， ，
在 中， ，
．
故答案为： ．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将
解答过程写在答题卡相应位置上）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，
， ．将 绕原点 顺时针旋转 后得到△ ．
（1）请写出 、 、 三点的坐标：
， ， ；
（2）求点 旋转到点 的弧长．
第17页（共32页）【分析】（1）根据图直接得出各点的坐标即可；
（2）根据弧长公式直接求值即可．
【解答】解：（1）由图知， ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）由题意知，点 旋转到点 的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为 ，
弧长为： ．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当 时，
原式 ．
19．（6分）如图，在 中，直径 与弦 相交于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求 的半径．
第18页（共32页）【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；
（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到 的长，从而可以得到 的半径．
【解答】（1）证明： ， ，
；
（2）解： ， ，
，
是 的直径， ，
，
，
的半径为3．
20．（6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”
的主题比赛活动．八年级（一 班由 、 、 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的
同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若 、 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为 、 、 的3张卡片（如图，除编
号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由 随机摸取1张卡片记下编号，
然后放回，再由 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．
求 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写
出分析过程）．
第19页（共32页）【分析】（1）根据题意列出所有等可能的情况数即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事
的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是： 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、
； 、 、 ； 、 、 ；共6种等可能的情况数；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，
则 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是 ．
21．（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．
某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设
计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中 ：伞柄 始终平分 ，
，当 时，伞完全打开，此时 ．请问最少需要准备多
长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：
第20页（共32页）【分析】作 于点 ，根据三角函数求出 和 ，再利用等腰直角三角形的性质得
出 ，再根据比例关系求出 的长度即可．
【解答】解：作 于点 ，
， 平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
即 ，
解得 ，
最少需要准备 长的伞柄．
22．（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，
继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，
第21页（共32页）开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八
年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数
组别
频数 2 6 3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中， 9 ；
（2）在扇形统计图中， 部分对应的圆心角的度数为 ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4
本以上的人数．
【分析】（1）根据各组的频数之和等于总人数可得 的值；
（2）用 乘以样本中 组人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以样本中 、 组人数和占被调查人数的比例即可．
【解答】解：（1）由已知数据得 组的频数 ，
故答案为：9；
（2）在扇形统计图中， 部分对应的圆心角的度数为 ，
故答案为： ；
（3） （人 ，
第22页（共32页）答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．
23．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里
利用围墙（墙长 和 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小
组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答
下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需
保证总种植面积为 ，试分别确定 、 的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 应设计为多长？此时最大
面积为多少？
【分析】（1）设水池的长为 ，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求
解即可得出结论；
（2）设 长为 ，则 长度为 ，得出面积关于 的关系式，利用二次函数的性质
求最值即可．
【解答】解：（1） ，
Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为 ，
设水池的长为 ，则水池的面积为 ，
，
解得 ，
，
，
即 的长为 、 的长为 ；
（2）设 长为 ，则 长度为 ，
总种植面积为 ，
第23页（共32页），
当 时，总种植面积有最大值为 ，
即 应设计为 总种植面积最大，此时最大面积为 ．
24．（8分）已知 、 是平面直角坐标系中两点，连接 ．
（1）如图①，点 在线段 上，以点 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点 的反比例
函数表达式；
（2）如图②，点 是线段 上一点，连接 ，将 沿 翻折，使得点 与线段 上
的点 重合，求经过 、 两点的一次函数表达式．
【分析】（1）作 轴于 ， 轴于 ，可知矩形 是正方形，设 ，
利用 ，得 ，从而求出点 的坐标，利用待定系数法解决问题；
（2）利用翻折的性质得， ， ，由勾股定理得， ，再根据
，求出点 的坐标，利用待定系数法解决问题．
【解答】解：（1）作 轴于 ， 轴于 ，
第24页（共32页）则四边形 是矩形，
以点 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
，
矩形 是正方形，
设 ，
、 ，
， ，
，
，
，
，
，
解得 ，
， ，
设过点 的函数表达式为 ，
，
；
（2）方法一： 将 沿 翻折，使得点 与线段 上的点 重合，
， ，
由勾股定理得， ，
，
，
解得， ，
，
第25页（共32页）设直线 的函数解析式为 ，
则 ，
，
直线 的函数解析式为 ．
方法二：利用 ，求出 的长度，从而得出 的长度，
与方法一同理得出答案．
25．（10分）在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 、 分别作 的垂
线，垂足分别为点 、 ．
（1）特例体验：如图①，若直线 ， ，分别求出线段 、 和 的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ，请探究线段 、 和
的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线 从图①状态开始绕点 顺时针旋转 ，与线段 相交
于点 ，请再探线段 、 和 的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段 交线段 于点 ，若 ， ，求 ．
【分析】（1）易证 和 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可
得出 ， 和 的长即可．
（2）（Ⅰ）易证 ，由 即可得出 ，进而解答即可；
（Ⅱ）易证 ，由 即可得出 ，进而解答即可；
（3）根据题意可证明 ，由此可得出 的长，根据 ，可得出
第26页（共32页）结论．
【解答】解：（1）在 中， ， ，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
；
（2）（Ⅰ） ．理由如下：
在 中， ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
， ，
．
（Ⅱ） ．理由如下：
在 中， ，
，
，
，
在 和 中，
，
第27页（共32页）；
， ，
．
（3）由（2）可知， ，
，
，
，
， ，
，
．
．
．
26．（10分）已知抛物线 ．
（1）如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ，连接 ．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交
于点 ，是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
（2）如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，
以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交
点，求 的取值范围．
第28页（共32页）【分析】（1）（Ⅰ）将 ， 两点坐标代入抛物线的解析式求得 ， ．从而得出结果；
（Ⅱ）求出 的解析式，设出点 坐标，表示出 点坐标，从而表示出 和 的长，分
别列出 和 时的方程，从而求得 的值，进而求得 点坐标；
（2）分为 和 两种情形．当 时，抛物线对称轴在 轴左侧，此时求得抛物线与
轴交点，只需交点在点 的上方，就满足抛物线与线段 没有交点，进一步求得结果，当
时，类似的方法求得这种情形 的范围．
【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
，
；
（Ⅱ）存在点 ，使得点 是线段 的三等分点，理由如下：
， ，
直线 的解析式为： ，
设点 ， ，
， ，
当 时，
，
第29页（共32页）化简得，
，
， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
此时 （舍去），
当 时，
，
化简得，
，
（舍去）， ，
当 时， ，
， ，
综上所述： 或 ， ；
（2）如图1，
第30页（共32页）抛物线 过点 ，
，
，
，
把 ， 代入 得，
，
，
，
， ， ，
，
四边形 是菱形，
，
，
当 时，即 时，
当 时， ，
，
该抛物线与线段 没有交点，
，
，
当 时，
当 时， ，
，
抛物线与 没有交点，
，
，
第31页（共32页）综上所述： 或 ．
第32页（共32页）
