文档内容
2022年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简 的结果是
A． B． C． D．0
2．（3分）实数 ， ， ， 在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
3．（3分）如图，直线 ， ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
4．（3分）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身
高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
5．（3分）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家 和 的实
践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是 ，结果甲比乙提前 到达基地，求甲、乙的速
度．设甲的速度为 ，则依题意可列方程为
A． B． C． D．
6．（3分）如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象．观察图象可得不等式
的解集为
第1页（共30页）A． B． 或 C． 或 D． 或
7．（3分）关于 的方程 实数根的情况，下列判断正确的是
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
8．（3分）如图，以边长为2的等边 顶点 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与 边
相切，分别交 ， 于 ， ，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在 轴负半轴和 轴正半轴上，点 在
上， ，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ．若 ，则
的值是
A． B． C． D．3
第2页（共30页）10．（3分）如图，已知矩形 的边长分别为 ， ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形
各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得
到四边形 ； 如此反复操作下去，则第 次操作后，得到四边形 的面积是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程 配方为 ，则 的值是 ．
12．（3分）如图，点 ， 分别在 的边 ， 的延长线上，连接 ，分别交 ，
于 ， ．添加一个条件使 ，这个条件可以是 ．（只需写一种情况）
13．（3分）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则代数式 的值是 ．
14．（3分）如图，在 中， ，通过尺规作图得到的直线 分别交 ，
于 ， ，连接 ．若 ，则 ．
第3页（共30页）15．（3分）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 ，底面直径
，球的最高点到瓶底面的距离为 ，则球的半径为 （玻璃瓶厚度忽略
不计）．
16．（3分）规定；两个函数 ， 的图象关于 轴对称，则称这两个函数互为“ 函数”．例
如：函数 与 的图象关于 轴对称，则这两个函数互为“ 函数”．若
函数 为常数）的“ 函数”图象与 轴只有一个交点，则其“ 函
数”的解析式为 ．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（8分）已知方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
18．（8分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
第4页（共30页）19．（8分）为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛
活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为 ， ， ，
四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中 ；扇形统计图中， 等级所占百分比是 ， 等级对应的扇形圆心角为
度；
（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为 等级的共有 人；
（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加
市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
20．（8分）如图，在 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图
形称为格点图形，图中 为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
（1）在图1中，作出与 全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与 有一条
公共边，且不与 重叠；
（2）在图2中，作出以 为对角线的所有格点菱形．
第5页（共30页）21．（8分）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高 （含底座），
先在点 处用测角仪测得其顶端 的仰角为 ，再由点 向城徽走 到 处，测得顶端
的仰角为 ．已知 ， ， 三点在同一直线上，测角仪离地面的高度 ，
求城徽的高 ．（参考数据： ， ， ．
22．（10分）小华同学学习函数知识后，对函数 通过列表、描点、连线，
画出了如图1所示的图象．
0 1 2 3 4
1 2 4 1 0
请根据图象解答：
（1）【观察发现】
①写出函数的两条性质： ； ；
②若函数图象上的两点 ， ， ， 满足 ，则 一定成立吗？ ．
（填“一定”或“不一定”
第6页（共30页）（2）【延伸探究】如图2，将过 ， 两点的直线向下平移 个单位长度后，得到直
线 与函数 的图象交于点 ，连接 ， ．
①求当 时，直线 的解析式和 的面积；
②直接用含 的代数式表示 的面积．
23．（10分）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售
（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量 （万件）与售价 （元 件）之间满
足函数关系式 ，第一年除60万元外其他成本为8元 件．
（1）求该产品第一年的利润 （万元）与售价 之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成
本）后，其他成本下降2元 件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
24．（12分）如图1，在矩形 中， ， ，点 是边 上一个动点（不与点
重合），连接 ，将 沿 折叠，得到 ；再以 为圆心， 的长为半径作半圆，
交射线 于 ，连接 并延长交射线 于 ，连接 ，设 ．
（1）求证： 是半圆 的切线：
（2）当点 落在 上时，求 的值；
（3）当点 落在 下方时，设 与 面积的比值为 ，确定 与 之间的函数关系
式；
（4）直接写出：当半圆 与 的边有两个交点时， 的取值范围．
第7页（共30页）第8页（共30页）2022年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简 的结果是
A． B． C． D．0
【分析】利用合并同类项的法则进行求解即可．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（3分）实数 ， ， ， 在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【分析】根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等判断即可．
【解答】解： ， ， ，
， 互为相反数，
故选： ．
3．（3分）如图，直线 ， ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】过点 作 ，利用平行线的性质可得 ，再由等腰三角形的性质
可得 ，从而可求解．
【解答】解：过点 作 ，如图，
第9页（共30页），
，
， ，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
4．（3分）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身
高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
【分析】由于共有13名排球队员，挑选7名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的大
小．
【解答】解：共有13名排球队员，挑选7名个头高的参加校排球比赛，所以小明需要知道自己
是否入选．
我们把所有同学的身高按大小顺序排列，第7名学生的身高是这组数据的中位数，
所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选．
故选： ．
5．（3分）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家 和 的实
践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是 ，结果甲比乙提前 到达基地，求甲、乙的速
度．设甲的速度为 ，则依题意可列方程为
A． B． C． D．
【分析】根据甲、乙的速度比是 ，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前 到
第10页（共30页）达基地，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可知，甲的速度为 ，则乙的速度为 ，
，
即 ，
故选： ．
6．（3分）如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象．观察图象可得不等式
的解集为
A． B． 或 C． 或 D． 或
【分析】结合图象，数形结合分析判断．
【解答】解：由图象，函数 和 的交点横坐标为 ，1，
当 或 时， ，即 ，
故选： ．
7．（3分）关于 的方程 实数根的情况，下列判断正确的是
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【分析】由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．
【解答】解： 关于 的方程 根的判别式△ ，
第11页（共30页）有两个不相等实数根，
故选： ．
8．（3分）如图，以边长为2的等边 顶点 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与 边
相切，分别交 ， 于 ， ，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【分析】作 ，由勾股定理求出 ，然后根据 得出答案．
【解答】解：由题意，以 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与 边相切，
设切点为 ，连接 ，则 ．
在等边 中， ， ，
．
在 中， ，
，
故选： ．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在 轴负半轴和 轴正半轴上，点 在
上， ，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ．若 ，则
的值是
第12页（共30页）A． B． C． D．3
【分析】根据 ，证明出 ，得到 ，过点 作
轴于点 ，根据 ，得到 ，根据平行线分线段成比例定
理得到 ，根据 ，得到 ，得到 ，根据正切的定
义即可得到 的值．
【解答】解：如图，过点 作 轴于点 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
10．（3分）如图，已知矩形 的边长分别为 ， ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形
各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得
第13页（共30页）到四边形 ； 如此反复操作下去，则第 次操作后，得到四边形 的面积是
A． B． C． D．
【分析】连接 ， ，可知四边形 的面积为矩形 面积的一半，则 ，
再根据三角形中位线定理可得 ， ，则 ，
依此可得规律．
【解答】解：如图，连接 ， ，
顺次连接矩形 各边的中点，得到四边形 ，
四边形 是矩形，
， ，
同理， ， ，
，
，
第14页（共30页）顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ，
， ，
，
依此可得 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程 配方为 ，则 的值是 1 ．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到 的值．
【解答】解： ，
，
，
，
一元二次方程 配方为 ，
，
故答案为：1．
12．（3分）如图，点 ， 分别在 的边 ， 的延长线上，连接 ，分别交 ，
于 ， ．添加一个条件使 ，这个条件可以是 （答案不唯一）
．（只需写一种情况）
【分析】由平行四边形的性质得出 ， ， ，根据全等三角形的判定可
得出结论．
【解答】解：添加 ．
四边形 是平行四边形，
第15页（共30页）， ， ，
，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
．
故答案为： （答案不唯一）．
13．（3分）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则代数式 的值是 2 ．
【分析】根据 的范围，求出 的范围，从而确定 、 的值，代入所求式子计算即可．
【解答】解： ，
，
若 的整数部分为 ，小数部分为 ，
， ，
，
故答案为：2．
14．（3分）如图，在 中， ，通过尺规作图得到的直线 分别交 ，
于 ， ，连接 ．若 ，则 ．
第16页（共30页）【分析】如图，连接 ，根据作图可知 为 的垂直平分线，从而得到 ，然后
利用勾股定理求出 ， ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接 ，
，
， ，
而根据作图可知 为 的垂直平分线，
，
在 中， ，
，
为直角三角形 斜边上的中线，
．
故答案为： ．
15．（3分）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 ，底面直径
第17页（共30页），球的最高点到瓶底面的距离为 ，则球的半径为 7. 5 （玻璃瓶厚度忽
略不计）．
【分析】设球心为 ，过 作 于 ，连接 ，设球的半径为 ，由垂径定理得
然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，设球心为 ，过 作 于 ，连接 ，
设球的半径为 ，
由题意得： ， ，
由垂径定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即球的半径为 ，
故答案为：7.5．
第18页（共30页）16．（3分）规定；两个函数 ， 的图象关于 轴对称，则称这两个函数互为“ 函数”．例
如：函数 与 的图象关于 轴对称，则这两个函数互为“ 函数”．若
函数 为常数）的“ 函数”图象与 轴只有一个交点，则其“ 函
数”的解析式为 或 ．
【分析】根据关于 轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．
【解答】解： 函数 为常数）的“ 函数”图象与 轴只有一个交点，
函数 为常数）的图象与 轴也只有一个交点，
当 时，函数解析为 ，它的“ 函数”解析式为 ，它们的图象与 轴
只有一个交点，
当 时，此函数是二次函数，
它们的图象与 轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在 轴上，
，
解得： ，
原函数的解析式为 ，
第19页（共30页）它的“ 函数”解析式为 ，
综上，“ 函数”的解析式为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（8分）已知方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
【分析】用加减消元法求出方程组的解，代入 即可得到 的取值范围．
【解答】解：① ②得： ，
，
① ②得： ，
，
代入 得： ，
．
答： 的取值范围为： ．
18．（8分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【分析】把除化为乘，再用乘法分配律，约分后计算同分母的分式相加减，化简后将 、 的值
代入即可得到答案．
【解答】解：原式
，
， ，
第20页（共30页）原式
．
19．（8分）为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛
活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为 ， ， ，
四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中 1 2 ；扇形统计图中， 等级所占百分比是 ， 等级对应的扇形圆心角
为 度；
（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为 等级的共有 人；
（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加
市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
【分析】（1）由 的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由全校共有学生人数乘以成绩为 等级的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为： （人 ，
，
扇形统计图中， 等级所占百分比是： ， 等级对应的扇形圆心角为：
第21页（共30页），
故答案为：12， ，84；
（2）估计其中成绩为 等级的共有： （人 ，
故答案为：280；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
甲、乙两人至少有1人被选中的概率为 ．
20．（8分）如图，在 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图
形称为格点图形，图中 为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
（1）在图1中，作出与 全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与 有一条
公共边，且不与 重叠；
（2）在图2中，作出以 为对角线的所有格点菱形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；
（2）根据菱形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中， ， ， ， ， 即为所求；
（2）如图2中，菱形 ，菱形 即为所求．
第22页（共30页）21．（8分）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高 （含底座），
先在点 处用测角仪测得其顶端 的仰角为 ，再由点 向城徽走 到 处，测得顶端
的仰角为 ．已知 ， ， 三点在同一直线上，测角仪离地面的高度 ，
求城徽的高 ．（参考数据： ， ， ．
【分析】延长 交 于点 ，则 ， 米， 米，
设 米，先在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再在 中，利
用锐角三角函数的定义列出关于 的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长 交 于点 ，
则 ， 米， 米，
设 米，
米，
在 中， ，
（米 ，
在 中， ，
，
第23页（共30页），
经检验： 是原方程的根，
（米 ，
城徽的高 约为12.5米．
22．（10分）小华同学学习函数知识后，对函数 通过列表、描点、连线，
画出了如图1所示的图象．
0 1 2 3 4
1 2 4 1 0
请根据图象解答：
（1）【观察发现】
①写出函数的两条性质： 函数有最大值为 4 ； ；
②若函数图象上的两点 ， ， ， 满足 ，则 一定成立吗？ ．
（填“一定”或“不一定”
（2）【延伸探究】如图2，将过 ， 两点的直线向下平移 个单位长度后，得到直
线 与函数 的图象交于点 ，连接 ， ．
①求当 时，直线 的解析式和 的面积；
②直接用含 的代数式表示 的面积．
第24页（共30页）【分析】（1）①根据函数图象可得性质；
②假设 ，则 ，再根据 求出 的值，可知 不一定成立；
（2）①首先利用待定系数法求出直线 的解析式，当 时，直线 的解析式为 ，设
直线 与 轴交于 ，利用平行线之间的距离相等，可得 的面积 的面积，从
而得出答案；
②设直线 与 轴交于 ，同理得 的面积 的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯
一）；
故答案为：函数有最大值为4，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）；
②假设 ，则 ，
，
，
，
不一定成立，
故答案为：不一定；
（2）①设直线 的解析式为 ，
第25页（共30页）则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，直线 的解析式为 ，
设直线 与 轴交于 ，
则 的面积 的面积，
，
的面积为 ；
②设直线 与 轴交于 ，
，
的面积 的面积，
第26页（共30页）由题意知， ，
．
的面积为 ．
23．（10分）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售
（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量 （万件）与售价 （元 件）之间满
足函数关系式 ，第一年除60万元外其他成本为8元 件．
（1）求该产品第一年的利润 （万元）与售价 之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成
本）后，其他成本下降2元 件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【分析】（1）根据总利润 每件利润 销售量 投资成本，列出式子即可；
（2）①构建方程即可求出该产品第一年的售价；
②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
【解答】解：（1）根据题意得： ；
（2）① 该产品第一年利润为4万元，
，
解得： ，
答：该产品第一年的售价是16元．
② 第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
，
解得 ，
设第二年利润是 万元，
，
第27页（共30页）抛物线开口向下，对称轴为直线 ，又 ，
时， 有最小值，最小值为 （万元），
答：第二年的利润至少为61万元．
24．（12分）如图1，在矩形 中， ， ，点 是边 上一个动点（不与点
重合），连接 ，将 沿 折叠，得到 ；再以 为圆心， 的长为半径作半圆，
交射线 于 ，连接 并延长交射线 于 ，连接 ，设 ．
（1）求证： 是半圆 的切线：
（2）当点 落在 上时，求 的值；
（3）当点 落在 下方时，设 与 面积的比值为 ，确定 与 之间的函数关系
式；
（4）直接写出：当半圆 与 的边有两个交点时， 的取值范围．
【分析】（1）证明 ，可得结论；
（2）图2中，当点 落在 上时，利用面积法构建方程求出 即可；
（3）图2中，当点 落在 上时，利用面积法求出 ， ，再利用相似三角形的性质求解
即可；
（4）当 与 相切时， ，当 经过点 时， ，解得 ，结合图
形，判断即可．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
将 沿 折叠，得到 ，
，
，
是半径，
是 的切线；
第28页（共30页）（2）解：如图2中，当点 落在 上时，
在 中， ， ， ，
，
，
，
．
（3）解：图2中，当点 落在 上时，
， ，
垂直平分线段 ，
，
，
，
是直径，
第29页（共30页），
，
，
；
（4）当 与 相切时， ，
当 经过点 时， ，
，
观察图象可知，当 或 时，半圆 与 的边有两个交点．
第30页（共30页）
