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2022年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的）
1．2022的倒数是
A．2022 B． C． D．
2．如图，直线 ，直线 与 ， 相交，若图中 ，则 为
A． B． C． D．
3．小明同学连续5次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数
和平均数分别为
A．97和99 B．97和100 C．99和100 D．97和101
4．如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是
A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
5．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．
驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马
每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马 天可以追上慢马，则
可列方程为
A． B．
C． D．
6．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇
航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为 ，则中国空间
站绕地球运行 走过的路程 用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
7．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体
育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中 表示时间， 表示
张强离家的距离，则下列结论不正确的是
A．张强从家到体育场用了
B．体育场离文具店
C．张强在文具店停留了
D．张强从文具店回家用了
8．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板 中， 为对角线， ，
分别为 ， 的中点， 分别交 ， 于 ， 两点， ， 分别为 ，
第1页（共23页）的中点，连接 ， ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图
形，下列说法正确的有
①图中的三角形都是等腰直角三角形；
②四边形 是菱形；
③四边形 的面积占正方形 面积的 ．
A．只有① B．①② C．①③ D．②③
9．如图，已知点 ， ， 在同一直线的水平地面上，在点 处测得建筑物 的顶端 的仰
角为 ，在点 处测得建筑物 的顶端 的仰角为 ，若 ，则建筑物 的高度为
A． B．
C． D．
10．如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．
则下列结论正确的有
① ；② ；③函数 的最大值为 ；
④若关于 的方程 无实数根，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应
题号处的横线上）
11．计算： ．
12．如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为 ．
第2页（共23页）13．已知二元一次方程组 ，则 的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，与反比例函数
的图象在第一象限交于点 ，若 ，则 的值为 ．
15．已知 为正整数，若 是整数，则根据 可知 有
最小值 ．设 为正整数，若 是大于1的整数，则 的最小值为 ，最大值为
．
16．如图1，在矩形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ．如
图2，将 绕点 逆时针旋转角 ，使 ，连接 并延长交 于点
．则 的度数为 ， 的长为 ．
三、解答题（本大超共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）解分式方程： ．
18．（7分）已知关于 的一元二次方程 有两个不等实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
19．（8分）如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且四边形 为
正方形．
（1）求证： ；
（2）已知平行四边形 的面积为20， ，求 的长．
第3页（共23页）20．（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育
社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你
最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所
示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 人；
（2）条形统计图中 的值为 ，扇形统计图中 的度数为 ；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，
请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
21．（9分）如图，已知 为 上一点，点 在直径 的延长线上， 与 相切，交
的延长线于点 ，且 ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，
①求 的半径；
②求 的长．
22．（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地
出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就
被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天
起，每天比前一天多供应 个 为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第 天
，且 为正整数）的供应量 （单位：个）和需求量 （单位：个）的部分数据如下表，
其中需求量 与 满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需
求量不包括前一天的预约数）
第 天 1 2 6 11 15
供应量 150
（个
需求量 220 229 245 220 164
（个
第4页（共23页）（1）直接写出 与 和 与 的函数关系式；（不要求写出 的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过
总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求 的值；（参考数据：前9天的总需求量
为2136个）
（3）在第（2）问 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天
的销售额．
23．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里
程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，
利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代
数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 的方法，
如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形 中， ， 为 的中点， 为边 上任意一
点（不与端点重合），过点 作 于点 ，作 于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ．记 与 的面积之和为 ， 与 的面积之和为 ．
①若 为边 的中点，则 的值为 ；
②若 不为边 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成
立，请说明理由．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于点
和点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，且 ， 为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接 ，当点 在直线 上方时，求四边形 面积的最大值，并求出此时
点的坐标；
第5页（共23页）（3）设 为抛物线对称轴上一动点，当 ， 运动时，在坐标轴上是否存在点 ，使四边形
为矩形？若存在，直接写出点 及其对应点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共23页）2022年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的）
1．2022的倒数是
A．2022 B． C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是 ．
故选： ．
2．如图，直线 ，直线 与 ， 相交，若图中 ，则 为
A． B． C． D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，便可求得结果．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
3．小明同学连续5次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数
和平均数分别为
A．97和99 B．97和100 C．99和100 D．97和101
【分析】观察这组数据发现97出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为97，将五个数据
相加求出之和，再除以5即可求出这组数据的平均数．
【解答】解： 这组数据中，97出现了2次，次数最多，
这组数据的众数为97，
这组数据的平均数 ．
故选： ．
4．如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是
A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为半圆；俯视图是一个圆．
故选： ．
5．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．
驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马
每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马 天可以追上慢马，则
可列方程为
A． B．
第7页（共23页）C． D．
【分析】设快马 天可以追上慢马，根据路程 速度 时间，即可得出关于 的一元一次方程，
此题得解．
【解答】解：设快马 天可以追上慢马，
依题意，得： ．
故选： ．
6．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇
航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为 ，则中国空间
站绕地球运行 走过的路程 用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
【分析】根据路程 速度 时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成
科学记数法的形式即可．
【解答】解：
（米 ，
故选： ．
7．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体
育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中 表示时间， 表示
张强离家的距离，则下列结论不正确的是
A．张强从家到体育场用了
B．体育场离文具店
C．张强在文具店停留了
D．张强从文具店回家用了
【分析】由函数图象分别得出选项的结论然后作出判断即可．
【解答】解：由图象知，
、张强从家到体育场用了 ，故 选项不符合题意；
、体育场离文具店 ，故 选项符合题意；
、张强在文具店停留了 ，故 选项不符合题意；
、张强从文具店回家用了 ，故 选项不符合题意；
故选： ．
8．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板 中， 为对角线， ，
分别为 ， 的中点， 分别交 ， 于 ， 两点， ， 分别为 ，
的中点，连接 ， ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图
形，下列说法正确的有
①图中的三角形都是等腰直角三角形；
②四边形 是菱形；
③四边形 的面积占正方形 面积的 ．
第8页（共23页）A．只有① B．①② C．①③ D．②③
【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；
②利用①的结论可以证明 解决问题；
③如图，过 作 于 ，设 ，利用正方形的性质与中位线的性质分别求
出 和 即可判定是否正确．
【解答】解：①如图， ， 分别为 ， 的中点，
为 的中位线，
，
，
，
四边形 为正方形，
、 、 、 在同一条直线上，
、 、 、 、 、 、 、 、 都是等腰直角三
角形，
， 分别为 ， 的中点，
， ，
、 也是等腰直角三角形．
故①正确；
②根据①得 ，
四边形 不可能是菱形．故②错误；
③ ， 分别为 ， 的中点，
， ，
四边形 是正方形，且设 ，
，
，
，
，
点 在 上，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
为 的中点，
，
为 的中点，
，
过 作 于 ，
，
第9页（共23页）四边形 的面积 ，
四边形 的面积占正方形 面积的 ．
、 是 ， 的中点，
，
四边形 的面积占正方形 面积的 ．
故③正确．
故选： ．
9．如图，已知点 ， ， 在同一直线的水平地面上，在点 处测得建筑物 的顶端 的仰
角为 ，在点 处测得建筑物 的顶端 的仰角为 ，若 ，则建筑物 的高度为
A． B．
C． D．
【 分 析 】 设 ， 在 中 ， ， 可 得 ， 则
，在 中， ，求解 即可．
【解答】解：设 ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
解得 ．
故选： ．
第10页（共23页）10．如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．
则下列结论正确的有
① ；
② ；
③函数 的最大值为 ；
④若关于 的方程 无实数根，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①错误．根据抛物线的位置一一判断即可；
②正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
③正确．设抛物线的解析式为 ，当 时， 的值最大，最大值为 ；
④正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式 ，解不等式即可．
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线交 轴于正半轴，
，
，
，
，故①错误．
抛物线的对称轴是直线 ，
，
，故②正确．
抛物线交 轴于点 ， ，
可以假设抛物线的解析式为 ，
当 时， 的值最大，最大值为 ，故③正确．
无实数根，
无实数根，
，△ ，
，
，
，故④正确，
故选： ．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应
题号处的横线上）
11．计算： 0 ．
【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可．
第11页（共23页）【解答】解： ．
故答案为：0．
12．如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为 ．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：由圆周角定理得： ，
，
，
故答案为： ．
13．已知二元一次方程组 ，则 的值为 1 ．
【分析】将第一个方程化为 ，并代入第二个方程中，可得 ，解得
，将 代入第一个方程中，可得 ，即可求解．
【解答】解：解法一：由 可得：
，
代入第二个方程中，可得：
，
解得： ，
将 代入第一个方程中，可得
，
解得： ，
，
故答案为：1；
解法二： ，
由② ①可得：
，
故答案为：1．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，与反比例函数
的图象在第一象限交于点 ，若 ，则 的值为 2 ．
【分析】过点 作 轴于点 ．求出点 的坐标，可得结论．
【解答】解：过点 作 轴于点 ．
第12页（共23页）直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
点 在 上，
，
故答案为：2．
15．已知 为正整数，若 是整数，则根据 可知 有
最小值 ．设 为正整数，若 是大于1的整数，则 的最小值为 3 ，最大值
为 ．
【分析】先将 化简为 ，可得 最小为3，由 是大于1的整数可得 越小，
越小，则 越大，当 时，即可求解．
【解答】解： ，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小， 越小，则 越大，
当 时，
，
，
故答案为：3；75．
16．如图1，在矩形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ．如
图2，将 绕点 逆时针旋转角 ，使 ，连接 并延长交 于点
．则 的度数为 ， 的长为 ．
第13页（共23页）【分析】如图，设 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ．证明
，推出 ，可得 ，解直角三角形求出 ，
， ，再利用平行线分线段成比例定理求出 ，再根据 ，可得
，求出 ．
【解答】解：如图，设 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第14页（共23页），
， ，
，
，
，
．
故答案为： ， ．
三、解答题（本大超共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）解分式方程： ．
【分析】把分式方程化为整式方程，解整式方程即可．
【解答】解： 左右两边同时乘以 得
，
，
．
检验：把 代入原方程得 ，等式成立，
所以 是原方程的解．
18．（7分）已知关于 的一元二次方程 有两个不等实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△ ，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，再利用 得到 ，然后解关于 的方
程，最后利用 的范围确定 的值．
【解答】解：（1）根据题意得△ ，
解得 ；
（2）根据题意得 ，
，
，
解得 ， ，
，
．
19．（8分）如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且四边形 为
正方形．
（1）求证： ；
（2）已知平行四边形 的面积为20， ，求 的长．
第15页（共23页）【分析】（1）根据正方形的性质可以得到 ，根据平行四边形的性质可以得到
，然后即可得到结论成立；
（2）根据平行四边形的面积，可以得到 的长，然后根据正方形的性质，可以得到 的长，
从而可以求得 的长，再根据（1）中的结论，即可得到 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 为正方形，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
即 ；
（2）解： 平行四边形 的面积为20， ，四边形 为正方形，
， ，
，
，
由（1）知： ，
．
20．（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育
社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你
最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所
示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 6 0 人；
（2）条形统计图中 的值为 ，扇形统计图中 的度数为 ；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，
请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【分析】（1）利用 即可求出参加问卷调查的学生人数．
（2）根据 ， 即可得出答案．
（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可．
（4）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式
可得出答案．
【解答】解：（1） （人 ，
参加问卷调查的学生共有60人．
故答案为：60．
第16页（共23页）（2） ，
，
故答案为：11； ．
（3） （人 ，
估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人．
故答案为：100．
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为 ．
21．（9分）如图，已知 为 上一点，点 在直径 的延长线上， 与 相切，交
的延长线于点 ，且 ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，
①求 的半径；
②求 的长．
【分析】（1）结论： 是 的切线；只要证明 即可；
（2）①根据 ，构建方程求解即可；
②证明 ，推出 ，设 ， ，利用勾股定理
求解即可．
【解答】解：（1）结论： 是 的切线；
理由：如图，连接 ．
， ，
， ，
是 的切线， 是半径，
，
，
，
，
，
是半径，
是 的切线；
第17页（共23页）（2）①设 ，
，
，
，
，
的半径为2；
②在 中， ，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ， ，
，
，
（负根已经舍去），
．
22．（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地
出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就
被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天
起，每天比前一天多供应 个 为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第 天
，且 为正整数）的供应量 （单位：个）和需求量 （单位：个）的部分数据如下表，
其中需求量 与 满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需
求量不包括前一天的预约数）
第 天 1 2 6 11 15
供应量 150
（个
需求量 220 229 245 220 164
（个
（1）直接写出 与 和 与 的函数关系式；（不要求写出 的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过
第18页（共23页）总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求 的值；（参考数据：前9天的总需求量
为2136个）
（3）在第（2）问 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天
的销售额．
【分析】（1）由已知直接可得 ，设 ，用待定系
数法可得 ；
（2）求出前9天的总供应量为 个，前10天的供应量为 个，根据前9
天的总需求量为 2136 个，前 10 天的总需求量为 （个 ，可得
，而 为正整数，即可解得 的值为20或21；
（3） 最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为 ，销售额为21000元，第12天
的销售量即需求量为 ，销售额为20900元．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
设 ，将 ， ， 代入得：
，
解得 ，
；
（2）前9天的总供应量为 个，
前10天的供应量为 个，
在 中，令 得 ，
前9天的总需求量为2136个，
前10天的总需求量为 （个 ，
前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
，
解得 ，
为正整数，
的值为20或21；
（3）由（2）知， 最小值为20，
第4天的销售量即供应量为 ，
第4天的销售额为 （元 ，
而第12天的销售量即需求量为 ，
第12天的销售额为 （元 ，
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
23．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里
程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，
利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代
数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
第19页（共23页）公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式 ① ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 的方法，
如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形 中， ， 为 的中点， 为边 上任意一
点（不与端点重合），过点 作 于点 ，作 于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ．记 与 的面积之和为 ， 与 的面积之和为 ．
①若 为边 的中点，则 的值为 ；
②若 不为边 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成
立，请说明理由．
【分析】（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式
③；
（ 2 ） 由 图 可 得 ， 即 可 得
，从而有 ，故 ；
（3）①设 ，可得 ，由 是 中点，即得 ，
， ，即得 ；
②设 ， ，可得 ， ， ，
， ，
，从而 ．
【解答】（1）解：观察图象可得：
第20页（共23页）图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）证明：
如图：
由图可知，矩形 和矩形 都是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①设 ，
由已知可得 、 、 、 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
，
是 中点，
，
， ，
，
，
；
故答案为：2；
② 不为边 的中点时①中的结论仍成立，证明如下：
设 ， ，
由已知可得 、 、 、 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
，
．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于点
和点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，且 ， 为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接 ，当点 在直线 上方时，求四边形 面积的最大值，并求出此时
点的坐标；
第21页（共23页）（3）设 为抛物线对称轴上一动点，当 ， 运动时，在坐标轴上是否存在点 ，使四边形
为矩形？若存在，直接写出点 及其对应点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）判断出 ， 两点坐标，可以假设抛物线的解析式为 ，把
代入抛物线的解析式，得 ，可得结论；
（2）如图（2）中，连接 ．设 ，构建二次函数，利用二次函数的性质求解
即可；
（3）分两种情形，点 在 轴上，点 在 轴上，分别求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线的对称轴是直线 ，抛物线交 轴于点 ， ，
，
，
，
可以假设抛物线的解析式为 ，
把 代入抛物线的解析式，得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）如图（2）中，连接 ．设 ，
，
，
第22页（共23页），
当 时， 的值最大，最大值为 ，此时 ， ；
（3）存在，理由如下：
如图 中，当点 在 轴上时，四边形 是矩形，此时 ， ；
如图 中，当四边形 是矩形时，设 ， ，则 ，
由题意， ，
解得，消去 得， ，
解得 ，
， ， ， 或 ， ， ， ．
综上所述，满足条件的点 ， 或 ， ， ， 或
， ， ， ．
第23页（共23页）
