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2019年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。
1．（3分）（2019•宜宾）2的倒数是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•宜宾）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为
52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•宜宾）如图，四边形 是边长为5的正方形， 是 上一点， ，
将 绕着点 顺时针旋转到与 重合，则
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•宜宾）一元二次方程 的两根分别为 和 ，则 为
A． B． C．2 D．
5．（3分）（2019•宜宾）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的
主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（3分）（2019•宜宾）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
环数
第1页（共27页）运动员
甲 10 7 7 8 8 8 9 7
乙 10 5 5 8 9 9 8 10
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为 、 ，甲、乙的方差分别为 ， ，则下列结论正
确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．（3分）（2019•宜宾）如图， 的顶点 是边长为2的等边 的重心， 的两
边与 的边交于 ， ， ，则 与 的边所围成阴影部分的面积
是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•宜宾）已知抛物线 与 轴交于点 ，与直线 为任意实数）
相交于 ， 两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数 ，使得 为等腰三角形
B．存在实数 ，使得 的内角中有两角分别为 和
C．任意实数 ，使得 都为直角三角形
D．存在实数 ，使得 为等边三角形
二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。
9．（3分）（2019•宜宾）分解因式： ．
10．（3分）（2019•宜宾）如图，六边形 的内角都相等， ，则 ．
第2页（共27页）11．（3分）（2019•宜宾）将抛物线 的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为 ．
12．（3分）（2019•宜宾）如图，已知直角 中， 是斜边 上的高， ， ，
则 ．
13．（3分）（2019•宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从
现在开始的第一季度销售价格将下降 ，第二季度又将回升 ．若要使半年以后的销售
利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为 ，根据题意可列方程是 ．
14．（3分）（2019•宜宾）若关于 的不等式组 有且只有两个整数解，则 的取
值范围是 ．
15．（3分）（2019•宜宾）如图， 的两条相交弦 、 ， ，
，则 的面积是 ．
16．（3分）（2019•宜宾）如图， 和 都是等边三角形，且点 、 、 在同一直线
上， 与 、 分别交于点 、 ， 与 交于点 ．下列结论正确的是 （写出
第3页（共27页）所有正确结论的序号）．
① ；② ；③ ；④
三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2019•宜宾）（1）计算：
（2）化简：
18．（6分）（2019•宜宾）如图， ， ， ．求证： ．
19．（8分）（2019•宜宾）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有
一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获
得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占 ，其余为九年级的同学，现从获一等
奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年
级又有九年级同学的概率．
第4页（共27页）20．（8分）（2019•宜宾）甲、乙两辆货车分别从 、 两城同时沿高速公路向 城运送货物．
已知 、 两城相距450千米， 、 两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米
小时，甲车比乙车早半小时到达 城．求两车的速度．
21．（8分）（2019•宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度 ，在 处用高为1米的测角仪
，测得该建筑物顶端 的仰角为 ，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端
的仰角为 ．求该建筑物的高度 ．（结果保留根号）
22．（10分）（2019•宜宾）如图，已知反比例函数 的图象和一次函数 的
图象都过点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 为坐标原点， 的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ，求
五边形 的面积．
23．（10分）（2019•宜宾）如图，线段 经过 的圆心 ，交 于 、 两点， ，
第5页（共27页）为 的弦，连结 ， ，连结 并延长交 于点 ，连结 交
于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）求 的半径 的长；
（3）求线段 的长．
24．（12分）（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直
线 都经过 、 两点，该抛物线的顶点为 ．
（1）求此抛物线和直线 的解析式；
（2）设直线 与该抛物线的对称轴交于点 ，在射线 上是否存在一点 ，过 作 轴
的垂线交抛物线于点 ，使点 、 、 、 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点 是直线 下方抛物线上的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标，并求
面积的最大值．
第6页（共27页）2019 年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。
1．（3分）2的倒数是
A． B． C． D．
【考点】17：倒数
【分析】根据倒数的定义，可以求得题目中数字的倒数，本题得以解决．
【解答】解：2的倒数是 ，
故选： ．
2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52
微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】 ：科学记数法 表示较小的数
【分析】由科学记数法可知 ；
【解答】解： ；
故选： ．
3．（3分）如图，四边形 是边长为5的正方形， 是 上一点， ，将 绕着
点 顺时针旋转到与 重合，则
A． B． C． D．
【考点】 ：正方形的性质； ：旋转的性质
【分析】根据旋转变换的性质求出 、 ，根据勾股定理计算即可．
第7页（共27页）【解答】解：由旋转变换的性质可知， ，
正方形 的面积 四边形 的面积 ，
， ，
， ，
．
故选： ．
4．（3分）一元二次方程 的两根分别为 和 ，则 为
A． B． C．2 D．
【考点】 ：根与系数的关系
【分析】根据“一元二次方程 的两根分别为 和 ”，结合根与系数的关系，
即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
，
故选： ．
5．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视
图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】 ：由三视图判断几何体
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正
方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个
小正方体，
则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，
组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．
故选： ．
第8页（共27页）6．（3分）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
环数
运动员
甲 10 7 7 8 8 8 9 7
乙 10 5 5 8 9 9 8 10
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为 、 ，甲、乙的方差分别为 ， ，则下列结论正
确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【考点】 ：算术平均数； ：方差
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ；
；
；
，
， ，
故选： ．
7．（3分）如图， 的顶点 是边长为2的等边 的重心， 的两边与 的
边交于 ， ， ，则 与 的边所围成阴影部分的面积是
第9页（共27页）A． B． C． D．
【考点】 ：三角形的重心； ：全等三角形的判定与性质； ：等边三角形的性质
【分析】连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，由点 是等边三角形 的内心可
以得到 ，结合条件 即可求出 的面积，由 ，
从而得到 ，进而可以证到 ，因而阴影部分面积等于 的
面积．
【解答】解：连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，
为等边三角形，
，
点 为 的内心
， ．
．
． ，
， ，
，
，
．
，
，即 ．
在 和 中，
，
．
故选： ．
第10页（共27页）8．（3分）已知抛物线 与 轴交于点 ，与直线 为任意实数）相交于 ，
两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数 ，使得 为等腰三角形
B．存在实数 ，使得 的内角中有两角分别为 和
C．任意实数 ，使得 都为直角三角形
D．存在实数 ，使得 为等边三角形
【考点】 ：正比例函数的性质； ：二次函数的性质； ：一次函数图象上点的坐标特征；
：二次函数图象上点的坐标特征； ：等腰三角形的判定； ：等边三角形的判定
【分析】通过画图可解答．
【解答】解： 、如图1，可以得 为等腰三角形，正确；
、如图3， ， ，可以得 的内角中有两角分别为 和 ，正
确；
第11页（共27页）、如图2和3， ，可以得 为直角三角形，正确；
、不存在实数 ，使得 为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选： ．
二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。
9．（3分）分解因式： ．
【考点】56：因式分解 分组分解法
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
【解答】解：原式 ．
故答案为：
10．（3分）如图，六边形 的内角都相等， ，则 6 0 ．
第12页（共27页）【考点】 ：平行线的性质； ：多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和公式 求出六边形的内角和，再除以6即可求出
的度数，由平行线的性质可求出 的度数．
【解答】解：在六边形 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
11．（3分）将抛物线 的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解
析式为 ．
【考点】 ：二次函数图象与几何变换
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将抛物线 的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为： ．
故答案为： ．
12．（3分）如图，已知直角 中， 是斜边 上的高， ， ，则
．
【考点】 ：勾股定理； ：射影定理
【分析】根据勾股定理求出 ，根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：在 中， ，
第13页（共27页）由射影定理得， ，
，
故答案为： ．
13．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第
一季度销售价格将下降 ，第二季度又将回升 ．若要使半年以后的销售利润不变，设每
个 季 度 平 均 降 低 成 本 的 百 分 率 为 ， 根 据 题 意 可 列 方 程 是
．
【考点】 ：由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为 ，根据利润 售价 成本价结合半年以后的销
售利润为 元，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为 ，
依题意，得： ．
故答案为： ．
14．（3分）若关于 的不等式组 有且只有两个整数解，则 的取值范围是
．
【考点】 ：一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于 的不等
式组，求出即可．
【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
不等式组只有两个整数解，
第14页（共27页），
解得： ，
故答案为 ．
15．（3分）如图， 的两条相交弦 、 ， ， ，则 的面
积是 ．
【考点】 ：圆周角定理
【分析】由 ，而 ，所以 ，得到 为等边
三角形，又 ，从而求得半径，即可得到 的面积．
【解答】解： ，
而 ，
，
为等边三角形，
，
圆的半径为4，
的面积是 ，
故答案为： ．
16．（3分）如图， 和 都是等边三角形，且点 、 、 在同一直线上， 与 、
分别交于点 、 ， 与 交于点 ．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确
结论的序号）．
① ；② ；③ ；④
第15页（共27页）【考点】 ：等边三角形的性质； ：全等三角形的判定与性质； ：相似三角形的判定与
性质
【分析】①根据等边三角形性质得出 ， ， ，求出
，根据 推出两三角形全等即可；
②根据 ，求出 ，可推出 ，找不出全等的条件；
③根据角的关系可以求得 ，可求得 ，根据 可解题；
④根据 ， ，可求得 ，可判定 ，可求得
，可解题．
【解答】证明：① 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，即 ；
第16页（共27页）② ，
，
，
，
，找不出全等的条件；
③ ， ，
，
，
，
，
；
④ ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
， ，
，
，
两边同时除 得 ，
．
故答案为①③④
三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）计算：
（2）化简：
【考点】 ：特殊角的三角函数值； ：负整数指数幂； ：分式的混合运算； ：实数的运
第17页（共27页）算； ：零指数幂
【分析】（1）先根据0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值，计算出
、 、 的值，再加减；
（2）先算括号里面的加法，再把除法转化为乘法，求出结果．
【解答】解：（1）原式
（2）原式
．
18．（6分）如图， ， ， ．求证： ．
【考点】 ：全等三角形的判定与性质
【分析】由“ ”可证 ，可得 ．
【解答】证明：
，且 ，
19．（8分）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等
奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有
17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
第18页（共27页）（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占 ，其余为九年级的同学，现从获一等
奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年
级又有九年级同学的概率．
【考点】 ：列表法与树状图法； ：扇形统计图
【分析】（1）由获得纪念奖的人数及其所占百分比可得答案；
（2）先求出获得三等奖所占百分比，再根据百分比之和为1可得一等奖对应百分比，从而补
全图形；
（3）画树状图（用 、 、 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能
的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式
求解．
【解答】解：（1）三个年级获奖总人数为 （人 ；
（2）三等奖对应的百分比为 ，
则一等奖的百分比为 ，
补全图形如下：
第19页（共27页）（3）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用 、 、 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为 ．
20．（8分）甲、乙两辆货车分别从 、 两城同时沿高速公路向 城运送货物．已知 、 两
城相距450千米， 、 两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米 小时，甲车比
乙车早半小时到达 城．求两车的速度．
【考点】 ：分式方程的应用
【分析】设乙车的速度为 千米 时，则甲车的速度为 千米 时，路程知道，且甲车比乙
车早半小时到达 城，以时间做为等量关系列方程求解．
【解答】解：设乙车的速度为 千米 时，则甲车的速度为 千米 时．
根据题意，得： ，
解得： ，或 （舍去），
，
经检验， ，80是原方程的解，且符合题意．
当 时， ．
答：甲车的速度为90千米 时，乙车的速度为80千米 时．
21．（8分）如图，为了测得某建筑物的高度 ，在 处用高为1米的测角仪 ，测得该建
筑物顶端 的仰角为 ，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端 的仰角为 ．
求该建筑物的高度 ．（结果保留根号）
第20页（共27页）【考点】 ：解直角三角形的应用 仰角俯角问题
【分析】设 米，根据等腰三角形的性质求出 ，利用正切的定义用 表示出 ，根
据题意列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设 米，
在 中， ，
，
在 中， ，
则 ，
由题意得， ，即 ，
解得， ，
，
答：该建筑物的高度 为 米．
22．（10分）如图，已知反比例函数 的图象和一次函数 的图象都过点
，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 为坐标原点， 的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ，求
五边形 的面积．
第21页（共27页）【考点】 ：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据系数 的几何意义即可求得 ，进而求得 ，然后利用待定系数法即可
求得一次函数的解析式；
（2）设直线 交 轴、 轴于 、 两点，求出点 、 的坐标，然后联立方程求得 、
的坐标，最后根据 ，根据三角形的面积公式列式计算即可得
解；
【解答】解：（1） 过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 为坐标原点， 的面积为1．
，
，
在第一象限，
，
反比例函数的解析式为 ；
反比例函数 的图象过点 ，
，
，
次函数 的图象过点 ，
，解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）设直线 交 轴、 轴于 、 两点，
， ，
解 得 或 ，
第22页（共27页）， ，
， ， ， ，
五边形 的面积为： ．
23．（10分）如图，线段 经过 的圆心 ，交 于 、 两点， ， 为 的弦，
连结 ， ，连结 并延长交 于点 ，连结 交 于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）求 的半径 的长；
（3）求线段 的长．
【考点】 ：圆周角定理； ：切线的判定与性质
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，求出 ，求出
，根据切线的判定推出即可；
（2）根据直角三角形的性质得到 ，于是得到结论；
（3）解直角三角形得到 ， ，根据勾股定理得到 ，根据
切割线定理即可得到结论．
【解答】（1）证明： ， ，
，
，
，
是半径，
是 的切线；
第23页（共27页）（2） ， ，
，
，
，
的半径 的长为1；
（3） ，
， ，
，
是 的切线， 是 的割线，
，
．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 都
经过 、 两点，该抛物线的顶点为 ．
（1）求此抛物线和直线 的解析式；
（2）设直线 与该抛物线的对称轴交于点 ，在射线 上是否存在一点 ，过 作 轴
的垂线交抛物线于点 ，使点 、 、 、 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点 是直线 下方抛物线上的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标，并求
面积的最大值．
【考点】 ：二次函数综合题
第24页（共27页）【分析】（1）将 、 两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可
求解；
（2）先求出 点坐标和 点坐标，则 ，分两种情况讨论：①若点 在 轴下方，四边形
为平行四边形，则 ，②若点 在 轴上方，四边形 为平行四边形，则
，设 ，则 ，可分别得到方程求出点 的坐标；
（3）如图，作 轴交直线 于点 ，设 ，则 ，可由
，得到 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 、 两点，
，
，
抛物线的解析式为 ，
直线 经过 、 两点，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
（2） ，
抛物线的顶点 的坐标为 ，
轴，
，
，
①如图，若点 在 轴下方，四边形 为平行四边形，则 ，
设 ，则 ，
第25页（共27页），
，
解得： ， （舍去），
，
② 如 图 ， 若 点 在 轴 上 方 ， 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， 则 ，
设 ，则 ，
，
，
解得： ， （舍去），
， ，
综合可得 点的坐标为 或 ．
（3）如图，作 轴交直线 于点 ，
第26页（共27页）设 ，则 ，
，
，
当 时， 面积的最大值是 ，此时 点坐标为 ．
第27页（共27页）
