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2022年湖南省株洲市中考数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）
1．（4分） 的绝对值等于
A．2 B． C． D．
2．（4分）在0、 、 、 这四个数中，最小的数是
A．0 B． C． D．
3．（4分）不等式 的解集是
A． B． C． D．
4．（4分）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：
67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为
A．63 B．65 C．66 D．69
5．（4分）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
6．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴的交点的坐标为
A． B． ， C． ， D．
7．（4分）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去 可以得到
A． B． C． D．
8．（4分）如图所示，等边 的顶点 在 上，边 、 与 分别交于点 、 ，点
是劣弧 上一点，且与 、 不重合，连接 、 ，则 的度数为
第1页（共24页）A． B． C． D．
9．（4分）如图所示，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ，下列结论不一定正确的是
A． B． 是直角三角形
C． D．
10．（4分）已知二次函数 ，其中 、 ，则该函数的图象可能为
A． B．
C． D．
二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算： ．
12．（4分）因式分解： ．
第2页（共24页）13．（4分）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2
件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是 ．（用最简分数表示）
14．（4分） 市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：
人员 领队 心理医生 专业医生 专业护士
占总人数的百分 ★
此
则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为 ．
15．（4分）如图所示，点 在一块直角三角板 上（其中 ， 于点 ，
于点 ，若 ，则 度．
16．（4分）如图所示，矩形 顶点 、 在 轴上，顶点 在第一象限， 轴为该矩形的
一条对称轴，且矩形 的面积为6．若反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
．
17．（4分）如图所示，已知 ，正五边形 的顶点 、 在射线 上，顶点
在射线 上，则 度．
18．（4分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角
池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形
的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．
第3页（共24页）问题：此图中，正方形一条对角线 与 相交于点 、 （点 在点 的右上方），若
的长度为10丈， 的半径为2丈，则 的长度为 丈．
三．解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）计算： ．
20．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（8分）如图所示，点 在四边形 的边 上，连接 ，并延长 交 的延长线
于点 ，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：四边形 为平行四边形．
22．（10分）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点 处沿线段 至山谷点
处，再从点 处沿线段 至山坡②的山顶点 处．如图（Ⅱ）所示，将直线 视为水平面，
山坡①的坡角 ，其高度 为0.6千米，山坡②的坡度 ， 于 ，且
千米．
（1）求 的度数；
（ 2 ） 求 在 此 过 程 中 该 登 山 运 动 爱 好 者 走 过 的 路 程 ．
第4页（共24页）23．（10分）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生
代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
专业评委 给分（单位：分）
① 88
② 87
③ 94
④ 91
⑤ 90
（专业评委给分统计表）
记“专业评委给分”的平均数为 ．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问 的值是多少？
（3）记“民主测评得分”为 ，“综合得分”为 ，若规定：
① “赞成”的票数 分 “不赞成”的票数 分；
② ．
求该作品的“综合得分” 的值．
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系 中，点 、 分别在函数 、
的图象上，点 在第二象限内， 轴于点 ， 轴于点 ，连
第5页（共24页）接 、 ，已知点 的纵坐标为 ．
（1）求点 的横坐标；
（2）记四边形 的面积为 ，若点 的横坐标为2，试用含 的代数式表示 ．
25．（13分）如图所示， 的顶点 ， 在 上，顶点 在 外，边 与 相交于
点 ， ，连接 、 ，已知 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若线段 与线段 相交于点 ，连接 ．
①求证： ；
②若 ，求 的半径的长度．
26．（13分）已知二次函数 ．
（1）若 ， ，且该二次函数的图象过点 ，求 的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系 中，该二次函数的图象与 轴相交于不同的两点 ，
、 ， ，其中 、 ，且该二次函数的图象的顶点在矩形 的边
上，其对称轴与 轴、 分别交于点 、 ， 与 轴相交于点 ，且满足 ．
①求关于 的一元二次方程 的根的判别式的值；
②若 ，令 ，求 的最小值．
第6页（共24页）阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦 韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关
系，可表述为“当判别式△ 时，关于 的一元二次方程 的两个根 、
有如下关系： ， ”．此关系通常被称为“韦达定理”．
第7页（共24页）2022年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）
1．（4分） 的绝对值等于
A．2 B． C． D．
【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当 是正有理数时， 的绝对值是它本身 ；
②当 是负有理数时， 的绝对值是它的相反数 ；③当 是零时， 的绝对值是零．据此解
答即可．
【解答】解： 的绝对值等于： ．
故选： ．
2．（4分）在0、 、 、 这四个数中，最小的数是
A．0 B． C． D．
【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．
【解答】解： ，
最小的数是 ，
故选： ．
3．（4分）不等式 的解集是
A． B． C． D．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数
化为1解不等式即可．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
4．（4分）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：
第8页（共24页）67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为
A．63 B．65 C．66 D．69
【分析】根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则
处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的
平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
【解答】解：将这组数据由小到大排列为：55，63，65，67，69，
这组数据的中位数是65，
故选： ．
5．（4分）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】 ．应用同底数幂乘法法则进行求解即可得出答案；
．应用幂的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
．应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
．应用同底数幂除法运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解： ．因为 ，所以 选项运算正确，故 选项符合题意；
．因为 ，所以 选项运算不正确，故 选项不符合题意；
．因为 ，所以 选项运算不正确，故 选项不符合题意；
．因为 ，所以 选项运算不正确，故 选项不符合题意．
故选： ．
6．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴的交点的坐标为
A． B． ， C． ， D．
【分析】一次函数的图象与 轴的交点的横坐标是0，当 时， ，从而得出答案．
【解答】解： 当 时， ，
一次函数 的图象与 轴的交点的坐标为 ，
故选： ．
第9页（共24页）7．（4分）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去 可以得到
A． B． C． D．
【分析】将①式代入②式，得 ，去括号即可．
【解答】解： ，将①式代入②式，
得 ，
，
故选： ．
8．（4分）如图所示，等边 的顶点 在 上，边 、 与 分别交于点 、 ，点
是劣弧 上一点，且与 、 不重合，连接 、 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边 的每一个内角是 ，求出 ．
【解答】解：四边形 是 内接四边形，
，
等边 的顶点 在 上，
，
，
故选： ．
9．（4分）如图所示，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ，下列结论不一定正确的是
第10页（共24页）A． B． 是直角三角形
C． D．
【分析】由菱形的性质可得 ， ，通过证明 ，可得
， ， ，由直角三角形的性质可得 ，即可
求解．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
， ，
是直角三角形， ， ，
，
故选： ．
10．（4分）已知二次函数 ，其中 、 ，则该函数的图象可能为
A． B．
第11页（共24页）C． D．
【分析】根据 ，可知 ，可排除 ， 选项，当 时，可知对称轴 ，可排除 选
项，当 时，可知对称轴 ，可知 选项符合题意．
【解答】解： ，
，
故 ， 选项不符合题意；
当 时，
，
对称轴 ，
故 选项不符合题意；
当 时， ，
对称轴 ，
故 选项符合题意，
故选： ．
二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算： 1 ．
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解： ．
故答案为：1
12．（4分）因式分解： ．
【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
13．（4分）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2
件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是 ．（用最简分数表
第12页（共24页）示）
【分析】根据能中奖的结果数 所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解： 所有可能出现的结果数为6，其中能中奖出现的结果为2，每种结果出现的可能
性相同，
（能中奖） ．
故答案为： ．
14．（4分） 市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：
人员 领队 心理医生 专业医生 专业护士
占总人数的百分 ★
此
则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为 ．
【分析】根据各种人员占总人数的百分比之和为1计算即可得出答案．
【解答】解： ，
故答案为： ．
15．（4分）如图所示，点 在一块直角三角板 上（其中 ， 于点 ，
于点 ，若 ，则 1 5 度．
【分析】方法一：根据 ， ，可知 ，从而可证
，根据全等三角形的性质可得 ，即可求出 的
度数．
方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．
【解答】解：方法一： ， ，
，
在 和 中，
，
，
第13页（共24页），
，
．
方法二： ， ，
又 ，
平分 ，
，
，
．
故答案为：15．
16．（4分）如图所示，矩形 顶点 、 在 轴上，顶点 在第一象限， 轴为该矩形的
一条对称轴，且矩形 的面积为6．若反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
3 ．
【分析】设 交 轴于 ，根据 轴为矩形 的一条对称轴，且矩形 的面积为6，
可得四边形 是矩形，且矩形 面积是3，设 ，则 ，即可得 ．
【解答】解：设 交 轴于 ，如图：
轴为矩形 的一条对称轴，且矩形 的面积为6，
四边形 是矩形，且矩形 面积是3，
设 ，则 ， ，
矩形 面积是3，
，
第14页（共24页）在反比例函数 的图象上，
，即 ，
，
故答案为：3．
17．（4分）如图所示，已知 ，正五边形 的顶点 、 在射线 上，顶点
在射线 上，则 4 8 度．
【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解： 五边形 是正五边形，
，
是 的外角，
，
故答案为：48．
18．（4分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角
池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形
的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线 与 相交于点 、 （点 在点 的右上方），若
的长度为10丈， 的半径为2丈，则 的长度为 丈．
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，根据正方形的性质得到 ，求
第15页（共24页）出 ，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：如图，设正方形的一边与 的切点为 ，连接 ，
则 ，
四边形是正方形， 是对角线，
，
（丈 ，
丈，
故答案为： ．
三．解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）计算： ．
【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式
．
20．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把 代入计算即可得出答案．
【解答】解：原式
；
把 代入 中，
第16页（共24页）原式 ．
21．（8分）如图所示，点 在四边形 的边 上，连接 ，并延长 交 的延长线
于点 ，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：四边形 为平行四边形．
【分析】（1）利用 定理证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，得到 ，根据两组对边分别平行的
四边形是平行四边形证明结论．
【解答】证明：（1）在 和 中，
，
；
（2） ，
，
，
，
四边形 为平行四边形．
22．（10分）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点 处沿线段 至山谷点
处，再从点 处沿线段 至山坡②的山顶点 处．如图（Ⅱ）所示，将直线 视为水平面，
山坡①的坡角 ，其高度 为0.6千米，山坡②的坡度 ， 于 ，且
千米．
（1）求 的度数；
（ 2 ） 求 在 此 过 程 中 该 登 山 运 动 爱 好 者 走 过 的 路 程 ．
第17页（共24页）【分析】（1）根据坡度的概念求出 ，根据平角的概念计算即可；
（2）根据含 角的直角三角形的性质求出 ，根据余弦的定义求出 ，进而得到答案．
【解答】解：（1） 山坡②的坡度 ，
，
，
；
（2）在 中， ， ， 千米，
千米，
在 中， ， ， 千米，
则 （千米），
该登山运动爱好者走过的路程为： （千米），
答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．
23．（10分）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生
代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
专业评委 给分（单位：分）
① 88
② 87
③ 94
④ 91
⑤ 90
（专业评委给分统计表）
记“专业评委给分”的平均数为 ．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问 的值是多少？
第18页（共24页）（3）记“民主测评得分”为 ，“综合得分”为 ，若规定：
① “赞成”的票数 分 “不赞成”的票数 分；
② ．
求该作品的“综合得分” 的值．
【分析】（1）“不赞成”的票数 总票数 赞成的票；
（2）平均数 总分数 总人数；
（3）根据 “赞成”的票数 分 “不赞成”的票数 分； 求出该作
品的“综合得分” 的值．
【解答】解：（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数： （张 ，
答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；
（2） （分 ；
答： 的值是90分；
（3）① （分 ；
②
（分 ．
答：该作品的“综合得分” 的值为96分．
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系 中，点 、 分别在函数 、
的图象上，点 在第二象限内， 轴于点 ， 轴于点 ，连
接 、 ，已知点 的纵坐标为 ．
（1）求点 的横坐标；
（2）记四边形 的面积为 ，若点 的横坐标为2，试用含 的代数式表示 ．
第19页（共24页）【分析】（1）把 代入 即可求得；
（2）求得 ，即可得到 ， ，然后根据
即可得到结论．
【解答】解：（1） 点 在函数 的图象上，点 的纵坐标为 ，
，解得 ，
点 的横坐标为 ；
（2） 点 在函数 的图象上，点 的横坐标为2，
，
， ，
，
， ，
， ，
．
25．（13分）如图所示， 的顶点 ， 在 上，顶点 在 外，边 与 相交于
点 ， ，连接 、 ，已知 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若线段 与线段 相交于点 ，连接 ．
①求证： ；
第20页（共24页）②若 ，求 的半径的长度．
【分析】（1）由 ，得 ，又 ，可得 ，即得直线 是
的切线；
（2）①由 ， ，可得 ，即知 ；
② 由 ， 得 ， 又 ， 可 得 ， 从 而
，即 的半径的长度是 ．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
又 是 的半径，
直线 是 的切线；
（2）①证明：由（1）知 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
②解：由①知： ，
，
，
，
，
第21页（共24页），
是等腰直角三角形，
，
的半径的长度是 ．
26．（13分）已知二次函数 ．
（1）若 ， ，且该二次函数的图象过点 ，求 的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系 中，该二次函数的图象与 轴相交于不同的两点 ，
、 ， ，其中 、 ，且该二次函数的图象的顶点在矩形 的边
上，其对称轴与 轴、 分别交于点 、 ， 与 轴相交于点 ，且满足 ．
①求关于 的一元二次方程 的根的判别式的值；
②若 ，令 ，求 的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦 韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关
系，可表述为“当判别式△ 时，关于 的一元二次方程 的两个根 、
有如下关系： ， ”．此关系通常被称为“韦达定理”．
【分析】（1）把 ， 代入 ，从而求得结果；
第22页（共24页）（2）①根据题意，表示出 和 ，根据 ，得出 ，
从而求得结果；
（3）根据 ，从而得出 ，从而求得 的值，进而得出 ， 的关系式，将其代
入 ，进一步求得结果．
【解答】解：（1）当 ， 时， ，
把 ， 代入得，
，
；
（2）①方法（一 由 得，
， ，
，
抛物线的顶点坐标为： ， ，
， ，
，
，
，
；
（方法二）由 得，
， ，
第23页（共24页），
下面过程相同；
② ，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，
即 时， ．
第24页（共24页）
