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2019年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2019•吉林）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2分）（2019•吉林）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为
A． B．
C． D．
3．（2分）（2019•吉林）若 为实数，则下列各式的运算结果比 小的是
A． B． C． D．
4．（2分）（2019•吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则
这个旋转角度至少为
A． B． C． D．
5．（2分）（2019•吉林）如图，在 中， 所对的圆周角 ，若 为 上一点，
，则 的度数为
第1页（共27页）A． B． C． D．
6．（2分）（2019•吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路
程，有利于游人更好地观赏风光．如图， 、 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥
的长度，其中蕴含的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）（2019•吉林）分解因式： ．
8．（3分）（2019•吉林）不等式 的解是 ．
9．（3分）（2019•吉林）计算： ．
10．（3分）（2019•吉林）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的值可以为
（写出一个即可）．
11．（3分）（2019•吉林）如图， 为 边 延长线上一点，过点 作 ．若
， ，则 ．
第2页（共27页）12．（3分）（2019•吉林）如图，在四边形 中， ， ．若将 沿 折
叠，点 与边 的中点 恰好重合，则四边形 的周长为 ．
13．（3分）（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时同地测得
一栋楼的影长为 ，则这栋楼的高度为 ．
14．（3分）（2019•吉林）如图，在扇形 中， ． ， 分别是半径 ， 上的
点，以 ， 为邻边的 的顶点 在 上．若 ， ，则阴影部分图形的
面积是 （结果保留 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）（2019•吉林）先化简，再求值： ，其中 ．
16．（5分）（2019•吉林）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；
乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出
一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢
都是红色的概率．
17．（5分）（2019•吉林）已知 是 的反比例函数，并且当 时， ．
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
18．（5分）（2019•吉林）如图，在 中，点 在边 上，以 为圆心， 长为半径画
第3页（共27页）弧，交边 于点 ，连接 、 ．求证： ．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）（2019•吉林）图①，图②均为 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．
在图①中已画出线段 ，在图②中已画出线段 ，其中 、 、 、 均为格点，按下列要
求画图：
（1）在图①中，以 为对角线画一个菱形 ，且 ， 为格点；
（2）在图②中，以 为对角线画一个对边不相等的四边形 ，且 ， 为格点，
．
20．（7分）（2019•吉林）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．
如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这
些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有 根竹签， 个山楂．若每根竹签串 个山楂，还剩余 个山楂，则下列等式成立的是
（填写序号）．
（1） ；（2） ；（3） ．
21．（7分）（2019•吉林）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座 与地面的距离 为
，花洒 的长为 ，与墙壁的夹角 为 ．求花洒顶端 到地面的距离
（结果精确到 ．（参考数据： ， ，
第4页（共27页）22．（7分）（2019•吉林）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本
的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．
（1）该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是 ；
（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、
广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，
请根据统计图回答下列问题：
①这次接受调查的居民人数为 人；
②统计图中人数最多的选项为 ；
③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总
人数．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）（2019•吉林）甲、乙两车分别从 ， 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相
遇后，甲车继续以原速行驶到 地，乙车立即以原速原路返回到 地．甲、乙两车距 地的路
程 与各自行驶的时间 之间的关系如图所示．
（1） ， ；
第5页（共27页）（2）求乙车距 地的路程 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当甲车到达 地时，求乙车距 地的路程．
24．（8分）（2019•吉林）性质探究
如图①，在等腰三角形 中， ，则底边 与腰 的长度之比为 ．
理解运用
（1）若顶角为 的等腰三角形的周长为 ，则它的面积为 ；
（2）如图②，在四边形 中， ．
①求证： ；
②在边 ， 上分别取中点 ， ，连接 ．若 ， ，直接写出线段
的长．
类比拓展
顶角为 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含 的式子表示）．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）（2019•吉林）如图，在矩形 中， ， ， 为边 上一点，
，连接 ．动点 、 从点 同时出发，点 以 的速度沿 向终点 运
动；点 以 的速度沿折线 向终点 运动．设点 运动的时间为 ，在运动
过程中，点 ，点 经过的路线与线段 围成的图形面积为 ．
（1） ， ；
（2）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
第6页（共27页）（3）当 时，直接写出 的值．
26．（10分）（2019•吉林）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在点
的左侧），与 轴相交于点 ． 为抛物线上一点，横坐标为 ，且 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点 位于 轴下方时，求 面积的最大值；
（3）设此抛物线在点 与点 之间部分（含点 和点 最高点与最低点的纵坐标之差为 ．
①求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
②当 时，直接写出 的面积．
第7页（共27页）2019 年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为
A．3 B．2 C．1 D．
【分析】直接利用数轴得出结果即可．
【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为 ，
故选： ．
2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：
故选： ．
3．（2分）若 为实数，则下列各式的运算结果比 小的是
A． B． C． D．
【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本
身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．
【解答】解： ． ，选项错误；
． ，选项正确；
第8页（共27页）． ，选项错误；
． ，选项错误；
故选： ．
4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度
至少为
A． B． C． D．
【分析】根据图形的对称性，用 除以3计算即可得解．
【解答】解： ，
旋转的角度是 的整数倍，
旋转的角度至少是 ．
故选： ．
5．（2分）如图，在 中， 所对的圆周角 ，若 为 上一点， ，
则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出 的度数，进而由角的和差求得结果．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游
人更好地观赏风光．如图， 、 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中
蕴含的数学道理是
第9页（共27页）A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线
段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）分解因式： ．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：
．
【解答】解： ．
故答案为： ．
8．（3分）不等式 的解是 ．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．
【解答】解： ，
，
，
原不等式的解集为： ．
故答案为 ．
9．（3分）计算： ．
【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．
第10页（共27页）【解答】解： ，
故答案为： ．
10．（3分）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的值可以为 5（ 答案不唯一，
只有 即可） （写出一个即可）．
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△ ，由此可以得到关于 的不等式，解不等式
就可以求出 的取值范围．
【解答】解：一元二次方程化为 ，
△ ，
解上式得 ．
故答为5（答案不唯一，只有 即可）．
11．（3分）如图， 为 边 延长线上一点，过点 作 ．若 ，
，则 6 0 ．
【分析】利用平行线的性质，即可得到 ，再根据三角形内角和定理，即可得
到 的度数．
【解答】解： ，
，
又 ，
中， ，
故答案为：60．
12．（3分）如图，在四边形 中， ， ．若将 沿 折叠，点 与边
的中点 恰好重合，则四边形 的周长为 2 0 ．
第11页（共27页）【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到 ，再根据折叠的性
质，即可得到四边形 的周长为 ．
【解答】解： ，点 是 的中点，
，
由折叠可得， ， ，
四边形 的周长为 ，
故答案为：20．
13．（3分）在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时同地测得一栋楼的影长
为 ，则这栋楼的高度为 5 4 ．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解答】解：设这栋楼的高度为 ，
在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一栋楼的影长为 ，
，解得 ．
故答案为：54．
14．（3分）如图，在扇形 中， ． ， 分别是半径 ， 上的点，以 ，
为邻边的 的顶点 在 上．若 ， ，则阴影部分图形的面积是
（结果保留 ．
【分析】连接 ，根据同样只统计得到 是矩形，由矩形的性质得到 ．根
据勾股定理得到 ，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接 ，
，四边形 是平行四边形，
是矩形，
．
， ，
，
第12页（共27页）阴影部分图形的面积 ．
故答案为： ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把
的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式 ，
当 时，原式 ．
16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装
有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从
乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概
率．
【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由
概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，
则取出的扇子和手绢都是红色的概率为 ．
第13页（共27页）17．（5分）已知 是 的反比例函数，并且当 时， ．
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）直接利用 代入求出答案．
【解答】解：（1） 是 的反例函数，
所以，设 ，
当 时， ．
所以， ，
所以， ；
（2）当 时， ．
18．（5分）如图，在 中，点 在边 上，以 为圆心， 长为半径画弧，交边 于
点 ，连接 、 ．求证： ．
【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】证明：由题意可得： ，
在平行四边形 中， ，
在 和 中， ，
所以， ．
四、解答题（每小题7分，共28分）
第14页（共27页）19．（7分）图①，图②均为 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画
出线段 ，在图②中已画出线段 ，其中 、 、 、 均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以 为对角线画一个菱形 ，且 ， 为格点；
（2）在图②中，以 为对角线画一个对边不相等的四边形 ，且 ， 为格点，
．
【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，菱形 即为所求．
（2）如图，四边形 即为所求．
20．（7分）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．
如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这
些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有 根竹签， 个山楂．若每根竹签串 个山楂，还剩余 个山楂，则下列等式成立的是
（ 2 ） （填写序号）．
（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】问题解决 设竹签有 根，山楂有 个，由题意得出方程组： ，解方程组即
可；
第15页（共27页）反思归纳 由每根竹签串 个山楂，还剩余 个山楂，得出 即可．
【解答】问题解决
解：设竹签有 根，山楂有 个，
由题意得： ，
解得： ，
答：竹签有20根，山楂有104个；
反思归纳
解： 每根竹签串 个山楂，还剩余 个山楂，
则 ，
故答案为：（2）．
21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座 与地面的距离 为 ，花洒
的长为 ，与墙壁的夹角 为 ．求花洒顶端 到地面的距离 （结果精确
到 ．（参考数据： ， ，
【分析】过 作 于 ，于是得到 ，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过 作 于 ，
则 ，
在 中， ， ，
，
，
，
答：花洒顶端 到地面的距离 为 ．
第16页（共27页）22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该
地区居民“获取信息的最主要途径”．
（1）该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是 方案三 ；
（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、
广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，
请根据统计图回答下列问题：
①这次接受调查的居民人数为 人；
②统计图中人数最多的选项为 ；
③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总
人数．
【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；
（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；
②从统计图中找出人数最多的选项即可；
③用 该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数
所占的百分比即可得到结论．
第17页（共27页）【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，
故答案为：方案三；
（2）①这次接受调查的居民人数为 人；
②统计图中人数最多的选项为手机；
③ 万人，
答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8
万人．
故答案为：1000，手机．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）甲、乙两车分别从 ， 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续
以原速行驶到 地，乙车立即以原速原路返回到 地．甲、乙两车距 地的路程 与各
自行驶的时间 之间的关系如图所示．
（1） 4 ， ；
（2）求乙车距 地的路程 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当甲车到达 地时，求乙车距 地的路程．
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）把 代入（2）的结论即可．
【解答】解：（1）根据题意可得 ， ；
故答案为：4；120；
（2）设 关于 的函数解析式为 ，
因为图象经过 ，
所以 ，
解得 ，
第18页（共27页）所以 关于 的函数解析式为 ，
设 关于 的函数解析式为 ，
因为图象经过 ， 两点，
所以 ，
解得 ，
所以 关于 的函数解析式为 ；
（3）当 时， ．
所以当甲车到达 地时，乙车距 地的路程为 ．
24．（8分）性质探究
如图①，在等腰三角形 中， ，则底边 与腰 的长度之比为 ．
理解运用
（1）若顶角为 的等腰三角形的周长为 ，则它的面积为 ；
（2）如图②，在四边形 中， ．
①求证： ；
②在边 ， 上分别取中点 ， ，连接 ．若 ， ，直接写出线段
的长．
类比拓展
顶角为 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含 的式子表示）．
【分析】性质探究
作 于 ，则 ，由等腰三角形的性质得出 ，
， 由 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出 ， ， 得 出
第19页（共27页），即可得出结果；
理解运用
（1）同上得出则 ， ，由等腰三角形的周长得出 ，
解得： ，得出 ，由三角形面积公式即可得出结果；
（ 2 ） ① 由 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ， ， 得 出
即可；
②连接 ，作 于 ，由等腰三角形的性质得出 ，由①得：
，由四边形内角和定理求出 ，由等腰三角形的
性质得出 ，由直角三角形的性质得出 ， ，得出
，证明 是 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；
类比拓展
作 于 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，由三角函数
得出 ，得出 ，即可得出结果．
【解答】性质探究
解：作 于 ，如图①所示：
则 ，
， ，
， ，
， ，
，
；
故答案为： ；
理解运用
第20页（共27页）（1）解：如图①所示：
同上得： ， ，
，
，
解得： ，
，
的面积 ；
故答案为：
（2）①证明： ，
， ，
；
②解：连接 ，作 于 ，如图②所示：
则 ，由①得： ，
，
，
，
，
，
，
点 、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
；
类比拓展
解：如图③所示：作 于 ，
，
第21页（共27页）， ，
，
，
，
；
故答案为： ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在矩形 中， ， ， 为边 上一点， ，连
接 ．动点 、 从点 同时出发，点 以 的速度沿 向终点 运动；点 以
的速度沿折线 向终点 运动．设点 运动的时间为 ，在运动过程中，点
，点 经过的路线与线段 围成的图形面积为 ．
（1） ， ；
（2）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
第22页（共27页）（3）当 时，直接写出 的值．
【分析】（1）由勾股定理可求 的长，由等腰三角形的性质可求 的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1） ， ，
，
故答案为： ，45
（2）当 时，如图，过点 作 ，
， ，
，
，
（2）当 时，如图，过点 作 ，
第23页（共27页），
，
当 时，如图，点 与点 重合．
，
（3）当 时
，
当 时，过点 作
第24页（共27页）四边形 是矩形
， ，
，
△
方程无解
当 时，
，
，
综上所述： 或
26．（10分）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与
轴相交于点 ． 为抛物线上一点，横坐标为 ，且 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点 位于 轴下方时，求 面积的最大值；
（3）设此抛物线在点 与点 之间部分（含点 和点 最高点与最低点的纵坐标之差为 ．
第25页（共27页）①求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
②当 时，直接写出 的面积．
【分析】（1）将点 代入 即可；
（2）易求 ， ，抛物线顶点为 ，当 位于抛物线顶点时， 的面积有最
大值；
（3） ①当 时， ；当 时， ；当
时， ；
②当 时若 ，此时△ ， 无解；若 ，则 ，则 ，
的面积 ；
【解答】解：（1）将点 代入 ，
得 ，
；
（2）令 ， 或 ，
， ，
；
抛物线顶点为 ，
当 位于抛物线顶点时， 的面积有最大值，
；
第26页（共27页）（3）①当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
②当 时
若 ，此时△ ， 无解；
若 ，则 ，
，
， ，
的面积 ；
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/10 10:09:00；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第27页（共27页）
