文档内容
2022年甘肃省中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1． 的相反数是
A． B．2 C． D．
2．若 ，则 的余角的大小是
A． B． C． D．
3．不等式 的解集是
A． B． C． D．
4．用配方法解方程 时，配方后正确的是
A． B． C． D．
5．若 ， ， ，则
A． B． C． D．
6．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆
满成功．“出差”太空半年的神舟十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个
“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学
实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是
A．完成航天医学领域实验项数最多
B．完成空间应用领域实验有5项
C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的
7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节
省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房
的横截面为正六边形 ，若对角线 的长约为 ，则正六边形 的边长
为
A． B． C． D．
8．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七
日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起
飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过
多少天相遇？设经过 天相遇，根据题意可列方程为
A． B． C． D．
9．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧 ，点 是这段弧所在圆
的圆心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路 的长度为
A． B． C． D．
10．如图1，在菱形 中， ，动点 从点 出发，沿折线 方向匀
第1页（共21页）速运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如
图2所示，则 的长为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．计算： ．
12．因式分解： ．
13．若一次函数 的函数值 随着自变量 值的增大而增大，则 （写出一个满
足条件的值）．
14．如图，菱形 中，对角线 与 相交于点 ，若 ， ，则
的长为 ．
15．如图， 是四边形 的外接圆，若 ，则 ．
16．如图，在四边形 中， ， ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四
边形 成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ．
17．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条
抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： 与飞行时间 （单位： 之间具有
函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 ．
18．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，
， 交于点 ，若 是 的中点，则 的长为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
19．（4分）计算： ．
第2页（共21页）20．（4分）化简： ．
21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图 ，书
中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作
图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 如图2， 为直角，
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； ， 分别于点 ， ；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
以点 为圆心，以 长为半径画弧与 交
乙与己及庚相连作线．
于点 ；
再以点 为圆心，仍以 长为半径画弧与
交于点 ；
作射线 ， ．
（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出 ， ， 的大小关系．
22．（6分）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭
水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图 ，该桥为全国独一无二的纯
木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距
离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点 为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取 ， 两处分别测得 和
的度数 ， ， ， 在同一条直线上），河边 处测得地面 到水面 的距离
， ， 在同一条直线上， ， ， ．
数据收集：实地测量地面上 ， 两点的距离为 ，地面到水面的距离 ，
， ．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部 到水面的距离 （结果保留一位小数）．
参考数据： ， ， ， ， ，
．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京 张家口成功举
第3页（共21页）办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为： ．云顶滑雪公园、 ．国家跳台滑
雪中心、 ．国家越野滑雪中心、 ．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随
机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到 ．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
24．（7分）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、
丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的
学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位： 的
数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按 ， ， ， ， 五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的
频数分布直方图（说明： ， ， ， ， ，其中 表
示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量 平均数 众数 中位数
锻炼时间 7.3 7
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于 ，该校有600名学生，那么估计有多少名学生
能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
25．（7分）如图， ， 是反比例函数 在第一象限图象上的点，过点 的直线
与 轴交于点 ， 轴，垂足为 ， 与 交于点 ， ， ．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求 的面积．
第4页（共21页）26．（8分）如图， 内接于 ， ， 是 的直径， 是 延长线上一点，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
27．（8分）已知正方形 ， 为对角线 上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接 ， ．求证： ；
【模型应用】
（2）如图2， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ．
①判断 的形状并说明理由；
②若 为 的中点，且 ，求 的长．
【模型迁移】
（3）如图3， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ， ．求证：
．
28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，点 在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ， 不与点 ，
， 重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
（3）连接 ．
第5页（共21页）①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值．
第6页（共21页）2022年甘肃省武威市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1． 的相反数是
A． B．2 C． D．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“ ”，
据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
的相反数是： ．
故选： ．
2．若 ，则 的余角的大小是
A． B． C． D．
【分析】根据互余两角之和为 计算即可．
【解答】解： ，
的余角为： ，
故选： ．
3．不等式 的解集是
A． B． C． D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系
数为1即可得出答案．
【解答】解： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
故选： ．
4．用配方法解方程 时，配方后正确的是
A． B． C． D．
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解： ，
，即 ．
故选： ．
5．若 ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据 ，可以得到 ，然后根据 ， ，即可得到
的值．
【解答】解： ，
，
， ，
，
故选： ．
6．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆
满成功．“出差”太空半年的神舟十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个
“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学
实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是
第7页（共21页）A．完成航天医学领域实验项数最多
B．完成空间应用领域实验有5项
C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的
【分析】应用扇形统计图用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的
百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面
积表示总数（单位 ，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．进行判定即可得出答案．
【解答】解： ．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以 选项说法正确，
故 选项不符合题意；
．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的 ， 项，所
以 选项说法错误，故 选项符合题意；
．完成人因工程技术实验占完成总实验数的 ，完成空间应用领域实验占完成总实验
数的 ，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多说法正确，故 选
项不符合题意；
．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的 ，所以 选项说法正确，故
选项不符合题意．
故选： ．
7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节
省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房
的横截面为正六边形 ，若对角线 的长约为 ，则正六边形 的边长
为
A． B． C． D．
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形 的边长．
【解答】解：连接 ， ， 、 交于点 ，如右图所示，
六边形 是正六边形， 的长约为 ，
， ， 和 约为 ，
约为 ，
故选： ．
第8页（共21页）8．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七
日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起
飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过
多少天相遇？设经过 天相遇，根据题意可列方程为
A． B． C． D．
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞 ，大雁每天飞 ，当相遇的时候，根据野鸭的路程 大雁
的路程 总路程即可得出答案．
【解答】解：设经过 天相遇，
根据题意得： ，
，
故选： ．
9．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧 ，点 是这段弧所在圆
的圆心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路 的长度为
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路 的长度．
【解答】解： 半径 ，圆心角 ，
这段弯路 的长度为： ，
故选： ．
10．如图1，在菱形 中， ，动点 从点 出发，沿折线 方向匀
速运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如
图2所示，则 的长为
第9页（共21页）A． B． C． D．
【分析】根据图1和图2判定三角形 为等边三角形，它的面积为 解答即可．
【解答】解：在菱形 中， ，
为等边三角形，
设 ，由图2可知， 的面积为 ，
的面积 ，
解得： ， （舍去），
故选： ．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．计算： ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则化简即可
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
12．因式分解： ．
【分析】原式提取 ，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式 ，
故答案为：
13．若一次函数 的函数值 随着自变量 值的增大而增大，则 2 （答案不唯
一） （写出一个满足条件的值）．
【分析】根据函数值 随着自变量 值的增大而增大得到 ，写出一个正数即可．
【解答】解： 函数值 随着自变量 值的增大而增大，
，
（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
14．如图，菱形 中，对角线 与 相交于点 ，若 ， ，则
的长为 8 ．
【分析】由菱形的性质可得 ， ，由勾股定理可求 ，即可求解．
【解答】解： 四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
，
，
第10页（共21页），
故答案为：8．
15．如图， 是四边形 的外接圆，若 ，则 7 0 ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．
【解答】解： 四边形 内接于 ， ，
，
故答案为：70．
16．如图，在四边形 中， ， ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四
边形 成为一个矩形，只需添加的一个条件是 （答案不唯一） ．
【分析】先证四边形 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：需添加的一个条件是 ，理由如下：
， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是矩形，
故答案为： （答案不唯一）．
17．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条
抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： 与飞行时间 （单位： 之间具有
函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 2 ．
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解： ，
且 ，
当 时， 取最大值20，
故答案为：2．
18．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，
， 交于点 ，若 是 的中点，则 的长为 ．
第11页（共21页）【分析】根据矩形的性质可得 ， ， ，从而可得
，然后利用直角三角形斜边上的中线可得 ，从而可得
，进而可得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质
可求出 的长，最后在 中，利用勾股定理求出 的长，即可解答．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
19．（4分）计算： ．
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
20．（4分）化简： ．
【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
【解答】解：原式
．
21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图 ，书
中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作
第12页（共21页）图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 如图2， 为直角，
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； ， 分别于点 ， ；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
以点 为圆心，以 长为半径画弧与 交
乙与己及庚相连作线．
于点 ；
再以点 为圆心，仍以 长为半径画弧与
交于点 ；
作射线 ， ．
（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出 ， ， 的大小关系．
【分析】（1）按题干直接画图即可．
（2）连接 ， ，可得 和 均为等边三角形，则 ，进而可
得 ．
【解答】解：（1）如图，射线 ， 即为所求．
（2） ．
理由：连接 ， ，
则 ， ，
即 和 均为等边三角形，
，
第13页（共21页），
．
22．（6分）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭
水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图 ，该桥为全国独一无二的纯
木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距
离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点 为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取 ， 两处分别测得 和
的度数 ， ， ， 在同一条直线上），河边 处测得地面 到水面 的距离
， ， 在同一条直线上， ， ， ．
数据收集：实地测量地面上 ， 两点的距离为 ，地面到水面的距离 ，
， ．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部 到水面的距离 （结果保留一位小数）．
参考数据： ， ， ， ， ，
．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【分析】设 ，根据题意可得： ，然后在 中，利用锐角三角函
数的定义求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义列出关于 的方程，进行
计算即可解答．
【解答】解：设 ，
由题意得：
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
经检验： 是原方程的根，
，
灞陵桥拱梁顶部 到水面的距离 约为 ．
23．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京 张家口成功举
办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为： ．云顶滑雪公园、 ．国家跳台滑
雪中心、 ．国家越野滑雪中心、 ．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随
机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到 ．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果
有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明被分配到 ．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是 ；
第14页（共21页）（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
24．（7分）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、
丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的
学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位： 的
数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按 ， ， ， ， 五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的
频数分布直方图（说明： ， ， ， ， ，其中 表
示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量 平均数 众数 中位数
锻炼时间 7.3 7
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： 6 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于 ，该校有600名学生，那么估计有多少名学生
能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
【分析】（1）由众数的定义可得出答案．
（2）结合收集的数据，求出 组的人数，即可补全频数分布直方图．
（3）用总人数乘以样本中每周不少于 的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目
标，即目标合理．
【解答】解：（1）由数据可知，6出现的次数最多，
．
故答案为：6．
（2）补全频数分布直方图如下：
第15页（共21页）（3） （名 ．
答：估计有340名学生能完成目标．
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
25．（7分）如图， ， 是反比例函数 在第一象限图象上的点，过点 的直线
与 轴交于点 ， 轴，垂足为 ， 与 交于点 ， ， ．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求 的面积．
【分析】（1）根据直线 求出点 坐标，进而确定 ， 的值，再确定点 的坐标，
代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点 坐标，进而求出 ，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点 的坐
标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）当 时，即 ，
，
即直线 与 轴交于点 的坐标为 ，
，
又 ，
点 的坐标为 ，
而点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的图象为 ；
第16页（共21页）（2）方程组 的正数解为 ，
点 的坐标为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，即 ，
，
，
答： 的面积为1．
26．（8分）如图， 内接于 ， ， 是 的直径， 是 延长线上一点，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是 ，得出 ，根据圆周角定理得出
，推出 即可得出结论；
（2）根据 得出 ，再根据勾股定理得出 即可．
【解答】（1）证明： 是 的直径，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：由（1）知， ，
在 和 中，
， ，
，
即 ，
，
在 中， ， ，
，
解得 ，
即线段 的长为4．
27．（8分）已知正方形 ， 为对角线 上一点．
【建立模型】
第17页（共21页）（1）如图1，连接 ， ．求证： ；
【模型应用】
（2）如图2， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ．
①判断 的形状并说明理由；
②若 为 的中点，且 ，求 的长．
【模型迁移】
（3）如图3， 是 延长线上一点， ， 交 于点 ， ．求证：
．
【分析】（1）先判断出 ， ，进而判断出 ，即可得
出结论；
（2）①先判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论；
②过点 作 于 ，先求出 ， ，进而求出 ，进而求出
，最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出 ，由（1）知， ，由（2）知， ，即可判断出结论．
【解答】（1）证明： 是正方形 的对角线，
， ，
，
，
；
（2）解：① 为等腰三角形，理由：
四边形 是正方形，
，
，
由（1）知， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
②如图，过点 作 于 ，
四边形 为正方形，点 为 的中点， ，
， ，
由①知， ，
，
，
在 与 中， ，
，
第18页（共21页），
，
在 中， ；
（3） ，
，
在 中， ，
，
由（1）知， ，
由（2）知， ，
．
28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，点 在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ， 不与点 ，
， 重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
（3）连接 ．
①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数解析式求出 的长度，根据三角函数求出 的长度，根据 点的坐标得出
的长度，根据 得出结论即可；
（3）①连接 交 于点 ，设 ，则 ，得出 ，
，根据 点在抛物线上得出 的值，即可得出 点的坐标；
②方法一：在 的下方作 ，且 ，连接 ， ，构造
，得出当 、 、 三点共线时， 最小，最小为 ，求出
的值即可．
方法二：过点 作 轴，使得 ．证 全等于 ，则 所以 、
、 三点共线时 取到最小值，求出此时 的长即可．
第19页（共21页）【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
解得 ，
，
即抛物线的表达式为 ；
（2）在 中，令 ，得 或4，
， ，
，
，
，
， ，
，
轴，
，
，
，
；
（3）①如下图，连接 交 于点 ，
与 关于 轴对称，
， ，
设 ，则 ，
，
， ，
点 ， 在抛物线 上，
，
解得 或3（舍去），
， ；
第20页（共21页）②如下图，在 的下方作 ，且 ，连接 ， ，
，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，最小为 ，
过点 作 ，垂足为 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
即 的最小值为 ；
方法二：过点 作 轴，使得 ，作 延长线于点 ，
，
又 ， ，
，
，
、 、 三点共线时 取到最小值，
， ， ，
的长 ．
第21页（共21页）
