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2019年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要
求)
1．（3分）（2019•聊城） 的相反数是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•聊城）如图所示的几何体的左视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•聊城）如果分式 的值为零，那么 的值为
A． 或1 B．1 C． D．1或0
4．（3分）（2019•聊城）在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的
25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是
A．96分、98分 B．97分、98分 C．98分、96分 D．97分、96分
5．（3分）（2019•聊城）下列计算正确的是
第1页（共30页）A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•聊城）下列各式不成立的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•聊城）若不等式组 无解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•聊城）如图， 是半圆 的直径， ， 是 上两点，连接 ， 并延
长交于点 ，连接 ， ．如果 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•聊城）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值
范围为
A． B． 且 C． D． 且
10．（3分）（2019•聊城）某快递公司每天上午 为集中揽件和派件时段，甲仓库用
来搅收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件 与时间 （分
之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为
第2页（共30页）A． B． C． D．
11．（3分）（2019•聊城）如图，在等腰直角三角形 中， ，一个三角尺的直角
顶点与 边的中点 重合，且两条直角边分别经过点 和点 ，将三角尺绕点 按顺时针
方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与 ， 分别交于点 ， 时，下列结论中
错误的是
A． B．
C． D．
12．（3分）（2019•聊城）如图，在 中， ， ，点 在边 上，且
，点 为 的中点，点 为边 上的动点，当点 在 上移动时，使四边形
周长最小的点 的坐标为
A． B． ， C． ， D．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后结果)
第3页（共30页）13．（3分）（2019•聊城）计算： ．
14．（3分）（2019•聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位： ，计算这
个圆锥侧面展开图圆心角的度数为 ．
15．（3分）（2019•聊城）在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，
预赛分 ， ， ， 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好
抽到同一个组的概率是 ．
16．（3分）（2019•聊城）如图，在 中， ， ， 为 的中位
线，延长 至 ，使 ，连接 并延长交 于点 ．若 ，则 的周
长为 ．
17．（3分）（2019•聊城）数轴上 ， 两点的距离为4，一动点 从点 出发，按以下规律跳
动：第1次跳动到 的中点 处，第2次从 点跳动到 的中点 处，第3次从 点跳
动到 的中点 处，按照这样的规律继续跳动到点 ， ， ， ， ． ， 是整数）
处，那么线段 的长度为 ， 是整数）．
第4页（共30页）三、解答题（本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
18．（7分）（2019•聊城）计算： ．
19．（8分）（2019•聊城）学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级
（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预
习时间（单位： 进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、
频率分布表和频数分布扇形图：
组别 课前预习时间 频数（人数） 频率
1 2
2 0.10
3 16 0.32
4
5 3
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，表中的 ， ， ；
（2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于 的学生
人数．
20．（8分）（2019•聊城）某商场的运动服装专柜，对 ， 两种品牌的运动服分两次采购试销
后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
第一次 第二次
品牌运动服装数 件 20 30
品牌运动服装数 件 30 40
累计采购款 元 10200 14400
第5页（共30页）（1）问 ， 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于 品牌运动服的销量明显好于 品牌，商家决定采购 品牌的件数比 品牌件数的
倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件 品牌运动服？
21．（8分）（2019•聊城）在菱形 中，点 是 边上一点，连接 ，点 ， 是 上
的两点，连接 ， ，使得 ， ．
求证：（1） ；
（2） ．
22．（8分）（2019•聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，
部分），在起点 处测得大楼部分楼体 的顶端 点的仰角为 ，底端 点的仰角为 ，
在同一剖面沿水平地面向前走20米到达 处，测得顶端 的仰角为 （如图②所示），求
大楼部分楼体 的高度约为多少米？（精确到1米）
（参考数据： ， ， ， ，
23．（8分）（2019•聊城）如图，点 ， ， 是直线 与反比例函数 图象
的两个交点， 轴，垂足为点 ，已知 ，连接 ， ， ．
（1）求直线 的表达式；
（2） 和 的面积分别为 ， ．求 ．
第6页（共30页）24．（10分）（2019•聊城）如图， 内接于 ， 为直径，作 交 于点 ，
延长 ， 交于点 ，过点 作 的切线 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求弦 的长．
25．（12分）（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点
，点 ，与 轴交于点 ，连接 ，又已知位于 轴右侧且垂直于 轴的动
直线 ，沿 轴正方向从 运动到 （不含 点和 点），且分别交抛物线、线段 以及 轴
于点 ， ， ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 ， ，当直线 运动时，求使得 和 相似的点 的坐标；
（3）作 ，垂足为 ，当直线 运动时，求 面积的最大值．
第7页（共30页）第8页（共30页）2019 年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要
求)
1．（3分） 的相反数是
A． B． C． D．
【考点】28：实数的性质
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解： 的相反数是 ，
故选： ．
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是
A． B．
C． D．
【考点】 ：简单组合体的三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是 ．
故选： ．
第9页（共30页）3．（3分）如果分式 的值为零，那么 的值为
A． 或1 B．1 C． D．1或0
【考点】63：分式的值为零的条件
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出 的值．
【解答】解：根据题意，得
且 ，
解得， ．
故选： ．
4．（3分）在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同
学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是
A．96分、98分 B．97分、98分 C．98分、96分 D．97分、96分
【考点】 ：条形统计图； ：中位数； ：众数
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【解答】解：98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分；
共有25个数，最中间的数为第13数，是96，所以数据的中位数为96分．
故选： ．
5．（3分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；
：零指数幂； ：负整数指数幂
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判
断得出答案．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
第10页（共30页）、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
6．（3分）下列各式不成立的是
A． B． C． D．
【考点】79：二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【解答】解： ， 选项成立，不符合题意；
， 选项成立，不符合题意；
， 选项不成立，符合题意；
， 选项成立，不符合题意；
故选： ．
7．（3分）若不等式组 无解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【考点】 ：解一元一次不等式组
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于 的不等式，解之可
得．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
不等式组无解，
，
解得 ，
第11页（共30页）故选： ．
8．（3分）如图， 是半圆 的直径， ， 是 上两点，连接 ， 并延长交于点 ，
连接 ， ．如果 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
【考点】 ：圆心角、弧、弦的关系
【分析】连接 ，由圆周角定理得出 ，求出 ，再由圆周角
定理得出 即可，
【解答】解：连接 ，如图所示：
是半圆 的直径，
，
，
，
，
故选： ．
9．（3分）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为
A． B． 且 C． D． 且
【考点】 ：根的判别式； ：一元二次方程的定义
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△ ，即可得出关于 的一元一次不等式组，
解之即可得出 的取值范围．
第12页（共30页）【解答】解： ，
关于 的一元二次方程 有实数根，
，
解得： 且 ．
故选： ．
10．（3分）某快递公司每天上午 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来搅收快件，
乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件 与时间 （分 之间的函数图
象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为
A． B． C． D．
【考点】 ：一次函数的应用
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量 （件 与时间 （分 之间的函数关系式，求出两
条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量 （件 与时间 （分 之间的函数关系式为： ，
根据题意得 ，解得 ，
；
设乙仓库的快件数量 （件 与时间 （分 之间的函数关系式为： ，根据题意得
，解得 ，
第13页（共30页），
联立 ，解得 ，
此刻的时间为 ．
故选： ．
11．（3分）如图，在等腰直角三角形 中， ，一个三角尺的直角顶点与 边
的中点 重合，且两条直角边分别经过点 和点 ，将三角尺绕点 按顺时针方向旋转任意
一个锐角，当三角尺的两直角边与 ， 分别交于点 ， 时，下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
【考点】 ：旋转的性质； ：等腰直角三角形
【分析】连接 ，易证 ，利用全等三角形的性质可得出 ，进而
可得出 ，选项 正确；由三角形内角和定理结合 ，
可得出 ，选项 正确；由 可得出
，结合图形可得出 ，选
项 正确．综上，此题得解．
【解答】解：连接 ，如图所示．
为等腰直角三角形，点 为 的中点，
， ， ．
， ，
．
第14页（共30页）在 和 中， ，
，
，
，选项 正确；
， ，
，
，选项 正确；
，
，
，选项 正确．
故选： ．
12．（3分）如图，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，点 为
的中点，点 为边 上的动点，当点 在 上移动时，使四边形 周长最小的点
的坐标为
A． B． ， C． ， D．
【考点】 ：坐标与图形变化 平移； ：轴对称 最短路线问题
【分析】根据已知条件得到 ， ，求得 ， ，得到
第15页（共30页）， ，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则此时，四边形
周长最小， ，求得直线 的解析式为 ，解方程组即可得到结论．
【解答】解： 在 中， ， ，
， ，
，点 为 的中点，
， ，
， ，
作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，
则此时，四边形 周长最小， ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
解 得， ，
， ，
故选： ．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后结果)
第16页（共30页）13．（3分）计算： ．
【考点】 ：有理数的混合运算
【分析】先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：原式 ，
故答案为： ．
14．（3分）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位： ，计算这个圆锥侧面
展开图圆心角的度数为 ．
【考点】 ：由三视图判断几何体； ：圆锥的计算
【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾
股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【解答】解： 圆锥的底面半径为1，
圆锥的底面周长为 ，
圆锥的高是 ，
圆锥的母线长为3，
设扇形的圆心角为 ，
，
解得 ．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 ．
故答案为： ．
15．（3分）在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分 ， ，
， 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组
第17页（共30页）的概率是 ．
【考点】 ：列表法与树状图法
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
【解答】解：如下图所示，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是 ，
故答案为： ．
16．（3分）如图，在 中， ， ， 为 的中位线，延长 至
，使 ，连接 并延长交 于点 ．若 ，则 的周长为 ．
【考点】 ：含30度角的直角三角形； ：三角形中位线定理； ：相似三角形的判定与性
质
【分析】在 中，求出 ， ，在 中用 表示出 长，并证明
， 从 而 转 化 到 上 ， 根 据 周 长
可求周长．
【解答】解：在 中， ，
，
， ．
是中位线，
第18页（共30页）．
在 中，利用勾股定理求出 ，
．
，
．
周长 ．
故答案为 ．
17．（3分）数轴上 ， 两点的距离为4，一动点 从点 出发，按以下规律跳动：第1次跳
动到 的中点 处，第2次从 点跳动到 的中点 处，第3次从 点跳动到 的中
点 处，按照这样的规律继续跳动到点 ， ， ， ， ． ， 是整数）处，那么线段
的长度为 ， 是整数）．
【考点】13：数轴；38：规律型：图形的变化类； ：两点间的距离
【分析】根据题意，得第一次跳动到 的中点 处，即在离原点的长度为 ，第二次从
点跳动到 处，即在离原点的长度为 ，则跳动 次后，即跳到了离原点的长度为
，再根据线段的和差关系可得线段 的长度．
【解答】解：由于 ，
所有第一次跳动到 的中点 处时， ，
同理第二次从 点跳动到 处，离原点的 处，
同理跳动 次后，离原点的长度为 ，
第19页（共30页）故线段 的长度为 ， 是整数）．
故答案为： ．
三、解答题（本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
18．（7分）计算： ．
【考点】 ：分式的混合运算
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式
．
19．（8分）学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴
趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：
进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和
频数分布扇形图：
组别 课前预习时间 频数（人数） 频率
1 2
2 0.10
3 16 0.32
4
5 3
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 5 0 ，表中的 ， ， ；
（2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于 的学生
人数．
第20页（共30页）【考点】 ：总体、个体、样本、样本容量； ：用样本估计总体； ：频数（率 分布表； ：
扇形统计图
【分析】（1）根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即
可得到 的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量 其他小组的人数即可得到 ，
用 本次调查的样本容量得到 ；
（2）根据4组的人数占总人数的百分比乘上 ，即可得到扇形统计图中“4”区对应的圆
心角度数；
（3）根据每天课前预习时间不少于 的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即
可得到结果．
【解答】解：（1） ， ， ， ；
故答案为：50，5，24，0.48；
（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数 ；
（3）每天课前预习时间不少于 的学生人数的频率 ，
，
答：这些学生中每天课前预习时间不少于 的学生人数是860人．
20．（8分）某商场的运动服装专柜，对 ， 两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，
计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
第一次 第二次
品牌运动服装数 件 20 30
品牌运动服装数 件 30 40
累计采购款 元 10200 14400
（1）问 ， 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于 品牌运动服的销量明显好于 品牌，商家决定采购 品牌的件数比 品牌件数的
倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件 品牌运动服？
【考点】 ：一元一次不等式的应用； ：二元一次方程组的应用
第21页（共30页）【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；
（2）利用采购 品牌的件数比 品牌件数的 倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而
得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设 ， 两种品牌运动服的进货单价各是 元和 元，根据题意可得：
，
解得： ，
答： ， 两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元；
（2）设购进 品牌运动服 件，购进 品牌运动服 件，
则 ，
解得： ，
经检验，不等式的解符合题意，
，
答：最多能购进65件 品牌运动服．
21．（8分）在菱形 中，点 是 边上一点，连接 ，点 ， 是 上的两点，连接
， ，使得 ， ．
求证：（1） ；
（2） ．
【考点】 ：菱形的性质； ：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据菱形的性质得到 ， ，由平行线的性质得到 ，
第22页（共30页）等量代换得到 ，求得 ，根据全等三角形的判定定理即可得到
结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ， ，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】证明：（1） 四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
；
（2） ，
， ，
，
．
22．（8分）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示， 部分），在起点
处测得大楼部分楼体 的顶端 点的仰角为 ，底端 点的仰角为 ，在同一剖面
沿水平地面向前走20米到达 处，测得顶端 的仰角为 （如图②所示），求大楼部分楼
体 的高度约为多少米？（精确到1米）
（参考数据： ， ， ， ，
【考点】 ：解直角三角形的应用 仰角俯角问题
【分析】设楼高 为 米，于是得到 ，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设楼高 为 米，
第23页（共30页）在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： （米 ，
在 中， ，
（米 ，
答：大楼部分楼体 的高度约为17米．
23．（8分）如图，点 ， ， 是直线 与反比例函数 图象的两个交点，
轴，垂足为点 ，已知 ，连接 ， ， ．
（1）求直线 的表达式；
（2） 和 的面积分别为 ， ．求 ．
第24页（共30页）【考点】 ：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）先将点 ， 代入反比例函数解析式中求出 的值，进而得到点 的坐标，已
知点 、点 坐标，利用待定系数法即可求出直线 的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出 ， 的值，即可求出 ．
【解答】解：（1）由点 ， ， 在反比例函数 图象上
反比例函数的解析式为
将点 代入 得
设直线 的表达式为
解得
直线 的表达式为 ；
第25页（共30页）（2）由点 、 坐标得 ，点 到 的距离为
设 与 轴的交点为 ，可得 ，如图：
由点 ， ， 知点 ， 到 的距离分别为 ，3
．
24．（10分）如图， 内接于 ， 为直径，作 交 于点 ，延长 ，
交于点 ，过点 作 的切线 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求弦 的长．
【考点】 ：相似三角形的判定与性质； ：勾股定理； ：切线的性质
【分析】（1）连接 ，由切线的性质可证得 ，又 ，可得
第26页（共30页），则结论得证；
（2）先根据勾股定理求出 ， ， 的长，证明 ，得出比例线段即可
求出 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，
与 相切，为 是 的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： 为 的直径，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
第27页（共30页），
，
在 中， ，
在 和 中，
， ，
，
，
即 ，
．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，点
，与 轴交于点 ，连接 ，又已知位于 轴右侧且垂直于 轴的动直线 ，沿
轴正方向从 运动到 （不含 点和 点），且分别交抛物线、线段 以及 轴于点 ， ，
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 ， ，当直线 运动时，求使得 和 相似的点 的坐标；
（3）作 ，垂足为 ，当直线 运动时，求 面积的最大值．
【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）将点 、 、 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）只有当 时， △ ，可得： ，设点 坐标 ，即
第28页（共30页）可求解；
（3）利用 得： ，再求出 的最大值，即可求解．
【解答】解：（1）将点 、 、 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：
，
故抛物线的表达式为： ；
（2） 点 、 ， ， ，
轴， ，
，
只有当 时， △ ，
此时 ，即： ，
，
设点 的纵坐标为 ，则 ， ，
，
将点 坐标 代入二次函数表达式并解得：
或 （舍去 ，
则点 ， ；
（3）在 中， ，
轴， ， ，
，
，
而 ， ，
第29页（共30页），
即当 取得最大值时， 最大，
将 、 坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
当 时， 的最大值为4，
故当 时， ．
第30页（共30页）
