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2019年四川省中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列等式正确的是（ ）
A．（ ）2＝3 B． ＝﹣3 C． ＝3 D．（﹣ ）2＝﹣3
2．若 成立，则（ ）
A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0 C．ab≥0 D．ab≤0
3．若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
4．已知 O 与 O 的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（ ）
1 2
A．相⊙交 ⊙ B．内切 C．外离 D．内含
5．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（ ）
A．15 cm2 B．24 cm2 C．39 cm2 D．48 cm2
6．若点Bπ（a，0）在以点A（﹣π1，0）为圆心，2为半π径的圆外，则a的取值π范围为（ ）
A．﹣3＜a＜1 B．a＜﹣3 C．a＞1 D．a＜﹣3或a＞1
7．在半径等于5cm的圆内有长为5 cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．120° B．30°或120° C．60° D．60°或120°
8．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
9．如图，在 O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
⊙A．AC＝AB B．∠C＝ ∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD
10．如图，抛物线y ＝a（x+2）2﹣3与y ＝ （x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别
1 2
交两条抛物线于点B，C．则以下结沦： 无论x取何值，y 的值总是正数； 2a＝1； 当x＝0时，
2
y ﹣y ＝4； 2AB＝3AC；其中正确结①论是（ ） ② ③
2 1
④
A． B． C． D．
二．填空①题②（共10小题，满分②3③0分，每小题3分）③④ ①④
11．若分式 的值为0，则x＝ ．
12．当x 时，二次根式 有意义．
13．某小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：147，156，151，159，152，则这组数据的中位数是
cm．
14．为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的
鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼
条．
15．如图所示，AB是 O的直径，CD是 O的弦，连接AC，AD，若∠CAB＝36°，则∠ADC的度数为
． ⊙ ⊙
16．已知：如图，AB是 O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF＝8，AD＝2，则 O半径的长是
⊙ ⊙．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
abc＜0； 方程ax2+bx+c＝0的根为x ＝﹣1、x ＝3； 当x＞1时，y随x值的增大而减小； 当
1 2
①y＞0时，﹣②1＜x＜3．其中正确的说法是 ． ③ ④
A． ；B． ；C． ；D．
① ①② ①②③ ①②③④
18．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以A为圆心，AB为半径的弧与BE交于点F，则
∠EFD＝ °．
19．如图，将扇形AOC围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12，扇形AOC的弧长为10 ，则
圆锥的侧面积为 ． π
20．如图，在 O中，AB是直径，点D是 O上一点，点C是 的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切
⊙ ⊙线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论： ∠BAD
＝∠ABC； GP＝GD； 点P是△ACQ的外心，其中正确结论是 （只需填写①序号）．
② ③
三．解答题（共9小题，满分90分）
21．计算题
（1）|﹣ |+（﹣1）2018﹣2cos45°+ ．
（2） ÷（a+2 ）
22．解方程：
（1）x2﹣3x＝4
（2）2x（x﹣3）＝3﹣x
23．先化简，再求值：（x﹣2+ ）÷ ，其中x＝﹣ ．
24．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0．
（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；
（2）若二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1有最大值0，则m的值为 ；
（3）若x 、x 是原方程的两根，且 + ＝2x x +1，求m的值．
1 2 1 2
25．小颖为班级联欢会设计了“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了
面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出了蓝色，
那么就配成紫色．
（1）请你利用画树状图或者列表的方法计算配成紫色的概率．
（2）小红和小亮参加这个游戏，并约定配成紫色小红赢，两个转盘转出同种颜色，小亮赢．这个约
定对双方公平吗？请说明理由．26．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆
顶端A的仰角 ＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）参考数据：sin22°＝0.3746，cos22°＝
0.9272，tan22°α＝0.4040，cot22°＝2.4751．
27．如图， O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交 O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，
求 O的⊙半径及EC的长． ⊙
⊙
28．如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延
长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．
求证：EF与圆O相切．
29．已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，
∠ACB不小于90°．
（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求系数a的取值范围；（3）设抛物线的顶点为D，求△BCD中CD边上的高h的最大值．
（4）设E ，当∠ACB＝90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平
分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．2019 年四川省中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
【解答】解：（ ）2＝3，A正确；
＝3，B错误；
＝ ＝3 ，C错误；
（﹣ ）2＝3，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： ＝|a|是解题的关键．
2．【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
【解答】解：∵ 成立，
∴a≥0，b≤0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
3．【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y＝（x+1）
2+2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．
4．【分析】先求两圆半径的和或差，再与圆心距进行比较，确定两圆位置关系．
【解答】解：∵ O 和 O 的半径分别为5cm和3cm，圆心距O O ＝4cm，
1 2 1 2
∵5﹣3＜4＜5+3⊙， ⊙
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知 O 与 O 相交．
1 2
故选：A． ⊙ ⊙【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，
圆心距为P．外离：P＞R+r；外切：P＝R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P＝R﹣r；内含：P＜R﹣r．
5．【分析】这个圆锥的全面积为底面积与侧面积的和，底面积为半径为3的圆的面积，根据圆锥的侧
面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形
面积公式求测面积．
【解答】解：这个圆锥的全面积＝ •2 •3•5+ •32＝24 （cm2）．
π π π
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，
点在圆内”即可解答
【解答】解：以A（﹣1，0）为圆心，以2为半径的圆交x轴两点的坐标为（﹣3，0），（1，0），
∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆外，
∴a＜﹣3或a＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断的知识点，解答本题的关键是理解点B在以A（1，
0）为圆心，以2为半径的圆内的含义，本题比较简单．
7．【分析】根据题意画出相应的图形，连接OA，OB，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，在劣弧AB
上任取一点F，连接AF，BF，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长得出
AD的长，再由OA＝OB，OD与AB垂直，根据三线合一得到OD为角平分线，在直角三角形AOD
中，利用锐角三角函数定义及AD与OA的长，求出∠AOD的度数，可得出∠AOB的度数，利用同
弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，可得出∠AEB的度数，再利用圆内接四边形的对角互补
可得出∠AFB的度数，综上，得到此弦所对的圆周角的度数．
【解答】解：根据题意画出相应的图形为：
连接OA，OB，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，在劣弧AB上任取一点F，连接AF，BF，过O作OD⊥AB，则D为AB的中点，
∵AB＝5 cm，∴AD＝BD＝ cm，
又OA＝OB＝5，OD⊥AB，
∴OD平分∠AOB，即∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB，
∴在直角三角形AOD中，
sin∠AOD＝ ＝ ＝ ，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
又圆心角∠AOB与圆周角∠AEB所对的弧都为 ，
∴∠AEB＝ ∠AOB＝60°，
∵四边形AEBF为圆O的内接四边形，
∴∠AFB+∠AEB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及圆内接四
边形的性质，是一道综合性较强的题．本题有两解，学生做题时注意不要漏解．
8．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
对称轴是x＝h．
9．【分析】根据垂径定理得出 ＝ ， ＝ ，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC＝AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴ ＝ ，
∵ 对的圆周角是∠C， 对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD＝2∠C，故B选项正确；
C、不能推出∠C＝∠B，故C选项错误；
D、不能推出∠A＝∠BOD，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析．
10．【分析】利用二次函数的性质得到y 的最小值为1，则可对 进行判断；把A点坐标代入y ＝a
2 1
（x+2）2﹣3中求出a，则可对 进行判断；分别计算x＝0时两①函数的对应值，再计算y ﹣y 的值，
2 1
则可对 进行判断；利用抛物②线的对称性计算出AB和AC，则可对 进行判断．
③ ④
【解答】解：∵y ＝ （x﹣3）2+1，
2
∴y 的最小值为1，所以 正确；
2
把A（1，3）代入y ＝a（①x+2）2﹣3得a（1+2）2﹣3＝3，
1
∴3a＝2，所以 错误；
②
当x＝0时，y ＝ （x+2）2﹣3＝﹣ ，y ＝ （x﹣3）2+1＝ ，
1 2
∴y ﹣y ＝ + ＝ ，所以 错误；
2 1
③
抛物线y ＝a（x+2）2﹣3的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线y ＝ （x﹣3）2+1的对称轴为直线x＝3，
1 2
∴AB＝2×3＝6，AC＝2×2＝4，
∴2AB＝3AC，所以 正确．
故选：D． ④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴
交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．【分析】分式为零时：分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：依题意得：|x|﹣4＝0且4﹣x≠0．
解得x＝﹣4．
故答案是：﹣4．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零
是解答此题的关键．
12．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出x的范围．
【解答】解：由题意得：2x﹣3≥0，
解得：x≥ ．
故答案为：≥ ．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数这个
知识点．
13．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中
位数．
【解答】解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为147，151，152，156，159，最中间的数是152，
所以这组数据的中位数是152cm，
故答案为：152．
【点评】考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根
据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则
找中间两位数的平均数．
14．【分析】第二次捕得200条所占总体的比例＝标记的鱼25条所占有标记的总数的比例，据此直接
解答．
【解答】解：设湖里有鱼x条，则 ，解可得x＝800．故答案为：800．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
15．【分析】连接BC，推出Rt△ABC，求出∠B的度数，即可得出结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵∠CAB＝36°，
∴∠B＝54°，
∴∠ADC＝54°
故答案为：54°．
【点评】本题主要考查了圆周角的有关定理，作出辅助线，构建直角三角形，是解本题的关键．
16．【分析】连接OE，由题意得：OE＝OA＝R，ED＝DF＝4，再解Rt△ODE即可求得半径的值．
【解答】解：连接OE，如下图所示，则：
OE＝OA＝R，
∵AB是 O的直径，弦EF⊥AB，
∴ED＝D⊙F＝4，
∵OD＝OA﹣AD，
∴OD＝R﹣2，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：
OE2＝OD2+ED2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
∴R＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理和解直角三角形的运用．
17．【分析】根据抛物线的开口方向确定a的取值范围；根据对称轴的位置确定b的取值范围；根据抛
物线与y轴的交点确定c的取值范围；根据图象与x轴的交点坐标确定方程ax2+bx+c＝0的根，也可以确定当y＞0时x的取值范围；根据
抛物线的开口方向和对称轴我的抛物线的增减性．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故 正确；
根据图象知道①抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x＝﹣1或x＝3，
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x ＝﹣1、x ＝3，故 正确；
1 2
根据图象知道当x＞1时，y随x值的增大而减小②，故 正确；
根据图象知道当y＞0时，﹣1＜x＜3，故 正确． ③
故选D． ④
【点评】此题主要考查了抛物线的系数与图象的关系，其中二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物
线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
18．【分析】由四边形ABCD为正方形及半径相等得到AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，利用等边
对等角得到两对角相等，由四边形ABFD的内角和为360度，得到四个角之和为270，利用等量代
换得到∠ABF+∠ADF＝135°，进而确定出∠1+∠2＝45°，由∠EFD为三角形DEF的外角，利用外
角性质即可求出∠EFD的度数．
【解答】解：∵正方形ABCD，AF，AB，AD为圆A半径，
∴AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，∠AFD＝∠ADF，
∵四边形ABFD内角和为360°，∠BAD＝90°，
∴∠ABF+∠AFB+∠AFD+∠ADF＝270°，
∴∠ABF+∠ADF＝135°，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，即∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠1+∠2＝135°﹣90°＝45°，
∵∠EFD为△DEF的外角，
∴∠EFD＝∠1+∠2＝45°．
故答案为：45【点评】此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌
握性质是解本题的关键．
19．【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵扇形AOC的弧长为10 ，
π
∴圆锥的底面半径为： ＝5，
∴圆锥的母线长为： ＝13，
则圆锥的侧面积为： ×10 ×13＝65 ，
π π
故答案为：65 ．
【点评】本题考π查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥的母线长是扇形的半径，圆
锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
20．【分析】由于 与 不一定相等，根据圆周角定理可知 错误；连接OD，利用切线的性质，可得
①
出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知 正确；先由垂径定理得到A为 的
②
中点，再由C为 的中点，得到 ＝ ，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利
用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ
＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，
可知 正确；
【解③答】解：∵在 O中，AB是直径，点D是 O上一点，点C是弧AD的中点，
⊙ ⊙
∴ ＝ ≠ ，
∴∠BAD≠∠ABC，故 错误；
①连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP＝90°，∠EPA+∠EAP＝∠EAP+∠GPD＝90°，
∴∠GPD＝∠GDP；
∴GP＝GD，故 正确；
②
∵弦CF⊥AB于点E，
∴A为 的中点，即 ＝ ，
又∵C为 的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故 正确；
故答案为： ． ③
②③
【点评】此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
21．【分析】（1）先计算绝对值、乘方、代入三角函数值和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可
得；
（2）先计算括号内分式的减法、将被除式因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝ +1﹣2× +4
＝ +1﹣ +4
＝5；
（2）原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数
的混合运算顺序和运算法则．
22．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先变形得到2x（x﹣3）+x﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
所以x ＝4，x ＝﹣1；
1 2（2）2x（x﹣3）+x﹣3＝0，
（x﹣3）（2x+1）＝0，
x﹣3＝0或2x+1＝0，
所以x ＝3，x ＝﹣ ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把
左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得
到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次
方程的问题了（数学转化思想）．
23．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ + ）•
＝ •
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣ 时，
原式＝2×（﹣ ）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最
后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
24．【分析】（1）先计算判别式得到△＝（m+1）2，根据非负数的性质即可得到△≥0，于是利用判别式
的意义即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质得m＜0且 ＝0，然后解方程即可；（3）先根据根与系数的关系得到 x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，再把 + ＝2x x +1变形得到
1 2 1 2 1 2
＝2x x +1，则 ＝2•（﹣ ）+1，然后解关于m的方程即
1 2
可．
【解答】（1）证明：m≠0，
△＝（m﹣1）2﹣4m×（﹣1）
＝（m+1）2，
∵（m+1）2≥0，即△≥0，
∴这个一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1有最大值0，
∴m＜0且 ＝0，
∴m＝﹣1；
故答案为﹣1．
（3）解：x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵ + ＝2x x +1，
1 2
∴ ＝2x x +1，
1 2
∴ ＝2•（﹣ ）+1，整理得m2+m﹣1＝0，
∴m＝ 或m＝ ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
＝﹣ ，x x ＝ ．也考查了根的判别式和二次函数的性质．
1 2
25．【分析】（1）用表格列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得；
（2）分别计算出小红、小亮获胜的概率，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）如下表所示：
红 蓝1 蓝2
红 （红，红） （红，蓝1） （红，蓝2）
黄 （黄，红） （黄，蓝1） （黄，蓝2）
蓝 （蓝，红） （蓝，蓝1） （蓝，蓝2）
由表可知，共有9种等可能结果，其中配成紫色的有3种结果，
所以P ＝ ；
（能配成紫色）
（2）∵P ＝ ，P ＝
（小红赢） （小亮赢）
∴P ＝P ，
（小红赢） （小亮赢）
因此，这个游戏对双方是公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，要求学生根
据题意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论．用到的知识点为：概率
＝所求情况数与总情况数之比．
26．【分析】根据CE和 的正切值可以求得AE的长度，根据AB＝AE+EB即可求得AB的长度，即可
解题． α
【解答】解：在中Rt△ACE，
∴AE＝CE•tan ，
＝BD•tan ， α
α＝25×tan22°，
≈10.10米，
∴AB＝AE+EB＝AE+CD≈10.10+1.20≈11.3（米）．
答：电线杆的高度约为11.3米．
【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．
27．【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设 O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的
值，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理⊙得到∠ABE＝90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE
＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝ ＝ ＝4，
设 O的半径OA＝r，
∴⊙OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
连结BE，如图，
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝ ．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾
股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．28．【分析】连接OD，作出辅助线，只要证明OD⊥EF即可，根据题目中的条件可知，∠FOD与∠FAD
的关系，由AD平分∠CAB，可知∠EAF与∠FAD之间的关系，又因为AE⊥EF，从而可以推出OD
垂直EF，本题得以解决．
【解答】证明：连接OD，如右图所示，
∵∠FOD＝2∠BAD，AD平分∠CAB，
∴∠EAF＝2∠BAD，
∴∠EAF＝∠FOD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAF+∠EFA＝90°，
∴∠DFO+∠DOF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥EF，
即EF与圆O相切．
【点评】本题考查切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合
的思想解答问题．
29．【分析】（1）由抛物线 y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐
标；
（2）利用已知得出△AOC∽△COB，进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；
（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x＝﹣1，进而求出
△DCG∽△HCO，得出OH＝3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM＝h，根据h＝HB sin∠OHC求
出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤ ，即可求出答案；
（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S ＝S
△CAEF 四边形，根据NP∥CE，求出 ，设过N、P两点的一次函数是y＝kx+b，代入N、P的左边
EFCB
得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴ 消去b，得 c＝﹣3a．
∴点C的坐标为（0，﹣3a），
答：点C的坐标为（0，﹣3a）．
（2）当∠ACB＝90°时，
∠AOC＝∠BOC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠ACO＝∠OBC，
∴△AOC∽△COB， ，
即 OC2＝AO•OB，
∵AO＝3，OB＝1，
∴OC＝ ，
∵∠ACB不小于90°，
∴OC≤ ，即﹣c≤ ，
由（1）得 3a≤ ，
∴a≤ ，
又∵a＞0，
∴a的取值范围为0＜a≤ ，
答：系数a的取值范围是0＜a≤ ．（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图．
∵抛物线 y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1．
即﹣ ＝﹣1，所以b＝2a．
又由（1）有c＝﹣3a．
∴抛物线方程为 y＝ax2+2ax﹣3a，D点坐标为（﹣1，﹣4a）．
于是 CO＝3a，GC＝a，DG＝1．
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴ ，即 ，得 OH＝3，表明直线DC过定点H（3，0）．
过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM＝h，
∴h＝HB sin∠OHC＝2 sin∠OHC．
∵0＜CO≤ ，
∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤ ．
∴0＜h≤1，即h的最大值为1，
答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．
（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB＝90°时， ， ，
设AB的中点为N，连接CN，则N（﹣1，0），CN将△ABC的面积平分，
连接CE，过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其
交点为F，连接EF，
因为NP∥CE，所以S ＝S ，
△CEF △CEN
由已知可得NO＝1， ，而NP∥CE，∴ ，得 ，
设过N、P两点的一次函数是y＝kx+b，则 ，
解得： ，
即 ，
①
同理可得过A、C两点的一次函数为 ，
②
解由 组成的方程组得 ， ，
①②
故在线段AC上存在点 满足要求．
答：当∠ACB＝90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（﹣
，﹣ ）．【点评】本题主要考查对用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一
次方程，相似三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运
用这些性质进行计算是解此题的关键．
