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2022年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）计算 的结果是
A． B．3 C． D．12
2．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（4分）下列图形：
其中轴对称图形的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（4分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可
输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为
A． 度 B． 度 C． 度 D． 度
5．（4分）如图， ，点 在直线 上，点 在直线 上， ， ， ．
则 的度数是
A． B． C． D．
6．（4分）如图， 是 的直径， ， ， ，则 的半径为
第1页（共32页）A． B． C． D．
7．（4分）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是
A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
8．（4分）如图，四边形 中， ， ， 交 于点 ，以点 为圆
心， 为半径，且 的圆交 于点 ，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
9．（4分）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：
0 1
第2页（共32页）0 4 6 6
下列结论不正确的是
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与 轴的一个交点坐标为
D．函数 的最大值为
10．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买
几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱
为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽
的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是
A． B． C． D．
11．（4分）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点，连接
并延长交 于点 ， ， ．下列结论：① ；② ；
③四边形 是菱形；④ ，其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（4分）如图，四边形 为矩形， ， ，点 是线段 上一动点，点 为
线段 上一点， ，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
第3页（共32页）13．（4分）计算： ．
14．（4分）如图，四边形 为平行四边形，则点 的坐标为 ．
15．（4分）如图，在 中， ， 过点 、 ，与 交于点 ，与 相切于点
，若 ，则 ．
16．（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 ，已知窗户
的高度 ，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的宽 ，则 的长度为
（结果精确到 ．
17．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对 表示第 行，从左到右第 个数，如 表示6，则表示99的有序数对是
．
第4页（共32页）18．（4分）如图，四边形 为正方形，点 是 的中点，将正方形 沿 折叠，得
到点 的对应点为点 ，延长 交线段 于点 ，若 ，则 的长度为 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
19．（10分）（1）化简： ；
（2）解不等式： ．
20．（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶
光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴
趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩
分为如下5组（满分100分）， 组： ， 组： ， 组： ， 组：
， 组： ，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生
成绩的中位数落在 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少
人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一
第5页（共32页）国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21．（10分）如图，点 在第一象限， 轴，垂足为 ， ， ，反比例函数
的图象经过 的中点 ，与 交于点 ．
（1）求 值；
（2）求 的面积．
22．（10分）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了 种茶30盒， 种茶20盒，共花
费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了 ，该店又购进了 种茶20盒，
种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的 、 两种茶每盒的价格．
23．（12分）如图，矩形 中，点 在 上， ， 与 相交于点 ， 与
相交于点 ．
（1）若 平分 ，求证： ；
（2）找出图中与 相似的三角形，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的长度．
第6页（共32页）24．（12分）若二次函数 的图象经过点 ， ，其对称轴为直线
，与 轴的另一交点为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 在直线 上，且在第四象限，过点 作 轴于点 ．
①若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标；
②以 为对角线作正方形 （点 在 右侧），当点 在抛物线上时，求点 的坐
标．
25．（14分）问题探究
（1）在 中， ， 分别是 与 的平分线．
①若 ， ，如图1，试证明 ；
②将①中的条件“ ”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明
理由．
迁移运用
（2）若四边形 是圆的内接四边形，且 ， ，如图3，试探
究线段 ， ， 之间的等量关系，并证明．
第7页（共32页）第8页（共32页）2022年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）计算 的结果是
A． B．3 C． D．12
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式
．
故选： ．
2．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项判断 选项；根据同底数幂的乘法判断 选项；根据同底数幂的除法
判断 选项；根据完全平方公式判断 选项．
【解答】解： 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
3．（4分）下列图形：
其中轴对称图形的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据图形对称的定义判定就行．
第9页（共32页）【解答】解：（1）是轴对称图形；
（2）是轴对称图形；
（3）不是轴对称图形；
（4）是轴对称图形；
故选： ．
4．（4分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可
输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为
A． 度 B． 度 C． 度 D． 度
【分析】根据1万 ，然后写成科学记数法的形式： ，其中 ， 为正整数即可．
【解答】解：44.8万 ，
故选： ．
5．（4分）如图， ，点 在直线 上，点 在直线 上， ， ， ．
则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】利用等腰三角形的性质得到 ，利用平行线的性质得到 ，
再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，
第10页（共32页）， ，
，
， ，
，
，
．
故选： ．
6．（4分）如图， 是 的直径， ， ， ，则 的半径为
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
【解答】解：连接 并延长 交 于点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
是直径，
，
在 中， ， ，
，
的半径为 ．
故选： ．
第11页（共32页）7．（4分）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是
A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
【分析】根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
【解答】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项 不合题意；
平均成绩是 （环 ，故选项 不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项 不合题意；
这 组 成 绩 的 方 差 是
，故选
项 符合题意．
故选： ．
8．（4分）如图，四边形 中， ， ， 交 于点 ，以点 为圆
心， 为半径，且 的圆交 于点 ，则阴影部分的面积为
第12页（共32页）A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．
【解答】解： ， ， 交 于点 ，
，
，
，
，
过点 作 交 于点 ，
， ，
， ，
，
阴影部分的面积 ，
故选： ．
9．（4分）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：
0 1
0 4 6 6
第13页（共32页）下列结论不正确的是
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与 轴的一个交点坐标为
D．函数 的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断
各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由表格可得，
，
解得 ，
，
该抛物线的开口向下，故选项 正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线 ，故选项 正确，不符合题意，
当 时， ，
当 时， ，故选项 错误，符合题意；
函数 的最大值为 ，故选项 正确，不符合题意；
故选： ．
10．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买
几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱
为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽
的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是
A． B． C． D．
【分析】设这批椽的数量为 株，则一株椽的价钱为 文，利用总价 单价 数量，即可
第14页（共32页）得出关于 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解： 这批椽的数量为 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰
好等于一株椽的价钱，
一株椽的价钱为 文．
依题意得： ．
故选： ．
11．（4分）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点，连接
并延长交 于点 ， ， ．下列结论：① ；② ；
③四边形 是菱形；④ ，其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】通过判定 为等边三角形求得 ，利用等腰三角形的性质求得
，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形
的性质和含 直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【解答】解： 点 为 的中点，
，
又 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即 ，故①正确；
在平行四边形 中， ， ， ，
，
在 和 中，
第15页（共32页），
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，点 为 的中点，
，
平行四边形 是菱形，故③正确；
，
在 中， ，
，故②正确；
在平行四边形 中， ，
又 点 为 的中点，
，故④正确；
正确的结论由4个，
故选： ．
12．（4分）如图，四边形 为矩形， ， ，点 是线段 上一动点，点 为
线段 上一点， ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【分析】如图，取 的中点 ，连接 ， ．证明 ，推出 ，点
的运动轨迹是以 为圆心，2为半径的 ．利用勾股定理求出 ，可得结论．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
第16页（共32页）四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
点 的运动轨迹是以 为圆心，2为半径的 ．
，
，
的最小值为 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）计算： ．
【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
【解答】解：原式
，
第17页（共32页）故答案为： ．
14．（4分）如图，四边形 为平行四边形，则点 的坐标为 ．
【分析】直接根据平移的性质可解答．
【解答】解： 四边形 为平行四边形，且 ， ，
点 是点 向左平移4个单位所得，
，
．
故答案为： ．
15．（4分）如图，在 中， ， 过点 、 ，与 交于点 ，与 相切于点
，若 ，则 ．
【分析】连接 ，根据圆周角定理求出 ，根据切线的性质得到 ，证明
，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：连接 ，
，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
第18页（共32页），
，
故答案为： ．
16．（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 ，已知窗户
的高度 ，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的宽 ，则 的长度为
（结果精确到 ．
【分析】本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐角
的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题．
【解答】解：根据图形可知 ．
， ，
在 中， ， ，
．
， ， ，
，
在 中， ， ，
．
答： 的长度约为 ．
故答案为： ．
17．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第19页（共32页）若有序数对 表示第 行，从左到右第 个数，如 表示6，则表示99的有序数对是
．
【分析】根据第 行的最后一个数是 ，第 行有 个数即可得出答案．
【解答】解： 第 行的最后一个数是 ，第 行有 个数，
在第10行倒数第二个，
第10行有： 个数，
的有序数对是 ．
故答案为： ．
18．（4分）如图，四边形 为正方形，点 是 的中点，将正方形 沿 折叠，得
到点 的对应点为点 ，延长 交线段 于点 ，若 ，则 的长度为 2 ．
【分析】连接 ，根据正方形的性质和翻折的性质证明 ，可得
，设 ，则 ， ，然后根据勾股定
理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 ，
第20页（共32页）四边形 为正方形，
， ，
点 是 的中点，
，
由翻折可知： ， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理得：
，
，
解得 ．
则 的长度为2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
19．（10分）（1）化简： ；
（2）解不等式： ．
第21页（共32页）【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；
（2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式．
【解答】解：（1）原式
；
（2） ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ．
20．（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶
光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴
趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩
分为如下5组（满分100分）， 组： ， 组： ， 组： ， 组：
， 组： ，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 40 0 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取
学生成绩的中位数落在 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少
人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一
国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
第22页（共32页）【分析】（1）由 组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，即可解
决问题；
（2）求出 组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
（3）由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有
12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为： （名 ，
组的人数为： （名 ，
，
所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数， ，
所抽取学生成绩的中位数落在 组，
故答案为：400，60， ；
（2） 组的人数为： （人 ，
补全学生成绩频数分布直方图如下：
第23页（共32页）（3） （人 ，
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为 ．
21．（10分）如图，点 在第一象限， 轴，垂足为 ， ， ，反比例函数
的图象经过 的中点 ，与 交于点 ．
（1）求 值；
（2）求 的面积．
【分析】（1）先根据 ，可得 ，根据 ，由此可得 的坐标，由 是
的中点，可得点 的坐标，从而得 的值；
（2）先求点 的坐标，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
第24页（共32页）由勾股定理得： ，
， ，
，
是 的中点，
，
；
（2）当 时， ，
，
，
．
22．（10分）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了 种茶30盒， 种茶20盒，共花
费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了 ，该店又购进了 种茶20盒，
种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的 、 两种茶每盒的价格．
【分析】设第一次购进 种茶的价格为 元 盒， 种茶的价格为 元 盒，利用总价 单价
数量，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进 种茶的价格为 元 盒， 种茶的价格为 元 盒，
依题意得： ，
解得： ．
答：第一次购进 种茶的价格为100元 盒， 种茶的价格为150元 盒．
23．（12分）如图，矩形 中，点 在 上， ， 与 相交于点 ， 与
相交于点 ．
（1）若 平分 ，求证： ；
（2）找出图中与 相似的三角形，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的长度．
第25页（共32页）【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得 ，从而求证 ；
（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；
（3）利用相似三角形的性质分析求解．
【解答】（1）证明：如图，
在矩形 中， ， ， ，
， ，
，
，
又 平分 ，
，
，
，
；
（2）解：与 相似的三角形有 ， ， ，理由如下：
由（1）可得 ， ，
，
，
， ，
，
， ，
；
第26页（共32页）（3）解： ，
，
，即 ，
①，
，
，
，
②，
联立①②，可得 （负值舍去），
．
24．（12分）若二次函数 的图象经过点 ， ，其对称轴为直线
，与 轴的另一交点为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 在直线 上，且在第四象限，过点 作 轴于点 ．
①若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标；
②以 为对角线作正方形 （点 在 右侧），当点 在抛物线上时，求点 的坐
标．
第27页（共32页）【分析】（1）利用待定系数法求出 ， ， 即可；
（2）①求出直线 的解析式为 ，因为 ， 关于直线 对称，推出 ，设
，则 ， ，根据 ，构建方程求解；
②如图2中，连接 ， 交于点 ．设 ，则点 ，利用正方形的性质求出
点 的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
【解答】解：（1） 二次函数 的图象经过点 ，
，
对称轴为直线 ，经过 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）①如图1中，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
， 关于直线 对称，
，
设 ，
轴，
，
第28页（共32页），
，
，
，
点 ， ；
②如图2中，连接 ， 交于点 ．设 ，则点 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
轴，
，
，
，
，
点 在抛物线 上，
，
解得 ， ，
点 在第四象限，
舍去，
，
点 坐标为 ， ．
第29页（共32页）25．（14分）问题探究
（1）在 中， ， 分别是 与 的平分线．
①若 ， ，如图1，试证明 ；
②将①中的条件“ ”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明
理由．
迁移运用
（2）若四边形 是圆的内接四边形，且 ， ，如图3，试探
究线段 ， ， 之间的等量关系，并证明．
【分析】（1）①证明 是等边三角形，可得结论；
②结论成立．如图2中，设 交 于点 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
证明 ，推出 ，再证明 ，推出
，可得结论；
第30页（共32页）（2）结论： ．如图3中，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ．证明满足
②条件，利用②中结论解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，
， ，
是等边三角形，
，
， 分别平分 ， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
；
②解：结论成立．
理由：如图2中，设 交 于点 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
，
，
， 分别平分 ， ，
，
，
，
第31页（共32页）， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
；
（2）解：结论： ．
理由：如图3中，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ．
四边形 是圆内接四边形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
由②可知 ，
，
．
第32页（共32页）
