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2022年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上，
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运
同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗，
让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全国31个省（自
治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗336905万剂次．数据
336905万用科学记数法表示为（ ）
A．0.336905×1010 B．3.36905×1010
C．3.36905×109 D．33.6905×109
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a4•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a3+a3＝a6
5．（3分）在实数 ，x0（x≠0），cos30°， 中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当
水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
第1页（共31页）A．27° B．53° C．57° D．63°
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一元一次方程 ﹣1＝x的解是x＝2
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C．从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中
D．将一次函数y＝﹣2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y＝﹣
2x+1
8．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长
短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去
量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长
多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，矩形OABC与反比例函数y ＝ （k 是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，
1 1
与反比例函数y ＝ （k 是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形
2 2
OMBN的面积为3，则k ﹣k ＝（ ）
1 2
第2页（共31页）A．3 B．﹣3 C． D．
10．（3分）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（
）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝ ，且经过
点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（ ，y ），（3，y ）是抛物线上的两点，则y ＜
1 2 1
y ；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第3页（共31页）12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角
线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA
＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜3+ B．3﹣ ＜m＜4 C．2﹣ ＜m＜3 D．4＜m＜4+
二、填空题：本题共4个小题，每小题3分，易分2分不需写出解答过程，请将答案直接写在
答题卡相应位置上。
13．（3分）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如
图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，且x 2+x 2＝
1 2 1 2
，则m＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段
PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．
第4页（共31页）三、解答题：本题共6个小题，满分72分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）先化简再求值：（m+2﹣ ）× ，其中m＝4．
（2）解不等式组 并将解集表示在所给的数轴上．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC
上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是 O的切线；
（2）若AC＝ ，求图⊙中阴影部分的面积．
19．（12分）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进
行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整
理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a
＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布
第5页（共31页）直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ ，y＝ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的
中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2
人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知
识竞赛的概率．
20．（12分）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场
的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：
2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中
甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪
500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
21．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，
BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
第6页（共31页）（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接
AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM ﹣S△BMN ，问是否存在这样的点P，使
得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
第7页（共31页）2022年山东省日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上，
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（3分）山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运
同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
第8页（共31页）故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗，
让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全国31个省（自
治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗336905万剂次．数据
336905万用科学记数法表示为（ ）
A．0.336905×1010 B．3.36905×1010
C．3.36905×109 D．33.6905×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：336905万＝3369050000＝3.36905×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a4•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a3+a3＝a6
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，
进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、a4•a2＝a6，故B符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、a3+a3＝2a3，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，
熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5．（3分）在实数 ，x0（x≠0），cos30°， 中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
第9页（共31页）【解答】解：在实数 ，x（0 x≠0）＝1，cos30°＝ ， ＝2中，有理数是 ，x（0 x≠0），
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题
的关键．
6．（3分）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当
水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27° B．53° C．57° D．63°
【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，
再根据平行线的性质求出∠AED．
【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，
∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB＝63°．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：
①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④
对角线：矩形的对角线相等．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
第10页（共31页）A．一元一次方程 ﹣1＝x的解是x＝2
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C．从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中
D．将一次函数y＝﹣2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y＝﹣
2x+1
【分析】根据一元一次方程的解的概念，方差的意义，抽屉原理，一次函数图象平移的规律
逐项判断．
【解答】解：一元一次方程 ﹣1＝x的解是x＝﹣2，故A错误，不符合题意；
在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较小的同学的成绩更稳定，故
B错误，不符合题意；
从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中，故C正确，符合题
意；
将一次函数y＝﹣2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y＝﹣2x+7，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的解，方差的应用，抽屉原理的应用，一次函数图象的平移
等知识，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
8．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长
短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去
量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长
多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩
余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程
组，此题得解．
第11页（共31页）【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得 ．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组．
9．（3分）如图，矩形OABC与反比例函数y ＝ （k 是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，
1 1
与反比例函数y ＝ （k 是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形
2 2
OMBN的面积为3，则k ﹣k ＝（ ）
1 2
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：∵点M、N均是反比例函数y ＝ （k 是非零常数，x＞0）的图象上，
1 1
∴S△OAM ＝S△OCN ＝ k
1
，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y ＝ （k 是非零常数，x＞0）的图象上，
2 2
∴S矩形OABC ＝k
2
，
∴S矩形OMBN ＝S矩形OABC ﹣S△OAM ﹣S△OCN ＝3，
∴k ﹣k ＝3，
2 1
∴k ﹣k ＝﹣3，
1 2
故选：B．
第12页（共31页）【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象
中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|
k|．
10．（3分）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（
）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从左面看得到从左往右
3列正方形的个数依次为1，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次，2，2，1，
依此画出图形即可判断．
【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最
大．
故选：C．
【点评】本题主要考查作图﹣三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视
图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝ ，且经过
点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（ ，y ），（3，y ）是抛物线上的两点，则y ＜
1 2 1
y ；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ）
2
第13页（共31页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由对称轴为x＝ 即可判断①；根据点（ ，y ），（3，y ）到对称轴的距离即可判断
1 2
②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣ ＝ ，得出a＝﹣ b，代
入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．
【解答】解：∵对称轴x＝﹣ ＝ ，
∴b＝﹣3a，
∴3a+b＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，点（ ，y ）到对称轴的距离小于点（3，y ）的距离，
1 2
∴y ＜y ，故②正确；
1 2
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴x＝﹣ ＝ ，
∴a＝﹣ b，
∴﹣ b﹣b+c＝0，
∴3c＝4b，
∴4b﹣3c＝0，故③错误；
∵对称轴x＝ ，
第14页（共31页）∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性
质是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角
线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA
＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜3+ B．3﹣ ＜m＜4 C．2﹣ ＜m＜3 D．4＜m＜4+
【分析】先求得点A，C，B三个点坐标，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的长，
进而表示出点P的横坐标，根据不等式的性质求得结果．
【解答】解：可得C（ ， ），A（4，0），B（4+ ， ），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，
∴x＝y+4，
直线AC的解析式为：y＝ ﹣ ，
∴x＝4+y﹣2 y，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：4+y﹣2 y，
∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2 y）＝2 ，
∵EP＝3PF，
∴PF＝ EF＝ y，
∴点P的横坐标为：y+4﹣ y，
第15页（共31页）∵0＜y＜ ，
∴4＜y+4﹣ y＜3﹣ ，
故答案为：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决
问题的关键是表示出点P的横坐标．
二、填空题：本题共4个小题，每小题3分，易分2分不需写出解答过程，请将答案直接写在
答题卡相应位置上。
13．（3分）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x ≤ ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣2x≥0，
解得：x≤ ，
故答案为：x≤ ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
14．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如
图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC
即可．
【解答】解：连接AC，
第16页（共31页）∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝13（cm），
所以圆形镜面的半径为 cm，
故答案为： cm．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据
圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
15．（3分）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，且x 2+x 2＝
1 2 1 2
，则m＝ ﹣ 或 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣2，x x ＝ ，再由x 2+x 2＝ 变形得到
1 2 1 2 1 2
（x +x ）2﹣2x x ＝ ，即可得到4m﹣2×m＝ ，然后解此方程即可．
1 2 1 2
【解答】解：根据题意得x +x ＝﹣2m，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝ ，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝ ，
1 2 1 2
∴4m2﹣m＝ ，
第17页（共31页）∴m ＝﹣ ，m ＝
1 2
故答案为：﹣ 或 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根
1 2
时，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段
PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 2 ．
【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F F 时，垂线段OF最短，当点F 在x
1 2 1
轴上时，由勾股定理得：P O＝F O＝ ，进而得P A＝P F ＝AF ＝ ，求得点F 的
1 1 1 1 1 1 1
坐标为（ ，0），当点F 在y轴上时，求得点F 的坐标为（0，﹣4），最后根据待定系数
2 2
法，求得直线F F 的解析式为y＝ x﹣4，再由线段中垂线性质得出F F ＝AF ＝ ，
1 2 1 2 1
在Rt△OF F 中，设点O到F F 的距离为h，则根据面积法得 ×OF ×OF ＝ ×F F ×h，
1 2 1 2 1 2 1 2
即 × ×4＝ × ×h，解得h＝2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值
为2．
【解答】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF＝60°，PF＝PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝AF，
第18页（共31页）如图，当点F 在x轴上时，△P AF 为等边三角形，
1 1 1
则P A＝P F ＝AF ，∠AP F ＝60°，
1 1 1 1 1 1
∵AO⊥P F ，
1 1
∴P O＝F O，∠AOP ＝90°，
1 1 1
∴∠P AO＝30°，且AO＝4，
1
由勾股定理得：P O＝F O＝ ，
1 1
∴P A＝P F ＝AF ＝ ，
1 1 1 1
∴点F 的坐标为（ ，0），
1
如图，当点F 在y轴上时，
2
∵△P AF 为等边三角形，AO⊥P O，
2 2 2
∴AO＝F O＝4，
2
∴点F 的坐标为（0，﹣4），
2
∵tan∠OF F ＝ ＝ ＝ ，
1 2
∴∠OF F ＝60°，
1 2
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F F 时，线段OF最短，
1 2
设直线F F 的解析式为y＝kx+b，
1 2
则 ，
解得 ，
∴直线F F 的解析式为y＝ x﹣4，
1 2
∵AO＝F O＝4，AO⊥P F ，
2 1 1
∴F F ＝AF ＝ ，
1 2 1
在Rt△OF F 中，OF⊥F F ，
1 2 1 2
设点O到F F 的距离为h，则
1 2
第19页（共31页）×OF ×OF ＝ ×F F ×h，
1 2 1 2
∴ × ×4＝ × ×h，
解得h＝2，
即线段OF的最小值为2，
故答案为2．
【点评】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形
的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积
法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
三、解答题：本题共6个小题，满分72分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）先化简再求值：（m+2﹣ ）× ，其中m＝4．
（2）解不等式组 并将解集表示在所给的数轴上．
【分析】（1）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案；
（2）直接解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝ ×
＝ ×
＝（m﹣3）（m﹣1）
第20页（共31页）＝m2﹣4m+3，
当m＝4时，
原式＝42﹣4×4+3
＝3；
（2） ，
解①得：x＞2，
解②得：x≤4，
故不等式组的解集是：2＜x≤4，
解集在数轴上表示：
．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，正确掌握相关运算法
则是解题关键．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC
上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是 O的切线；
（2）若AC＝ ，求图⊙中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝ AB，求出∠A
第21页（共31页）＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD＝ AB，求出AD＝AC，根据等边
三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝
60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD＝AC＝ ，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别
求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝ AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝ AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
第22页（共31页）∴直线AB是 O的切线；
⊙
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝ AB，
又∵AC＝ ，
∴BD＝AC＝ ，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（ ）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO ﹣S扇形DOE ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识
点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
19．（12分）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进
行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整
理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a
＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布
直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ 30% ，y＝ 16% ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的
中位数是 9 5 ，众数是 9 4 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
第23页（共31页）（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2
人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知
识竞赛的概率．
【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；
（2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
∴优秀对应的百分比y＝ ×100%＝16%，
则一般对应的人数为50﹣（4+23+8）＝15（人），
∴其对应的百分比x＝ ×100%＝30%，
补全图形如下：
故答案为：30%，16%．
（2）将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为 ＝95，众数为94，
故答案为：95、94；
（3）估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%＝192（人）；
（4）画树状图为：
第24页（共31页）共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有8种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
20．（12分）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场
的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：
2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中
甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪
500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面
于E，根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，可得AF＝ AB＝135（m），由BC的坡度i＝1：2.4，
设BE＝tm，则CE＝2.4tm，可得t2+（2.4t）2＝2602，即可得h＝AF+BE＝235（m）；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得： ＝ ，即方程并检验可得甲种设备
每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【解答】解：（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地
面于E，如图：
第25页（共31页）根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AF＝ AB＝135（m），
∵BC的坡度i＝1：2.4，
∴BE：CE＝1：2.4，
设BE＝tm，则CE＝2.4tm，
∵BE2+CE2＝BC2，
∴t2+（2.4t）2＝2602，
解得t＝100（m），（负值已舍去），
∴h＝AF+BE＝235（m），
答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，
根据题意得： ＝ ，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意，
∴x+35＝50，
答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【点评】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出
分式方程．
21．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，
BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
第26页（共31页）【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论；
（2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE＝PE＝PF＝BF，从而得出ME＝EG＝GF＝
NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果；
②将△BCF 逆时针旋转 90°至△ACD，连接 DE，可推出 DE＝EF，进而推出
△DCF≌△FCE，进一步得出结果．
【解答】解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，
∴AE＝ ，BE＝ ，
∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
＝4 ，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝ [4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]，
∵ab＝8，
EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∴AE2+BF2＝EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）①如图1，
连接PC交EF于G，
∵a＝b，
∴ME＝AM＝BN＝NF，
第27页（共31页）∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PEG＝90°，
∵CM＝CN＝PM＝PN，
∴PE＝PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，
EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，
∴PE＝AE＝PF＝BF，
∴ME＝EG＝FG＝FN，
∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECG+∠FCG＝ ；
②如图2，
仍然成立，理由如下：
将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，
∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2
∵EF2＝BF2+AE2，
∴DE＝EF，
∵CD＝CF，CE＝CE，
∴△DCF≌△FCE（SSS），
第28页（共31页）∴∠ECF＝∠DCF＝ ．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三
角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接
AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM ﹣S△BMN ，问是否存在这样的点P，使
得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y＝﹣x2+m（2x+3），进而根据2x+3＝0，求得x的值，进而求
得结果；
（3）将S变形为：S＝（S△PAM ﹣+S四边形AONM ）﹣（S四边形AONM +S△BMN ）＝S四边形AONP ﹣S△AOB ，
设P（m，﹣m2+2m+3），设PD的解析式为：y＝kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得
PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【解答】（1）解：把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3得，
﹣9+6m+3m＝0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵y＝﹣x2+m（2x+3），
∴当2x+3＝0时，即x＝﹣ 时，
y＝﹣ ，
第29页（共31页）∴D（﹣ ，﹣ ）；
（3）如图，
连接OP，
设P（m，﹣m2+2m+3），
设PD的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴ON＝﹣ ，
∵S＝S△PAM ﹣S△BMN ，
∴S＝（S△PAM ﹣+S四边形AONM ）﹣（S四边形AONM +S△BMN ）＝S四边形AONP ﹣S△AOB ，
∵ S 四 边 形 AONP ＝ S△ AOP +S△ PON ＝ + ＝ +
＝﹣ + + ，S△AOB ＝ ＝ ，
∴S＝﹣ + m＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，S最大 ＝ ，
第30页（共31页）当m＝ 时，y＝﹣（ ）2+2× +3＝ ，
∴P（ ， ）．
【点评】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数及其图象性质等知识，解决问题的关
键是变形S，转化为常见的面积计算．
第31页（共31页）
