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2019年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1．（3分）（2019•天津）计算 的结果等于
A． B． C．27 D．6
2．（3分）（2019•天津） 的值等于
A． B．2 C．1 D．
3．（3分）（2019•天津）据2019年3月21日《天津日报》报道，“伟大的变革 庆祝改革开
放40周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4230000人次．将
4230000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作
是轴对称图形的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图
是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•天津）估计 的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）（2019•天津）计算 的结果是
A．2 B． C．1 D．
第1页（共27页）8．（3分）（2019•天津）如图，四边形 为菱形， ， 两点的坐标分别是 ， ，点
， 在坐标轴上，则菱形 的周长等于
A． B． C． D．20
9．（3分）（2019•天津）方程组 的解是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•天津）若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，
则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
11．（3分）（2019•天津）如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰
好落在边 上，点 的对应点为 ，连接 ，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
12．（3分）（2019•天津）二次函数 ， ， 是常数， 的自变量 与函数
值 的部分对应值如下表：
0 1 2
第2页（共27页）且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：
① ；② 和3是关于 的方程 的两个根；③ ．
其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）
13．（3分）（2019•天津）计算 的结果等于 ．
14．（3分）（2019•天津）计算 的结果等于 ．
15．（3分）（2019•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这
些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
16．（3分）（2019•天津）对于直线 与 轴的交点坐标是 ．
17．（3分）（2019•天津）如图，正方形纸片 的边长为12， 是边 上一点，连接 、
折叠该纸片，使点 落在 上的 点，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，点 在 上，若
，则 的长为 ．
18．（3分）（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 在格点
上， 是小正方形边的中点， ， ，经过点 ， 的圆的圆心在边
上．
（Ⅰ）线段 的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 ，使其满足
，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
第3页（共27页）三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（2019•天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）（2019•天津）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位： ，随机调查
了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解
答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计
该校每天在校体育活动时间大于 的学生人数．
21．（10分）（2019•天津）已知 ， 分别与 相切于点 ， ， ， 为
上一点．
第4页（共27页）（Ⅰ）如图①，求 的大小；
（Ⅱ）如图②， 为 的直径， 与 相交于点 ．若 ，求 的大小．
22．（10分）（2019•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在 处测得正东方向上一座灯
塔的最高点 的仰角为 ，再向东继续航行 到达 处，测得该灯塔的最高点 的仰角
为 ，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度 （结果取整数）．
参考数据： ， ， ．
23．（10分）（2019•天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量
是多少，价格均为6元 ．在乙批发店，一次购买数量不超过 时，价格为7元 ；一次
购买数量超过 时，其中有 的价格仍为7元 ，超过 部分的价格为5元 ．
设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 ．
（Ⅰ）根据题意填表：
一次购买数量 30 50 150
甲批发店花费 元 300
乙批发店花费 元 350
（Ⅱ）设在甲批发店花费 元，在乙批发店花费 元，分别求 ， 关于 的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批
发店一次购买苹果的数量为 ；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 ，则他在甲、乙两个批发店中的
批发店购买花费少；
第5页（共27页）③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批
发店购买数量多．
24．（10分）（2019•天津）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上，
．矩形 的顶点 ， ， 分别在 ， ， 上， ．
（Ⅰ）如图①，求点 的坐标；
（Ⅱ）将矩形 沿 轴向右平移，得到矩形 ，点 ， ， ， 的对应点分别为
， ， ， ．设 ，矩形 与 重叠部分的面积为 ．
①如图②，当矩形 与 重叠部分为五边形时， ， 分别与 相交于点
， ，试用含有 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
②当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（10分）（2019•天津）已知抛物线 ， 为常数， 经过点 ，点
是 轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当 时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点 在抛物线上，当 ， 时，求 的值；
（Ⅲ）点 ， 在抛物线上，当 的最小值为 时，求 的值．
第6页（共27页）2019 年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1．（3分）计算 的结果等于
A． B． C．27 D．6
【考点】有理数的乘法
【分析】由正数与负数的乘法法则得 ；
【解答】解： ；
故选： ．
2．（3分） 的值等于
A． B．2 C．1 D．
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解： ，
故选： ．
3．（3分）据2019年3月21日《天津日报》报道，“伟大的变革 庆祝改革开放40周年大型
展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4230000人次．将4230000用科
学记数法表示应为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值是易
错点，由于4230000有7位，所以可以确定 ．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图
形的是
第7页（共27页）A． B． C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： 、是轴对称图形，故本选项正确；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选： ．
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．
故选： ．
6．（3分）估计 的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小
【分析】由于 ，于是 ，从而有 ．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
第8页（共27页）7．（3分）计算 的结果是
A．2 B． C．1 D．
【考点】分式的加减法
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故选： ．
8．（3分）如图，四边形 为菱形， ， 两点的坐标分别是 ， ，点 ， 在坐标
轴上，则菱形 的周长等于
A． B． C． D．20
【考点】坐标与图形性质；菱形的性质
【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解： ， 两点的坐标分别是 ， ，
，
四边形 是菱形，
菱形的周长为 ，
故选： ．
9．（3分）方程组 的解是
第9页（共27页）A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】运用加减消元分解答即可．
【解答】解： ，
① ②得， ，
把 代入①得， ，解得 ，
故原方程组的解为： ．
故选： ．
10．（3分）若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ，
的大小关系是
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】分别计算出自变量为 、 和1对应的函数值，从而得到 ， ， 的大小关系．
【解答】解：当 ， ；
当 ， ；
当 ， ，
所以 ．
故选： ．
11．（3分）如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在边
上，点 的对应点为 ，连接 ，下列结论一定正确的是
第10页（共27页）A． B． C． D．
【考点】旋转的性质
【分析】根据旋转的性质得到 ， ， ，故 错误， 错误；
得 到 ， 根 据 三 角 形 的 内 角 和 得 到 ，
，求得 ，故 正确；由于 不一定等于 ，于
是得到 不一定等于 ，故 错误．
【解答】解： 将 绕点 顺时针旋转得到 ，
， ， ，故 错误， 错误；
，
， ，
，故 正确；
不一定等于 ，
不一定等于 ，故 错误
故选： ．
12．（3分）二次函数 ， ， 是常数， 的自变量 与函数值 的部分对
应值如下表：
0 1 2
且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：
① ；② 和3是关于 的方程 的两个根；③ ．
其中，正确结论的个数是
第11页（共27页）A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】①当 时， ，当 时， ， ，①正确；
② 是对称轴， 时 ，则 时， ，②正确；
③ ；当 时， ， ， ，③错误；
【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
，
，
，
①正确；
是对称轴，
时 ，则 时， ，
和3是关于 的方程 的两个根；
②正确；
， ，
，
，
当 时， ，
，
，
③错误；
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）
13．（3分）计算 的结果等于 ．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解答．
第12页（共27页）【解答】解： ．
故答案为：
14．（3分）计算 的结果等于 2 ．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式
．
故答案为2．
15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色
外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【考点】概率公式
【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 ．
故答案为 ．
16．（3分）对于直线 与 轴的交点坐标是 ， ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】当直线 与 轴相交时， ；将 代入函数解析式求 值．
【解答】解：根据题意，知，
当直线 与 轴相交时， ，
，
解得， ；
直线 与 轴的交点坐标是 ， ；
故答案是： ， ．
17．（3分）如图，正方形纸片 的边长为12， 是边 上一点，连接 、折叠该纸片，
使点 落在 上的 点，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，点 在 上，若 ，则
第13页（共27页）的长为 ．
【考点】正方形的性质； ：翻折变换（折叠问题）
【分析】由折叠及轴对称的性质可知， ， 垂直平分 ，先证 ，
推出 的长，再利用勾股定理求出 的长，最后在 中利用面积法可求出 的
长，可进一步求出 的长， 的长．
【解答】解： 四边形 为正方形，
， ，
由折叠及轴对称的性质可知， ， 垂直平分 ，
， ，
，
又 ，
，
，
，
在 中，
，
，
，
，
，
，
，
第14页（共27页）故答案为： ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 在格点上， 是小正
方形边的中点， ， ，经过点 ， 的圆的圆心在边 上．
（Ⅰ）线段 的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 ，使其满足
，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【考点】作图 复杂作图；圆周角定理；勾股定理
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点 ， ，连接 与 交于一点，则这一点是圆心 ， 与
网格线相交于 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延长，与 ， 的连线相交于点
，连接 ，于是得到结论．
【解答】解：（Ⅰ） ，
故答案为： ；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点 ， ，连接 与 交于一点，则这一点是圆心 ， 与
网格线相交于 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延长，与 ， 的连线相交于点
，连接 ，则点 满足 ，
故答案为：取圆与网格的交点 ， ，连接 与 交于一点，则这一点是圆心 ， 与网
格线相交于 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延长，与 ， 的连线相交于点 ，
第15页（共27页）连接 ，则点 满足 ．
三、解答题（本大题共7小题,共66分,解答度写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
故答案为： ， ， ．
20．（8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位： ，随机调查了该校的部分
初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
第16页（共27页）（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 4 0 ，图①中 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计
该校每天在校体育活动时间大于 的学生人数．
【考点】众数；扇形统计图；算术平均数；用样本估计总体；条形统计图；中位数
【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得 的值；
（Ⅱ）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（Ⅲ）根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于 的学生人数．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为： ，
，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）平均数是： ，
众数是1.5，中位数是1.5；
（Ⅲ） （人 ，
答：该校每天在校体育活动时间大于 的学生有720人．
21．（10分）已知 ， 分别与 相切于点 ， ， ， 为 上一点．
（Ⅰ）如图①，求 的大小；
（Ⅱ）如图②， 为 的直径， 与 相交于点 ．若 ，求 的大小．
第17页（共27页）【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】（Ⅰ）连接 、 ，根据切线的性质得到 ，根据四边形内角和
等于 计算；
（Ⅱ）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性
质计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接 、 ，
， 是 的切线，
，
，
由圆周角定理得， ；
（Ⅱ）连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
．
第18页（共27页）22．（10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在 处测得正东方向上一座灯塔的最高点
的仰角为 ，再向东继续航行 到达 处，测得该灯塔的最高点 的仰角为 ，根据测
得的数据，计算这座灯塔的高度 （结果取整数）．
参考数据： ， ， ．
【考点】解直角三角形的应用 仰角俯角问题
【分析】根据正切的定义用 表示出 ，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：在 中， ，
则 ，
在 中， ，
，
，
，
解得， ，
答：这座灯塔的高度 约为 ．
23．（10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格
均为6元 ．在乙批发店，一次购买数量不超过 时，价格为7元 ；一次购买数量超
过 时，其中有 的价格仍为7元 ，超过 部分的价格为5元 ．设小王在同
一个批发店一次购买苹果的数量为 ．
（Ⅰ）根据题意填表：
第19页（共27页）一次购买数量 30 50 150
甲批发店花费 元 18 0 300
乙批发店花费 元 350
（Ⅱ）设在甲批发店花费 元，在乙批发店花费 元，分别求 ， 关于 的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批
发店一次购买苹果的数量为 ；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 ，则他在甲、乙两个批发店中的
批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批
发店购买数量多．
【考点】一次函数的应用
【分析】（Ⅰ）根据题意，甲批发店花费 （元 购买数量 （千克）； ，
；而乙批发店花费 （元 ，当一次购买数量不超过 时，
元；一次购买数量超过 时， 元．
（Ⅱ）根据题意，甲批发店花费 （元 购买数量 （千克）；而乙批发店花费 （元 在一
次购买数量不超过 时， （元 购买数量 （千克）；一次购买数量超过 时，
（元 ；即：花费 （元 是购买数量 （千克）的分段函数．
（Ⅲ）①花费相同，即 ；可利用方程解得相应的 的值；
②求出在 时，所对应的 、 的值，比较得出结论．实际上是已知自变量的值求函数
值．
③求出当 时，两店所对应的 的值，比较得出结论．实际是已知函数值求相应的自变
量的值．
第20页（共27页）【解答】解：（Ⅰ）甲批发店： 元， 元；乙批发店： 元，
元．
故依次填写：180 900 210 850．
（Ⅱ）
当 时，
当 时，
因此 ， 与 的函数解析式为： ；
（Ⅲ）①当 时，有： ，解得 ，不和题意舍去；
当 时，也有： ，解得 ，
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．
②当 时， 元， 元，
乙批发店花费少．
故乙批发店花费少．
③当 时，即： 和 ；解得 和 ，
甲批发店购买数量多．
故甲批发店购买的数量多．
24．（10分）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上，
．矩形 的顶点 ， ， 分别在 ， ， 上， ．
（Ⅰ）如图①，求点 的坐标；
（Ⅱ）将矩形 沿 轴向右平移，得到矩形 ，点 ， ， ， 的对应点分别为
， ， ， ．设 ，矩形 与 重叠部分的面积为 ．
①如图②，当矩形 与 重叠部分为五边形时， ， 分别与 相交于点
， ，试用含有 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
第21页（共27页）②当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【考点】四边形综合题
【分析】（Ⅰ）由已知得出 ，由矩形的性质得出 ，在
中， ，由勾股定理得出 ，即可得出答案；
（Ⅱ）①由平移的性质得： ， ， ， ，得出
， 在 中 ， ，
， 求 出 ，
，即可得出答案；
②当 时， ，由直角三角形的性质得出 ，
得出方程，解方程即可；
当 时， ， ，由直角三角形的性质得出 ，
，由梯形面积公式得出 ，解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ） 点 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
第22页（共27页），
在 中， ， ，
，
点 的坐标为 ， ；
（Ⅱ）①由平移的性质得： ， ， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，其中 的取值范围是： ；
②当 时，如图③所示：
，
， ，
，
解得： ，或 （舍去），
；当 时，如图④所示：
， ，
， ，
，
第23页（共27页）解得： ，
当 时， 的取值范围为 ．
25．（10分）已知抛物线 ， 为常数， 经过点 ，点 是 轴
正半轴上的动点．
（Ⅰ）当 时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点 在抛物线上，当 ， 时，求 的值；
（Ⅲ）点 ， 在抛物线上，当 的最小值为 时，求 的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（Ⅰ）将点 代入 ，求出 关于 的代数式，再将 代入即可求出
的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）将点 代入抛物线 ，求出点 纵坐标为 ，由 判断出
点 在第四象限，且在抛物线对称轴 的右侧，过点 作 轴，可证
为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出 的值；
第24页（共27页）（Ⅲ）将点 ， 代入抛物线 ，求出 纵坐标为 ，可知点
， 在第四象限，且在直线 的右侧，点 ，过点 作直线 的垂线，
垂足为 ， 与 轴相交于点 ，过点 作 轴于点 ，则点 ， ，在
中，可知 ，设点 ，则可用含 的代数式表示 ，因为
，所以 ，解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ） 抛物线 经过点 ，
，
即 ，
当 时，
，
抛物线的顶点坐标为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为 ，
点 在抛物线 上，
，
由 ，得 ， ，
点 在第四象限，且在抛物线对称轴 的右侧，
如图1，过点 作 轴，垂足为 ，则点 ，
， ，得 ，
在 中， ，
，
由已知 ， ，
第25页（共27页），
；
（Ⅲ） 点 ， 在抛物线 上，
，
可知点 ， 在第四象限，且在直线 的右侧，
，
可取点 ，
如图2，过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 与 轴相交于点 ，
由 ，得 ，
则此时点 满足题意，
过点 作 轴于点 ，则点 ， ，
在 中，可知 ，
， ，
点 ，
，
解得， ，
，
，
．
第26页（共27页）第27页（共27页）
