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2022年福建省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的。
1． 的相反数是
A． B． C． D．11
2．如图所示的圆柱，其俯视图是
A． B． C． D．
3． 应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省 终端用户
达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是
A． B． C． D．
5．如图，数轴上的点 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是
A． B． C． D．
6．不等式组 的解集是
A． B． C． D．
7．化简 的结果是
A． B． C． D．
8．2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环境空气
质量综合指数统计图．
综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地
区是
第1页（共18页）A． B． C． D．
9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ，其中 ， ，
，则高 约为
（参考数据： ， ，
A． B． C． D．
10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 ， ， ，点 对应
直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得 移动到△ ，点 对应直
尺的刻度为0，则四边形 的面积是
A．96 B． C．192 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．四边形的外角和度数是 ．
12．如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点．若 ，则 的长为 ．
13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中
第2页（共18页）摸出一个球，这个球是红球的概率是 ．
14．已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，则实数 的值可以是 ．（只需
写出一个符合条件的实数）
15．推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为 ，令 ，
等式两边都乘以 ，得 ．①
等式两边都减 ，得 ．②
等式两边分别分解因式，得 ．③
等式两边都除以 ，得 ．④
等式两边都减 ，得 ．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
16．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，抛物线 与 轴交于 ，
两点，其中 ．若 ，则 的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算： ．
18．（8分）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ， ．求证：
．
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（8分）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动
的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一
周的课外劳动时间（单位： ，并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查
组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间 （单位： ，按同样的分组方法
制成如下扇形统计图．其中 组为 ， 组为 ， 组为 ， 组为 ，
组为 ， 组为 ．
（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
第3页（共18页）（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不
小于 的人数．
21．（8分）如图， 内接于 ， 交 于点 ， 交 于点 ，交
于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为3， ，求 的长（结果保留 ．
22．（10分）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿
化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共
46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
23．（10分）如图， 是矩形 的对角线．
（1）求作 ，使得 与 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设 与 相切于点 ， ，垂足为 ．若直线 与 相切
于点 ，求 的值．
24．（12分）已知 ， ， ．
（1）如图1， 平分 ，求证：四边形 是菱形；
（2）如图2，将（1）中的 绕点 逆时针旋转（旋转角小于 ， ， 的延长线相
交于点 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的 绕点 顺时针旋转（旋转角小于 ，若 ，
求 的度数．
第4页（共18页）25．（14分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过 ， 两点．
是抛物线上一点，且在直线 的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 面积是 面积的2倍，求点 的坐标；
（3）如图， 交 于点 ， 交 于点 ．记 ， ， 的面积分别
为 ， ， ．判断 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
第5页（共18页）2022年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的。
1． 的相反数是
A． B． C． D．11
【分析】应用相反数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
2．如图所示的圆柱，其俯视图是
A． B．
C． D．
【分析】应用简单几何体的三视图判定方法进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，圆柱的俯视图如图，
．
故选： ．
3． 应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省 终端用户
达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】应用科学记数法：把一个大于10的数记成 的形式，其中 是整数数位只有一位
的数， 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式： ，其中 ，
为正整数．】
第6页（共18页）【解答】解： ．
故选： ．
4．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项 、 、 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所
以是轴对称图形，
故选： ．
5．如图，数轴上的点 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是
A． B． C． D．
【分析】应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
，
这个无理数是 ．
故选： ．
6．不等式组 的解集是
A． B． C． D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为 ．
故选： ．
7．化简 的结果是
A． B． C． D．
【分析】应用积的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
8．2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环境空气
质量综合指数统计图．
第7页（共18页）综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地
区是
A． B． C． D．
【分析】根据折线统计图的信息进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得， 地区环境空气质量综合指数约为1.9，是10个地区中最小值．
故选： ．
9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ，其中 ， ，
，则高 约为
（参考数据： ， ，
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形性质求出 ，根据角度的正切值可求出 ．
【解答】解： ， ，
， ，
，
，
，
故选： ．
10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 ， ， ，点 对应
直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得 移动到△ ，点 对应直
尺的刻度为0，则四边形 的面积是
第8页（共18页）A．96 B． C．192 D．
【分析】根据正切的定义求出 ，证明四边形 为平行四边形，根据平移的性质求出
，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在 中， ， ，
则 ，
由平移的性质可知： ， ，
四边形 为平行四边形，
点 对应直尺的刻度为12，点 对应直尺的刻度为0，
，
，
故选： ．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．四边形的外角和度数是 ．
【分析】根据多边形的外角和都是 即可得出答案．
【解答】解：四边形的外角和度数是 ，
故答案为： ．
12．如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点．若 ，则 的长为 6 ．
【分析】直接利用三角形中位线定理求解．
【解答】解： ， 分别是 ， 的中点，
为 的中位线，
．
故答案为：6．
13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中
摸出一个球，这个球是红球的概率是 ．
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
（A） ．
故答案为： ．
第9页（共18页）14．已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，则实数 的值可以是 （答案
不唯一） ．（只需写出一个符合条件的实数）
【分析】根据图象经过第二、四象限，易知 ，写一个负数即可．
【解答】解： 该反比例图象经过第二、四象限，
，
取值不唯一，可取 ，
故答案为： （答案不唯一）．
15．推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为 ，令 ，
等式两边都乘以 ，得 ．①
等式两边都减 ，得 ．②
等式两边分别分解因式，得 ．③
等式两边都除以 ，得 ．④
等式两边都减 ，得 ．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ④ ．
【分析】根据等式的基本性质和分解因式判断每一步的依据，再进行判断即可．
【解答】解：设任意一个实数为 ，令 ，
等式两边都乘以 ，得 ．①依据为等式的基本性质2；
等式两边都减 ，得 ．②依据为等式的基本性质1；
等式两边分别分解因式，得 ．③依据为分解因式；
等式两边都除以 ，得 ．④依据为等式的基本性质2；但是用法出错，
当 时，不能直接除，而题干中给出的条件是 ，此处不能直接除．
故答案为：④．
16．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，抛物线 与 轴交于 ，
两点，其中 ．若 ，则 的值为 8 ．
【分析】先判断出了抛物线与 轴的两交点坐标，进而求出 ， ，进而建立方程，求解即
可求出答案．
【解答】解：针对于抛物线 ，
令 ，则 ，
，
针对于抛物线 ，
令 ，则 ，
，
抛物线 ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
抛物线 ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
抛物线 与抛物线 的开口大小一样，与 轴相交于同一点，顶
点到 轴的距离相等，
，
，
抛物线 与 轴的交点 在左侧， 在右侧，抛物线 与 轴的交
点 在左侧， 在右侧，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
第10页（共18页），
，
故答案为：8．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算： ．
【分析】应用零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式 ．
18．（8分）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ， ．求证：
．
【分析】利用 证明 ，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
．
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式
，
当 时，原式 ．
20．（8分）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动
的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一
周的课外劳动时间（单位： ，并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查
组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间 （单位： ，按同样的分组方法
制成如下扇形统计图．其中 组为 ， 组为 ， 组为 ， 组为 ，
组为 ， 组为 ．
第11页（共18页）（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不
小于 的人数．
【分析】（1）根据中位数的定义进行判断即可；
（2）根据第2次课外劳动时间不小于 所占调查总人数的百分比，进行计算即可．
【解答】解：（1）把第1次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个
数，即处在第25、第26位的两个数都落在 组，因此第1次调查学生课外劳动时间中位数在
组；
把第2组调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列各个分组，计算所占百分比的和，和为
在 组，因此第2次调查学生课外劳动时间的中位数在 组；
（2） （人 ，
答：该校学生一周的课外劳动时间不小于 的人数大约是1400人．
21．（8分）如图， 内接于 ， 交 于点 ， 交 于点 ，交
于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为3， ，求 的长（结果保留 ．
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形 是平行四边形，由平行四边形的性质可得
，等量代换可得 ，即可得出答案；
（2）连接 ， ，由（1）中结论可计算出 的度数，根据圆周角定理可计算出
的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1） ， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
．
（2）连接 ， ，
由（1）得 ，
第12页（共18页），
，
的长 ．
22．（10分）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿
化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共
46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【分析】（1）设购买绿萝 盆，吊兰 盆，利用总价 单价 数量，结合购进两种绿植46盆共
花费390元，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买绿萝 盆，则购买吊兰 盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，即
可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，设购买两种绿植的总费用为
元，利用总价 单价 数量，即可得出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即
可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购买绿萝 盆，吊兰 盆，
依题意得： ，
解得： ．
， ，
符合题意．
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）设购买绿萝 盆，则购买吊兰 盆，
依题意得： ，
解得： ．
设购买两种绿植的总费用为 元，则 ，
，
随 的增大而增大，
又 ，且 为整数，
当 时， 取得最小值，最小值 ．
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
23．（10分）如图， 是矩形 的对角线．
（1）求作 ，使得 与 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设 与 相切于点 ， ，垂足为 ．若直线 与 相切
于点 ，求 的值．
第13页（共18页）【分析】（1）以 为圆心 长为半径画弧交 与 ，作 的垂直平分线，交 与 ，
以 为圆心 为半径画圆即为所求；
（2）设 ， 的半径为 ，证四边形 是正方形，根据 证 ，
得出 ， ，根据等量关系列出关系式求出
的值即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：
（2）设 ， 的半径为 ，
与 相切于点 ， 与 相切于点 ，
， ，
即 ，
，
，
四边形 是矩形，
又 ，
四边形 是正方形，
，
在 和 中， ， ，
，
在 中， ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
第14页（共18页）又 ，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
，
即 ，
，
，
即 的值为 ．
24．（12分）已知 ， ， ．
（1）如图1， 平分 ，求证：四边形 是菱形；
（2）如图2，将（1）中的 绕点 逆时针旋转（旋转角小于 ， ， 的延长线相
交于点 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的 绕点 顺时针旋转（旋转角小于 ，若 ，
求 的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 ，根据角平分线的定义得到
，证明四边形 为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形内角和定理证明即可；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，
，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明： ，
，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
平行四边形 为菱形；
（2）解： ，
理由如下： ，
，
，
，
，
第15页（共18页），
，
；
（3）解：如图3，在 上取点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
设 ， ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ．
25．（14分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过 ， 两点．
是抛物线上一点，且在直线 的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 面积是 面积的2倍，求点 的坐标；
（3）如图， 交 于点 ， 交 于点 ．记 ， ， 的面积分别
为 ， ， ．判断 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
第16页（共18页）【分析】（1）将点 ， 的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线 的解析式，过点 作 轴于点 ， 与 交于点
，过点 作 于点 ，可分别表达 和 的面积，根据题意列出方程求出
的长，设出点 的坐标，表达 的长，求出点 的坐标即可；
（3）由三角形面积的“背靠背模型”可得 ．
【解答】解：（1）将 ， 代入 ，
，解得 ．
抛物线的解析式为： ．
（2）设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入 ，
，
解得 ．
， ，
，
，即 ，
过点 作 轴于点 ， 与 交于点 ，过点 作 于点 ，如图，
，
．
设点 的横坐标为 ，
， ， ，
．
解得 或 ；
第17页（共18页）或 ．
（3） ，
， ，
，
，
， ，
．
设直线 交 轴于点 ．则 ，
过点 作 轴，垂足为 ， 交 于点 ，如图，
，
，
，
，
，
，
设 ， ，
由（2）可知， ，
．
，
当 时， 的最大值为 ．
第18页（共18页）
