文档内容
2022年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数为
A．6 B． C． D．
2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个
月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称
图形的是
A． 中过探火 B． 中国火箭
C． 中过行星探测 D． 航天神舟
3．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2021年我国粮食总产量再创新高，达68285万吨．
该数据可用科学记数法表示为
A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨
4．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与
相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
第4题 第7题 第8题
5．不等式组 的解集是
A． B． C． D．
6．如图， 是一块直角三角板，其中 ， ．直尺的一边 经过顶
点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
7．化简 的结果是
A． B． C． D．
8．如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
9．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发
第1页（共22页）明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四
张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让
小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立
春”和“立夏”的概率是
A． B． C． D．
10．如图，扇形纸片 的半径为3，沿 折叠扇形纸片，点 恰好落在 上的点 处，图
中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
第10题 第12题 第14题
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： 的结果为 ．
12．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积
的反比例函数，其图象如图所示．当 时，该物体承受的压强 的值为 ．
13．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙
两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验
条件下，测量它们的光合作用速率（单位： ，结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙” ．
14．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利
于顾客，计划以利润率不低于 的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
15．如图，在正方形 中，点 是边 上的一点，点 在边 的延长线上，且
，连接 交边 于点 ．过点 作 ，垂足为点 ，交边 于点 ．若
， ，则线段 的长为 ．
第2页（共22页）三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）解方程组： ．
17．（8分）如图，在矩形 中， 是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为点 ，交边 于点 ，交边
于点 （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段 与 的数量关系，并加以证明．
18．（7分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空
气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发
现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油
费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的
充电费．
19．（8分）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代 奋
进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校 3600名学生的读书情况，随机抽取部分
学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 形 成 了 如 下 调 查 报 告 （ 不 完 整 ）
中学学生读书情况调查报告
调查 中学学生读书情况
主题
调查 抽样调查 调查对象 中学学生
方式
第3页（共22页）数据 第一 您平均每
的收 项 周阅读课
集、 外书的时
整理 间大约是
与描 （只能单
述 选，每项
含最小
值，不含
最大值）
小时
及以上；
小
时；
小
时；
小
时．
第二 您阅读的
项 课外书的
主要来源
是（可多
选）
．自行
购买；
．从图
书馆借
阅；
．免费
数字阅
读；
．向他
人借阅．
调查
结论
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查
数据分别写出一条你获取的信息．
20．（8分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我 们 知 道 ， 一 元 二 次 方 程 的 根 就 是 相 应 的 二 次 函 数
的图象（称为抛物线）与 轴交点的横坐标．抛物线与 轴的交点有三
种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有
两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与 轴的交点个数
确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标 ， 和一元二次方程根的判别式△ ，分别
分 和 两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当△ 时，有 ． ， 顶点纵坐标 ．
顶点在 轴的下方，抛物线与 轴有两个交点（如图 ．
第4页（共22页）②当△ 时，有 ． ， 顶点纵坐标 ．
顶点在 轴上，抛物线与 轴有一个交点（如图 ．
一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当△ 时，
（2） 时，抛物线开口向下．
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个
即可）；
．数形结合
．统计思想
．分类讨论
．转化思想
（2）请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 ，△ 时，一元二次方程
根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可
用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 ．
21．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离
和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 ， 两座楼之间的距离，他们借助
无人机设计了如下测量方案：无人机在 ， 两楼之间上方的点 处，点 距地面 的
高度为 ，此时观测到楼 底部点 处的俯角为 ，楼 上点 处的俯角为 ，沿
水平方向由点 飞行 到达点 ，测得点 处俯角为 ，其中点 ， ， ， ， ， ，
均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼 与 之间的距离 的长（结果精确到
．参考数据： ， ， ， ．
22．（13分）综合与实践
问题情境：在 中， ， ， ．直角三角板 中 ，
将三角板的直角顶点 放在 斜边 的中点处，并将三角板绕点 旋转，三角板的
两边 ， 分别与边 ， 交于点 ， ．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点 为边 的中点时，试判断四边形 的形状，
并说明理由；
第5页（共22页）问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当 时，求线段 的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当 时，直接写出线段 的长．
23．（13分）综合与探究
如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与
轴交于点 ．点 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 的横坐标为 ．过点
作直线 轴于点 ，作直线 交 于点 ．
（1）求 ， ， 三点的坐标，并直接写出直线 的函数表达式；
（2）当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
（3）连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 运动的过程中，
是否存在点 ，使得 ，若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
第6页（共22页）2022年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数为
A．6 B． C． D．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数，可以直接得到答案．
【解答】解： 的相反数是：6，
故选： ．
2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个
月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称
图形的是
A． 中过探火 B． 中国火箭
C． 中过行星探测 D． 航天神舟
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转 ，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做
对称中心．
【解答】解：选项 、 、 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图
形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心
对称图形，
故选： ．
3．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2021年我国粮食总产量再创新高，达68285万吨．
该数据可用科学记数法表示为
A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨
【分析】将较大的数写成科学记数法形式： ，其中 ， 为正整数即可．
【解答】解：68285万吨
（吨 ，
故选： ．
4．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与
相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
第7页（共22页）【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【解答】解： 每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为 ，
其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，
故选： ．
5．不等式组 的解集是
A． B． C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故选： ．
6．如图， 是一块直角三角板，其中 ， ．直尺的一边 经过顶
点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】先根据平行线的性质求得 的度数，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解： ， ，
，
，
，
故答案为： ．
7．化简 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：
第8页（共22页），
故选： ．
8．如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可求出 的度
数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
故选： ．
9．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发
明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四
张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让
小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立
春”和“立夏”的概率是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立
春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用 表示，立夏用 表示，秋分用 表示，大寒用 表示，树状图如下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可
能性2种，
第9页（共22页）小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ，
故选： ．
10．如图，扇形纸片 的半径为3，沿 折叠扇形纸片，点 恰好落在 上的点 处，图
中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【分析】根据折叠的想找得到 ， ，推出四边形 是菱形，连接 交
于 ，根据等边三角形的性质得到 ，求得 ，根据菱形
和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：沿 折叠扇形纸片，点 恰好落在 上的点 处，
， ，
，
四边形 是菱形，
连接 交 于 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
， ，
，
图中阴影部分的面积 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： 的结果为 3 ．
【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式 ．
故答案为：3．
12．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积
的反比例函数，其函数图象如图所示．当 时，该物体承受的压强 的值为 40 0
．
第10页（共22页）【分析】设 ，把 代入得到反比例函数的解析式，再把 代入解析式即可
解决问题．
【解答】解：设 ，
函数图象经过 ，
，
，
当 时，物体所受的压强 ，
故答案为：400．
13．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙
两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验
条件下，测量它们的光合作用速率（单位： ，结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 乙 （填“甲”或“乙” ．
【分析】直接利用方差公式，进而计算得出答案．
【 解 答 】 解 ： 甲 的 方 差 为 ：
；
乙的方差为： ．
，
两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．
故答案为：乙．
14．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利
于顾客，计划以利润率不低于 的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 3 2 元．
第11页（共22页）【分析】设该护眼灯可降价 元，根据“以利润率不低于 的价格降价出售”列一元一次
不等式，求解即可．
【解答】解：设该护眼灯可降价 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
故答案为：32．
15．如图，在正方形 中，点 是边 上的一点，点 在边 的延长线上，且
，连接 交边 于点 ．过点 作 ，垂足为点 ，交边 于点 ．若
， ，则线段 的长为 ．
【 分 析 】 连 接 ， ， ， 由 正 方 形 的 性 质 可 得 ， ，
，可证得 ，可得 ， ，
从而可得 ，根据等腰三角形三线合一可得点 为 中点，由 可证得
， ， 可 得 ， 设 ， 则
， ，由勾股定理解得 ，可得 ，由勾股定理可得
，从而可得 ，由勾股定理可得 ，即可求解．
【解答】解：如图，连接 ， ， ，
四边形 为正方形，
， ， ，
，
，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
， ，
， ，
，
设 ，
， ，
第12页（共22页），
， ，
在 中，由勾股定理可得：
，
即 ，
解得： ，
， ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）解方程组： ．
【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，有理数的加法，绝对值计算即可；
（2）根据加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）① ②得： ，
，
将 代入②得： ，
，
原方程组的解为 ．
17．（8分）如图，在矩形 中， 是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为点 ，交边 于点 ，交边
于点 （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段 与 的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）利用尺规作图 线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
（2）利用矩形的性质求证 ， ，由线段的垂直平分线得出
，即可证明 ，进而得出 ．
【解答】解：（1）如图，
（2） ，证明如下：
四边形 是矩形，
，
， ，
是 的垂直平分线，
第13页（共22页），
在 和 中，
，
，
．
18．（7分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空
气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发
现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油
费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的
充电费．
【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费 元，根据题意可得等量关系：燃油汽
车所需油费200元所行驶的路程 电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关
系列出方程即可．
【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
19．（8分）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代 奋
进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校 3600名学生的读书情况，随机抽取部分
学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 形 成 了 如 下 调 查 报 告 （ 不 完 整 ）
中学学生读书情况调查报告
调查 中学学生读书情况
主题
调查 抽样调查 调查对象 中学学生
方式
第14页（共22页）数据 第一 您平均每
的收 项 周阅读课
集、 外书的时
整理 间大约是
与描 （只能单
述 选，每项
含最小
值，不含
最大值）
小时
及以上；
小
时；
小
时；
小
时．
第二 您阅读的
项 课外书的
主要来源
是（可多
选）
．自行
购买；
．从图
书馆借
阅；
．免费
数字阅
读；
．向他
人借阅．
调查
结论
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查
数据分别写出一条你获取的信息．
【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是 小时的
人数为33人，占抽样学生人数的 ，即可求解，由条形统计图可知从图书馆借阅的人数占
总数人的 ，即可求解；
（2）由扇形统计图可知平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为 ，即
可求解；
（3）由第一项可知阅读时间为“ 小时”的人数最多，“ 小时”的人数最少，由第二
项可知阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数
最少等等．
【解答】解：（1） 平均每周阅读课外书的时间大约是 小时的人数为33人，占抽样学生
人数的 ，
参与本次抽样调查的学生人数为： （人 ，
从图书馆借阅的人数占总数人的 ，
选择“从图书馆借阅”的人数为： （人 ，
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2） 平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为 ，
（人 ，
第15页（共22页）答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数为1152人；
（3）答案不唯一，如：
由第一项可知：
阅读时间为“ 小时”的人数最多，“ 小时”的人数最少，
由第二项可知：
阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．
20．（8分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我 们 知 道 ， 一 元 二 次 方 程 的 根 就 是 相 应 的 二 次 函 数
的图象（称为抛物线）与 轴交点的横坐标．抛物线与 轴的交点有三
种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有
两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与 轴的交点个数
确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标 ， 和一元二次方程根的判别式△ ，分别
分 和 两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当△ 时，有 ． ， 顶点纵坐标 ．
顶点在 轴的下方，抛物线与 轴有两个交点（如图 ．
②当△ 时，有 ． ， 顶点纵坐标 ．
顶点在 轴上，抛物线与 轴有一个交点（如图 ．
一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当△ 时，
（2） 时，抛物线开口向下．
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出
两个即可）；
．数形结合
．统计思想
．分类讨论
．转化思想
（2）请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 ，△ 时，一元二次方程
根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可
用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 ．
【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现的数学思想主要是数形结合和数形结合的
思想；
（2）参照小论文中的分析过程可得；
（3）除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识一元
一次不等式的解集等．
第16页（共22页）【解答】解：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 ；
故答案为： ；
（2） 时，抛物线开口向上，
当△ 时，有 ．
，
顶点纵坐标
顶点在 轴的上方，抛物线与 轴无交点，如图，
一元二次方程 无实数根；
（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解；
故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．
21．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离
和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 ， 两座楼之间的距离，他们借助
无人机设计了如下测量方案：无人机在 ， 两楼之间上方的点 处，点 距地面 的
高度为 ，此时观测到楼 底部点 处的俯角为 ，楼 上点 处的俯角为 ，沿
水平方向由点 飞行 到达点 ，测得点 处俯角为 ，其中点 ， ， ， ， ， ，
均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼 与 之间的距离 的长（结果精确到
．参考数据： ， ， ， ．
【分析】延长 ， 分别与直线 交于点 和点 ，则 ， ，
，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再利用
三角形的外角求出 ，从而可得 米，再在 中，利用锐角三角
函数的定义求出 的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长 ， 分别与直线 交于点 和点 ，
则 ， ， ，
在 中， ，
，
是 的一个外角，
，
，
，
在 中， ，
第17页（共22页），
，
楼 与 之间的距离 的长约为 ．
22．（13分）综合与实践
问题情境：在 中， ， ， ．直角三角板 中 ，
将三角板的直角顶点 放在 斜边 的中点处，并将三角板绕点 旋转，三角板的
两边 ， 分别与边 ， 交于点 ， ．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点 为边 的中点时，试判断四边形 的形状，
并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当 时，求线段 的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当 时，直接写出线段 的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得 ，可证 ，即可求
解；
（2）由勾股定理可求 的长，由中点的性质可得 的长，由锐角三角函数可求解；
（3）通过证明点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，可得 ，由直角三角形
的性质可求 的长，即可求解．
【解答】解：（1）四边形 是矩形，理由如下：
点 是 的中点，点 是 的中点，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形；
（2）如图2，过点 作 于 ，
， ， ，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，
，
，
第18页（共22页）又 ，
，
，
，
；
（3）如图③，连接 ， ，过点 作 于 ，
， ，
，
，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
．
23．（13分）综合与探究
如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与
轴交于点 ．点 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 的横坐标为 ．过点
作直线 轴于点 ，作直线 交 于点 ．
（1）求 ， ， 三点的坐标，并直接写出直线 的函数表达式；
（2）当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
（3）连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 运动的过程中，
是否存在点 ，使得 ，若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
第19页（共22页）【分析】（1）由 得， ， ， ，用待定系数法可得直线
解析式为 ，
（2）过 作 于 ，设 ，可得 ，
， ， ，而 ， ，即得
，证明 ，可得 ，即可解得 ；
（3）过 作 于 ，设 ，根据 ，设直线 解析式为
，可得直线 解析式为 ，从而 ，
， 证 明 ， 可 得 ， 即 得
， ，故 ，可解得 或
．
【解答】解：（1）在 中，
令 得 ，令 得 或 ，
， ， ，
设直线 解析式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
直线 解析式为 ；
（2）过 作 于 ，如图：
第20页（共22页）设 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
，
， ，
，
，即 ，
解得 （舍去）或 ，
；
（3）存在点 ，使得 ，理由如下：
过 作 于 ，如图：
设 ，
由 ， 可得直线 解析式为 ，
根据 ，设直线 解析式为 ，将 代入得：
，
，
第21页（共22页）直线 解析式为 ，
令 得 ，
，
，
同（2）可得四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
或 ，
解得 或 或 或 ，
在第一象限，
或 ．
第22页（共22页）
