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2022年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．（3分）8的相反数是
A． B．8 C． D．
2．（3分）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
3．（3分）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别
为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是
A．105，108 B．105，105 C．108，105 D．108，108
5．（3分）如图，已知 ， 于点 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
6．（3分）下列命题是真命题的是
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
第1页（共25页）7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一
鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，
没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城
中人家的户数为
A．25 B．75 C．81 D．90
8．（3分）已知二次函数 为常数， ，点 ， 是该函数图象上
一点，当 时， ，则 的取值范围是
A． 或 B． C． 或 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）要使 有意义，则 的取值范围是 ．
10．（4分）2022年5月14日，编号为 的 大飞机首飞成功．数据显示， 大
飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为 ．
11．（4分）如图，在 中， ， 于点 ，若 ，则 ．
12．（4分）分式方程 的解为 ．
13．（4分）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取
值范围是 ．
14．（4分）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业
共分为四类： （节日文化篇）， （安全防疫篇）， （劳动实践篇）， （冬奥运动篇）．下面
是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则 类作业有 份．
第2页（共25页）15．（4分）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点 处
观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道 为东西方向，赛道起点 位于点 的北偏西
方向上，终点 位于点 的北偏东 方向上， 米，则点 到赛道 的距离约为
米（结果保留整数，参考数据： ．
16．（4分）如图，在 中， 为直径， ， 为弦，过点 的切线与 的延长线交
于点 ， 为线段 上一点（不与点 重合），且 ．
（1）若 ，则 的长为 （结果保留 ；
（2）若 ，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6分）计算： ．
18．（6分）已知 ，求代数式 的值．
第3页（共25页）19．（8分）如图，点 ， 分别在 的边 ， 上， ，连接 ， ．请从以
下三个条件：① ；② ；③ 中，选择一个合适的作为已知条件，使
为菱形．
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明 为菱形．
20．（8分）守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”
的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外
完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋
鹿”的概率为 ；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机
抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”
的概率．
21．（8分）如图，反比例函数 与正比例函数 的图象交于点
和点 ，点 是点 关于 轴的对称点，连接 ， ．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集．
第4页（共25页）22．（8分）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳
活动，需购买 ， 两种跳绳若干．若购买3根 种跳绳和1根 种跳绳共需140元；若购买
5根 种跳绳和3根 种跳绳共需300元．
（1）求 ， 两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买 ， 两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买 种
跳绳多少根？
23 ． （ 10 分 ） 如 图 ， 和 的 顶 点 重 合 ， ，
， ， ．
（1）特例发现：如图1，当点 ， 分别在 ， 上时，可以得出结论： ，直线
与直线 的位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，将图1中的 绕点 顺时针旋转，使点 恰好落在线段 上，连
接 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的 绕点 顺时针旋转 ，连接 、 ，
它们的延长线交于点 ，当 时，求 的值．
第5页（共25页）24．（10分）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和点
．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）如图2，作抛物线 ，使它与抛物线 关于原点 成中心对称，请直接写出抛物线 的
解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 相交
于 ， 两点（点 在点 的左侧）．
①求点 和点 的坐标；
②若点 ， 分别为抛物线 和抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 与点 ， 不重
合），试求四边形 面积的最大值．
第6页（共25页）2022年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．（3分）8的相反数是
A． B．8 C． D．
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：8的相反数是 ，
故选： ．
2．（3分）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
【解答】解： 选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选： ．
3．（3分）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项判断 选项；根据同底数幂的除法判断 选项；根据同底数幂的乘法
判断 选项；根据幂的乘方判断 选项．
【解答】解： 选项，原式 ，故该选项符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
第7页（共25页）选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
4．（3分）某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别
为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是
A．105，108 B．105，105 C．108，105 D．108，108
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，
这组数据出现次数最多的是105，
所以众数为105，
最中间的数据是105，
所以中位数是105，
故选： ．
5．（3分）如图，已知 ， 于点 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形的性质求出 ，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在 中， ， ，
则 ，
，
，
故选： ．
第8页（共25页）6．（3分）下列命题是真命题的是
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【分析】根据对顶角性质判断 ，根据平行四边形的性质判断 ，根据三角形的内心定义判断
，根据全等三角形的判定定理判断 ．
【解答】解： ．对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项 符合题意；
．菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角
线互相垂直是一个假命题，故选项 不符合题意；
．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角
形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项 不符合题意；
．三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项 不符合题意；
故选： ．
7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一
鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，
没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城
中人家的户数为
A．25 B．75 C．81 D．90
【分析】设城中有 户人家，利用鹿的数量 城中人均户数 城中人均户数，即可得出关于
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设城中有 户人家，
依题意得： ，
解得： ，
城中有75户人家．
故选： ．
8．（3分）已知二次函数 为常数， ，点 ， 是该函数图象上
一点，当 时， ，则 的取值范围是
第9页（共25页）A． 或 B． C． 或 D．
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与 轴的交点坐标，再分两种情况： 或 ，
根据二次函数的性质求得 的不同取值范围便可．
【解答】解： 二次函数 ，
对称轴为 ，抛物线与 轴的交点为 ，
点 ， 是该函数图象上一点，当 时， ，
①当 时，对称轴 ，
此时，当 时， ，即 ，
解得 ；
②当 时，对称轴 ，
当 时， 随 增大而减小，
则当 时， 恒成立；
综上， 的取值范围是： 或 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）要使 有意义，则 的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
10．（4分）2022年5月14日，编号为 的 大飞机首飞成功．数据显示， 大
飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为 ．
【分析】利用科学记数法的定义解决．
【解答】解： ．
故答案为： ．
11．（4分）如图，在 中， ， 于点 ，若 ，则 3 ．
第10页（共25页）【分析】根据等腰三角形的性质可知 是 的中点，即可求出 的长．
【解答】解： ， ，
，
，
，
故答案为：3．
12．（4分）分式方程 的解为 2 ．
【分析】去分母，移项、合并同类项，再求所求的根进行检验即可求解．
【解答】解： ，
，
，
经检验 是方程的解，
故答案为：2．
13．（4分）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取
值范围是 ．
【分析】根据判别式的意义得到△ ，然后解不等式求出 的取值即可．
【解答】解：根据题意得△ ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
14．（4分）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业
共分为四类： （节日文化篇）， （安全防疫篇）， （劳动实践篇）， （冬奥运动篇）．下面
是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则 类作业有 2 0 份．
第11页（共25页）【分析】由条形统计图可得 ， ， 类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得
类作业份数占总份数的 ，可得总份数为100份，减去 ， ， 类作业的份数即可求解．
【解答】解： 类作业有30份，且 类作业份数占总份数的 ，
总份数为： （份 ，
， 类作业分别有25份，25份，
类作业的份数为： （份 ，
故答案为：20．
15．（4分）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点 处
观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道 为东西方向，赛道起点 位于点 的北偏西
方向上，终点 位于点 的北偏东 方向上， 米，则点 到赛道 的距离约为
87 米（结果保留整数，参考数据： ．
【分析】过点 作 ，垂足为 ，设 米，然后分别在 和 中，利
用锐角三角函数的定义求出 ， 的长，再根据 米，列出关于 的方程，进行计
算即可解答．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，
设 米，
在 中， ，
第12页（共25页）（米 ，
在 中， ，
（米 ，
米，
，
，
，
米，
点 到赛道 的距离约为87米，
故答案为：87．
16．（4分）如图，在 中， 为直径， ， 为弦，过点 的切线与 的延长线交
于点 ， 为线段 上一点（不与点 重合），且 ．
（1）若 ，则 的长为 （结果保留 ；
（2）若 ，则 ．
【分析】（1）利用弧长公式求解；
（2）解直角三角形求出 ， ， ，再利用相似三角形的性质求出 ， ，可得结论．
【解答】解：（1） ，
第13页（共25页）的长 ，
故答案为： ．
（2）连接 ．
是切线， 是直径，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
第14页（共25页），
．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6分）计算： ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
18．（6分）已知 ，求代数式 的值．
【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
【解答】解：
，
，
，
原式 ．
19．（8分）如图，点 ， 分别在 的边 ， 上， ，连接 ， ．请从以
下三个条件：① ；② ；③ 中，选择一个合适的作为已知条件，使
为菱形．
（1）你添加的条件是 ① 或 ③ （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明 为菱形．
第15页（共25页）【分析】（1）添加合适的条件即可；
（2）添加①，证 ，得 ，再由菱形的判定即可得出结论；添加③，
证 ，得 ，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）解：添加的条件是 或 ，
故答案为：①或③；
（2）证明：添加①， 四边形 是平行四边形，
，
在 和 中，
，
，
，
为菱形；
添加③， 四边形 是平行四边形，
，
在 和 中，
，
，
，
为菱形．
20．（8分）守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”
的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外
第16页（共25页）完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋
鹿”的概率为 ；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机
抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”
的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符
合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为 ，
故答案为： ；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：
① ② ③
① ②，① ③，①
② ①，② ③，②
③ ①，③ ②，③
由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2
种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为 ．
21．（8分）如图，反比例函数 与正比例函数 的图象交于点
和点 ，点 是点 关于 轴的对称点，连接 ， ．
第17页（共25页）（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集．
【分析】（1）把点 代入 可得 的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得 、 的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
（3）根据图象得出不等式 的解集即可．
【解答】解：（1）把点 代入 得： ，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2） 反比例函数 与正比例函数 的图象交于点 和点 ，
，
点 是点 关于 轴的对称点，
，
，
．
（3）根据图象得：不等式 的解集为 或 ．
第18页（共25页）22．（8分）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳
活动，需购买 ， 两种跳绳若干．若购买3根 种跳绳和1根 种跳绳共需140元；若购买
5根 种跳绳和3根 种跳绳共需300元．
（1）求 ， 两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买 ， 两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买 种
跳绳多少根？
【分析】（1）设 种跳绳的单价为 元， 种跳绳的单价为 元．由题意：若购买3根 种跳
绳和1根 种跳绳共需140元；若购买5根 种跳绳和3根 种跳绳共需300元．列出二元
一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买 种跳绳 根，则购买 种跳绳 根，由题意：总费用不超过1780元，列出
一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设 种跳绳的单价为 元， 种跳绳的单价为 元．
根据题意得： ，
解得： ，
答： 种跳绳的单价为30元， 种跳绳的单价为50元．
（2）设购买 种跳绳 根，则购买 种跳绳 根，
由题意得： ，
解得： ，
答：至多可以购买 种跳绳20根．
23 ． （ 10 分 ） 如 图 ， 和 的 顶 点 重 合 ， ，
， ， ．
（1）特例发现：如图1，当点 ， 分别在 ， 上时，可以得出结论： ，直线
与直线 的位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，将图1中的 绕点 顺时针旋转，使点 恰好落在线段 上，连
接 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的 绕点 顺时针旋转 ，连接 、 ，
它们的延长线交于点 ，当 时，求 的值．
第19页（共25页）【分析】（1）解直角三角形求出 ， ，可得结论；
（2）结论不变，证明 ，推出 ， ，可得结论；
（3）如图3中，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，过点 作 于点 ．
求出 ， ，可得结论．
【解答】解：（1）在 中， ， ， ，
，
在 中， ， ，
，
， ，
，此时 ，
故答案为： ，垂直；
（2）结论成立．
理由： ，
，
， ，
，
第20页（共25页），
， ，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3中，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，过点 作 于点 ．
， ，
，
．
，
， ，
当 时，四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ， ，
，
第21页（共25页），
，
，
，
，
，
，
．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和点
．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）如图2，作抛物线 ，使它与抛物线 关于原点 成中心对称，请直接写出抛物线 的
解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 相交
于 ， 两点（点 在点 的左侧）．
①求点 和点 的坐标；
②若点 ， 分别为抛物线 和抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 与点 ， 不重
合），试求四边形 面积的最大值．
第22页（共25页）【分析】（1）将点 和点 代入 ，即可求解；
（2）利用对称性求出函数 顶点 关于原点的对称点为 ，即可求函数 的解析式；
（3）①通过联立方程组 ，求出 点和 点坐标即可；
②求出直线 的解析式，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，
设 ， ，则 ， ，可求 ，
，由 ，分别求出 的最大值4， 的
最大值4，即可求解．
【解答】解：（1）将点 和点 代入 ，
，
解得 ，
；
（2） ，
抛物线的顶点 ，
顶点 关于原点的对称点为 ，
第23页（共25页）抛物线 的解析式为 ，
；
（3）由题意可得，抛物线 的解析式为 ，
①联立方程组 ，
解得 或 ，
或 ；
②设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，
设 ， ，
则 ， ，
，
，
， ，
当 时， 有最大值4，
当 时， 有最大值4，
，
当 最大时，四边形 面积的最大值为16．
第24页（共25页）第25页（共25页）
