文档内容
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分） 的绝对值是
A． B．2 C． D．
2．（3分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A． 可回收物 B． 其他垃圾
C． 有害垃圾 D． 厨余垃圾
4．（3分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，
我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为 的形式，则
的值是
A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339
第1页（共32页）5．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（3分）下列说法正确的是
A．“任意画一个三角形，其内角和为 ”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄
灯的概率是
7．（3分）如果二次根式 有意义，那么实数 的取值范围是
A． B． C． D．
8．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动
教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉
鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组
数据的众数和中位数分别是
A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，35
9．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
第2页（共32页）D．
10．（3分）下列命题为假命题的是
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下
部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，那
么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到 ．参考数据： ， ，
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在四边形 中， ， ， ， 平分 ．设
， ，则 关于 的函数关系用图象大致可以表示为
A． B．
第3页（共32页）C． D．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．（3分）因式分解： ．
14．（3分）计算： ．
15．（3分）计算： ．
16．（3分）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧
相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的
周长为 ．
17．（3分）如图，用一个半径为 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 ，假设绳索粗细
不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留
18．（3分）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳
第4页（共32页）雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组
为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， ， ，
．已知测角仪 的高度为 ，则大雁雕塑 的高度约为 ．（结果精
确到 ．参考数据：
三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）先化简，再求值．
，其中 ， ．
20．（6分）如图，在 中， ， 、 是 边上的点，且 ．求证：
．
21．（8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某
学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的
项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
第5页（共32页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形 的圆心角度数为 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是
多少；
（4）计划在 ， ， ， ， 五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图
的方法，求恰好选中 ， 这两项活动的概率．
22．（8分）冰墩墩 、雪容融 分别是2022年北京冬奥会、
冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种
玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩
偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可
获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5
倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多
少元？
第6页（共32页）23．（8分）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于 ，
两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线 交 轴于点 ，点 ， 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形
是平行四边形，求点 的坐标．
24．（8分）如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线 交 的延长线于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 相切吗？并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
25．（10分）如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的
部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 ．
（1）写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
第7页（共32页）（2）若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
（3） 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ，是
否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，在菱形 中， ， ，点 从点 出发，沿线段 以每
秒1个单位长度的速度向终点 运动，过点 作 于点 ，作 交直线
于点 ，交直线 于点 ，设 与菱形 重叠部分图形的面积为 （平方单位），
点 运动时间为 （秒 ．
（1）当点 与点 重合时，求 的值；
（2）当 为何值时， 与 全等；
（3）求 与 的函数关系式；
（4）以线段 为边，在 右侧作等边三角形 ，当 时，求点 运动路径的长．
第8页（共32页）2022年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分） 的绝对值是
A． B．2 C． D．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出 的绝对值．
【解答】解： ，
故选： ．
2．（3分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
【解答】解：从正面看，可得如下图形，
故选： ．
3．（3分）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
第9页（共32页）A． 可回收物 B． 其他垃圾
C． 有害垃圾 D． 厨余垃圾
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解： ．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选： ．
4．（3分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，
我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为 的形式，则
的值是
A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【解答】解：339000万 ，
，
故选： ．
5．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项判断 选项；根据同底数幂的乘法判断 选项；根据幂的乘方判断
选项；根据同底数幂的除法判断 选项．
【解答】解： 选项， 与 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
第10页（共32页）选项，原式 ，故该选项符合题意；
故选： ．
6．（3分）下列说法正确的是
A．“任意画一个三角形，其内角和为 ”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄
灯的概率是
【分析】根据三角形内角和定理判断 选项；根据普查与抽样调查判断 选项；根据抽样调查
的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断 选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相
等判断 选项．
【解答】解： 选项，三角形内角和为 ，故该选项符合题意；
选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；
选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；
选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；
故选： ．
7．（3分）如果二次根式 有意义，那么实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出 的取值范围．
【解答】解：由题意得： ，
，
故选： ．
8．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动
教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉
鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组
数据的众数和中位数分别是
A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，35
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到
小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果
第11页（共32页）这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，
众数为42，中位数为39，
故选： ．
9．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．
【解答】解： ，
解①得 ，
解②得 ．
则表示为：
故选： ．
10．（3分）下列命题为假命题的是
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
第12页（共32页）C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故 是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故 是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故 是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故 是真命题，不符合题意；
故选： ．
11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下
部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，那
么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到 ．参考数据： ， ，
A． B． C． D．
【分析】设下部高为 ，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与
全部的高度比列方程可解得答案．
【解答】解：设下部的高度为 ，则上部高度是 ，
雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
，
解得 或 （舍去），
经检验， 是原方程的解，
，
第13页（共32页）故选： ．
12．（3分）如图，在四边形 中， ， ， ， 平分 ．设
， ，则 关于 的函数关系用图象大致可以表示为
A． B．
C． D．
【分析】先证明 ，过 点作 于点 ，证明 ，利用相似三
角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
【解答】解：过 点作 于点 ．
，
，
平分 ，
，
，则 ，即 为等腰三角形，
则 垂直平分 ，
， ，
第14页（共32页）， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
故选： ．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．（3分）因式分解： ．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解： ，
故答案为： ．
14．（3分）计算： 4 ．
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
【解答】解：原式 ．
故答案为：4
15．（3分）计算： 2 ．
【分析】根据同分母分式的加法计算即可．
【解答】解：
，
第15页（共32页）故答案为：2．
16．（3分）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧
相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的
周长为 2 3 ．
【分析】根据作图过程可得 是线段 的垂直平分线，得 ，进而可得 的周
长．
【解答】解：根据作图过程可知：
是线段 的垂直平分线，
，
的周长为： ．
故答案为：23．
17．（3分）如图，用一个半径为 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 ，假设绳索粗细
不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为 ，圆心角为 的弧长即可．
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为 ，圆心角为 所对应的弧长，
即 ，
故答案为： ．
第16页（共32页）18．（3分）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳
雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组
为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， ， ，
．已知测角仪 的高度为 ，则大雁雕塑 的高度约为 10. 2 ．（结
果精确到 ．参考数据：
【分析】首先证明 ，在 中，根据三角函数定义求出 即可解决问题．
【解答】解： ， ，
，
，
，
中， ，
，
，
．
答：大雁雕塑 的高度约为 ．
故答案为：10.2．
三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）先化简，再求值．
，其中 ， ．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把 ， 代入计算
第17页（共32页）即可．
【解答】解：
，
将 ， 代入上式得：
原式
．
20．（6分）如图，在 中， ， 、 是 边上的点，且 ．求证：
．
【分析】由“ ”可证 ，可得 ．
【解答】证明： ，
，
在 和 中，
，
，
．
21．（8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某
学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的
项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
第18页（共32页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 12 0 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人
数）；
（2）图②中扇形 的圆心角度数为 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是
多少；
（4）计划在 ， ， ， ， 五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图
的方法，求恰好选中 ， 这两项活动的概率．
【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“ ．七巧板”的有36人，占调查人数的 ，
根据频率 即可求出答案，进而补全条形统计图；
（2）求出扇形 所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出样本中参与“ ．测量”所占的百分比，进而估计总体中“ ．测量”的百分比，求
出相应人数即可；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）调查学生总数为 （人 ，
选择“ ．数学园地设计”的有 （人 ，
故答案为：120，补全统计图如下：
第19页（共32页）（2） ，
故答案为：90；
（3） （人 ，
答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；
（4）在 ， ， ， ， 五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果，其中恰好选中 ， 这两项活动的有2种，
所以恰好选中 ， 这两项活动的概率为 ．
22．（8分）冰墩墩 、雪容融 分别是2022年北京冬奥会、
冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种
玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩
偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可
获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5
倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多
第20页（共32页）少元？
【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶
和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货
数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据
一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为 元 个，雪容融的进价为 元 个，
由题意可得： ，
解得 ，
答：冰墩墩的进价为72元 个，雪容融的进价为64元 个；
（2）设冰墩墩购进 个，则雪容融购进 个，利润为 元，
由题意可得： ，
随 的增大而增大，
网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
，
解得 ，
当 时， 取得最大值，此时 ， ，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
23．（8分）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于 ，
两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线 交 轴于点 ，点 ， 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形
是平行四边形，求点 的坐标．
第21页（共32页）【分析】（1）把 代入 可得 ，即得反比例函数关系式为 ，从而 ，
将 ， 代入 即可得一次函数的关系式为 ；
（2）在 中得 ，设 ， ，而 ，由 、 中点重合列
方程组可得 ， 或 ， ．
【解答】解：（1）把 代入 得：
，
，
反比例函数关系式为 ；
把 代入 得：
，
，
将 ， 代入 得：
，
第22页（共32页）解得 ，
一次函数的关系式为 ；
答：反比例函数关系式为 ，一次函数的关系式为 ；
（2）在 中，令 得 ，
，
设 ， ，而 ，
四边形 是平行四边形，
、 的中点重合，
，
解得 或 ，
， 或 ， ；
24．（8分）如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线 交 的延长线于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 相切吗？并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）连接 ，理由切线的性质可得 ，然后利用平行线和等腰三角形的
性质可得 平分 ，从而可得 ，进而可证 ，最后利用全
第23页（共32页）等三角形的性质即可解答；
（2）设 的半径为 ，先在 中，利用勾股定理求出 的长，再利用（1）的结论可得
，最后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）直线 与 相切，
理由：连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
是 的半径，
直线 与 相切；
（2）设 的半径为 ，
在 中， ，
，
，
，
，
由（1）得： ，
，
在 中， ，
，
，
，
第24页（共32页）的长为6．
25．（10分）如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的
部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 ．
（1）写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
（3） 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ，是
否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
【分析】（1）令 和翻折的性质可得 ，令 可得点 、 的坐标，利用待定系数
法即可求出图象 的解析式；
（2）利用数形结合找出当 经过点 或者 与 相切时，直线
与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线 经过点 时，利用一次
第25页（共32页）函数图象上点的坐标特征，即可求出 值；②当 与 相切时，联立一次
函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式△ ，即可求出 值．综上即可得出结论；
（3）先确定 是等腰直角三角形，分三种情况： 或 ，分别画图
可得结论．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
当 时， ，
，
， ，
， ，
设图象 的解析式为： ，
把 代入得： ，
，
，
图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式为： ；
（2）由图象得直线 与图象 有三个交点时，存在两种情况：
①当直线 过点 时，与图象 有三个交点，此时 ；
②当直线 与图象 位于线段 上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
第26页（共32页），
，
△ ，
，
综上， 的值是2或3；
（3） ， ，
是等腰直角三角形，
如图2， ， ，
轴，
；
如图3， ， ，
第27页（共32页）当 时， ，
，
， ，
， ；
如图4，当 时， ，
的解析式为： ，
，
， （舍 ，
， ，
第28页（共32页）综上，点 的坐标为 或 ， 或 ， ．
26．（12分）如图，在菱形 中， ， ，点 从点 出发，沿线段 以每
秒1个单位长度的速度向终点 运动，过点 作 于点 ，作 交直线
于点 ，交直线 于点 ，设 与菱形 重叠部分图形的面积为 （平方单位），
点 运动时间为 （秒 ．
（1）当点 与点 重合时，求 的值；
（2）当 为何值时， 与 全等；
（3）求 与 的函数关系式；
（4）以线段 为边，在 右侧作等边三角形 ，当 时，求点 运动路径的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）分两种情况：①当 时，②当 时，由全等三角形的性质得出关于 的方程，解
方程可得出答案；
（3）分两种情况：①当 时，②当 时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式
可得出答案；
（4）连接 ，由直角三角形的性质得出 为定值，则点 的运动轨迹为直线，求出
的长，则可得出答案．
【解答】解：（1） 与 重合时，如图1，
第29页（共32页），
，
，
；
（2）①当 时，
，
，
，
，
，
；
②当 时，
，
，
，
，
，
；
综上所述， 的值为4或 ；
（3）① 时，如图2，
在 中， ，
第30页（共32页），
；
②当 时，如图3，
， ，
，
；
；
（4）连接 ，如图4，
为等边三角形，
，
第31页（共32页）在 中， ，
为定值，
点 的运动轨迹为直线，
，
，
当 时， ，
当 时， ，
点运动路径长为 ．
第32页（共32页）
