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2019年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合目
要求的）
1．（3分）（2019•宁夏）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总
体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•宁夏）下列各式中正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•宁夏）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图
所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图
是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019•宁夏）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读
时间，整理如下表：
阅读时间 小时 0.5及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5及以上
人数 2 9 6 5 4 4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
5．（3分）（2019•宁夏）如图，在 中 ，点 和 分别在 和 上，且
．连接 ，过点 的直线 与 平行，若 ，则 的度数为
第1页（共26页）A． B． C． D．
6．（3分）（2019•宁夏）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分．添加下列
条件，仍不能判定四边形 为菱形的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•宁夏）函数 和 在同一直角坐标系中的大致图象是
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•宁夏）如图，正六边形 的边长为2，分别以点 ， 为圆心，以 ，
为半径作扇形 ，扇形 ．则图中阴影部分的面积是
第2页（共26页）A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2019•宁夏）分解因式： ．
10．（3分）（2019•宁夏）计算： ．
11．（3分）（2019•宁夏）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球
和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为 ，那么盒
子内白色乒乓球的个数为 ．
12．（3分）（2019•宁夏）已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取
值范围 ．
13．（3分）（2019•宁夏）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体
育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时
间为 小时．
14．（3分）（2019•宁夏）如图， 是 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦
折叠交于 的中点 ，若 ，则 的半径为 ．
第3页（共26页）15．（3分）（2019•宁夏）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长度为半径
画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧交于点 ，作射线 交 于点 ．若 ，则 ．
16．（3分）（2019•宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法
呢！以方程 即 为例加以说明．数学家赵爽（公元 世纪）在其
所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是
，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，据此易
得 ．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，
能够说明方程 的正确构图是 ．（只填序号）
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）（2019•宁夏）已知：在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ，
， ．
（1）画出 关于原点成中心对称的△ ，并写出点 的坐标；
（2）画出将 绕点 按顺时针旋转 所得的△ ．
第4页（共26页）18．（6分）（2019•宁夏）解方程： ．
19．（6分）（2019•宁夏）解不等式组： ．
20．（6分）（2019•宁夏）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男
生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男
生最多有多少人化妆．
21．（6分）（2019•宁夏）如图，已知矩形 中，点 ， 分别是 ， 上的点，
，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 ．
22．（6分）（2019•宁夏）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他
们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为 ， ， ， ， ， ， ， ，其
中“ ”表示投放正确，“ ”表示投放错误，统计情况如下表．
学生
垃圾类别
第5页（共26页）厨余垃圾
可回收垃圾
有害垃圾
其他垃圾
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机
抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）
23．（8分）（2019•宁夏）如图在 中， ，以 为直径作 交 于点 ，连接
．
（1）求证： ；
（2）过点 作 的切线，交 于点 ，若 ，求 的值．
24．（8分）（2019•宁夏）将直角三角板 按如图1放置，直角顶点 与坐标原点重合，直
角边 、 分别与 轴和 轴重合，其中 ．将此三角板沿 轴向下平移，当点
平移到原点 时运动停止．设平移的距离为 ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面
积为 ， 关于 的函数图象（如图2所示）与 轴相交于点 ， ，与 轴相交于点 ．
（1）试确定三角板 的面积；
（2）求平移前 边所在直线的解析式；
（3）求 关于 的函数关系式，并写出 点的坐标．
第6页（共26页）25．（10分）（2019•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，
跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧
的半径为36米． 取 ．
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变
化．请完成下表：
跑道宽度 米 0 1 2 3 4 5
跑道周长 米 400
若设 表示跑道宽度（单位：米）， 表示该跑道周长（单位：米），试写出 与 的函数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）
形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
26．（10分）（2019•宁夏）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边
， 上的动点（点 不与 ， 重合），且 ，过点 作 的平行线 ，交
于点 ，连接 ，设 为 ．
（1）试说明不论 为何值时，总有 ；
（2）是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，试说明理由；
（3）当 为何值时，四边形 的面积最大，并求出最大值．
第7页（共26页）2019 年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合目
要求的）
1．（3分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长
的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：数字55000用科学记数法表示为 ．
故选： ．
2．（3分）下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【考点】算术平方根；立方根
【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断．
【解答】解： ，故选项 不合题意；
，故选项 不合题意；
，故选项 不合题意；
，故选项 符合题意．
故选： ．
3．（3分）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方
形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是
第8页（共26页）A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【分析】由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2
列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，据此可得．
【解答】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，
第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，
所以其主视图为：
故选： ．
4．（3分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下
表：
阅读时间 小时 0.5及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5及以上
人数 2 9 6 5 4 4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
【考点】众数；中位数
【分析】根据表格中的数据可知共有30人参与调查，从而可以得到全班学生平均每天阅读时
间的中位数和众数，本题得以解决．
第9页（共26页）【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：
30名学生平均每天阅读时间的是0.7，
故选： ．
5．（3分）如图，在 中 ，点 和 分别在 和 上，且 ．连接 ，
过点 的直线 与 平行，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
故选： ．
6．（3分）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分．添加下列条件，仍不能
判定四边形 为菱形的是
A． B． C． D．
【考点】菱形的判定
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
第10页（共26页）【解答】解： 四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分，
四边形 是平行四边形，
，
当 或 时，均可判定四边形 是菱形；
当 时，可判定四边形 是矩形；
当 时，
由 得： ，
，
，
四边形 是菱形；
故选： ．
7．（3分）函数 和 在同一直角坐标系中的大致图象是
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
【解答】解：在函数 和 中，
当 时，函数 的图象在第一、三象限，函数 的图象在第一、二、三象限，故
选项 、 错误，选项 正确，
当 时，函数 的图象在第二、四象限，函数 的图象在第一、二、四象限，故
选项 错误，
故选： ．
第11页（共26页）8．（3分）如图，正六边形 的边长为2，分别以点 ， 为圆心，以 ， 为半径
作扇形 ，扇形 ．则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；正多边形和圆
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而
可以解答本题．
【解答】解： 正六边形 的边长为2，
正六边形 的面积是： ， ，
图中阴影部分的面积是： ，
故选： ．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式： ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取 ，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式 ，
故答案为：
10．（3分）计算： ．
【考点】负整数指数幂；实数的运算
【分析】分别化简每一项可得 ；
【解答】解： ；
故答案为 ；
第12页（共26页）11．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色
乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为 ，那么盒子内白色乒乓
球的个数为 4 ．
【考点】概率公式
【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为 ，根据摸到白色乒乓球的概率为 列出关于 的方程，
解之可得．
【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
盒子内白色乒乓球的个数为4，
故答案为：4．
12．（3分）已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围
．
【考点】根的判别式
【分析】方程有两个不相等的实数根，则△ ，建立关于 的不等式，求出 的取值范围．
【解答】解： 方程 有两个不相等的实数根，
△ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
13．（3分）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间
（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为 1.1 5
小时．
第13页（共26页）【考点】加权平均数；条形统计图
【分析】首先根据条形图得出该班学生的总人数以及一天用于体育锻炼的时间，再利用加权
平均数的公式列式计算即可．
【解答】解：由图可知，该班一共有学生： （人 ，
该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为： （小时）．
故答案为1.15．
14．（3分）如图， 是 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于
的中点 ，若 ，则 的半径为 ．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】连接 ，设半径为 ，用 表示 ，根据勾股定理建立 的方程，便可求得结果．
【解答】解：连接 ，设半径为 ，
将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ，
， ，
，
，
，
第14页（共26页）解得， ．
故答案为： ．
15．（3分）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交
， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点
，作射线 交 于点 ．若 ，则 ．
【考点】含30度角的直角三角形；作图 基本作图；角平分线的性质
【分析】利用基本作图得 平分 ，再计算出 ，所以 ，利
用 得到 ，然后根据三角形面积公式可得到 的值．
【解答】解：由作法得 平分 ，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，
．
故答案为 ．
16．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程
即 为例加以说明．数学家赵爽（公元 世纪）在其所著的《勾
第15页（共26页）股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ，其中
它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，据此易得 ．那么在下
面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程
的正确构图是 ② ．（只填序号）
【考点】一元二次方程的应用
【分析】仿造案例，构造面积是 的大正方形，由它的面积为 ，可求出 ，
此题得解．
【解答】解： 即 ，
构造如图②中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正
方形的面积，即 ，
据此易得 ．
故答案为：②．
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）已知：在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ，
．
（1）画出 关于原点成中心对称的△ ，并写出点 的坐标；
（2）画出将 绕点 按顺时针旋转 所得的△ ．
第16页（共26页）【考点】作图 旋转变换
【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点 、 绕点 按顺时针旋转 所得的对应点，再顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△ 即为所求，其中点 的坐标为 ．
（2）如图所示，△ 即为所求．
18．（6分）解方程： ．
【考点】解分式方程
【分析】方程两边同时乘以 ，得 ；
【解答】解： ，
方程两边同时乘以 ，得
，
，
将检验 是方程的解；
方程的解为 ；
第17页（共26页）19．（6分）解不等式组： ．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
20．（6分）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生
共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男
生最多有多少人化妆．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每位男生的化妆费是 元，每位女生的化妆费是 元．关键描述语：5名男生和
3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（2）设男生有 人化妆，根据女生人数 列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每位男生的化妆费是 元，每位女生的化妆费是 元，
依题意得： ．
解得： ．
答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；
（2）设男生有 人化妆，
依题意得： ．
第18页（共26页）解得 ．
即 的最大值是37．
答：男生最多有37人化妆．
21．（6分）如图，已知矩形 中，点 ， 分别是 ， 上的点， ，且
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 ．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）根据矩形的性质得到 ，由垂直的定义得到 ，根据余角
的性质得到 ，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由已知条件得到 ，由 ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
在 与 中， ，
，
；
（2）解： ，
，
第19页（共26页），
．
22．（6分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类
投放情况进行调查，这8名学生分别标记为 ， ， ， ， ， ， ， ，其中“ ”表示
投放正确，“ ”表示投放错误，统计情况如下表．
学生
垃圾类别
厨余垃圾
可回收垃圾
有害垃圾
其他垃圾
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机
抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
【考点】列表法与树状图法；统计表
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）利用列表法可得所有等可能结果．
【解答】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为 ；
（2）列表如下：
四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）
23．（8分）如图在 中， ，以 为直径作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
第20页（共26页）（2）过点 作 的切线，交 于点 ，若 ，求 的值．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由边等得角等，再由同位角相等，可证得平行；
（2）连接 ，由 得 ，由切线得 ，由 ，得 ，再利用三
角函数可求得 与 的比值．
【解答】解：（1）证明
（2）如图，连接 ，
，
为 的切线，
为 的直径
，
第21页（共26页）24．（8分）将直角三角板 按如图1放置，直角顶点 与坐标原点重合，直角边 、
分别与 轴和 轴重合，其中 ．将此三角板沿 轴向下平移，当点 平移到原点
时运动停止．设平移的距离为 ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为 ， 关于
的函数图象（如图2所示）与 轴相交于点 ， ，与 轴相交于点 ．
（1）试确定三角板 的面积；
（2）求平移前 边所在直线的解析式；
（3）求 关于 的函数关系式，并写出 点的坐标．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）与 轴相交于点 ， ，可知 ， ；
（2）设 的解析式 ，将点 ， 代入即可；
（3）在移动过程中 ，则 ，所以
， ；当 时， ，即可求
．
第22页（共26页）【解答】解：（1） 与 轴相交于点 ， ，
，
，
，
；
（2） ， ，
设 的解析式 ，
，
，
；
（3）在移动过程中 ，则 ，
，
当 时， ，
．
25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段
直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36
米． 取 ．
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变
化．请完成下表：
跑道宽度 米 0 1 2 3 4 5
跑道周长 米 400
第23页（共26页）若设 表示跑道宽度（单位：米）， 表示该跑道周长（单位：米），试写出 与 的函数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）
形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
【考点】一次函数的应用；规律型：图形的变化类
【分析】（1）根据周长的意义：直道长度 弯道长度 求出，
（2）跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为1、2、3、4、5、
时，跑道的周长，填写表格．并求出函数关系式．
（3）依据关系式，可求当跑道周长为446米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽1.2米，求出
可以设计几条跑道．
【解答】解：（1）400米跑道中一段直道的长度
（2）表格如下：
；
（3）当 时，即 ，
解得：
条
最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．
26．（10分）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的
动点（点 不与 ， 重合），且 ，过点 作 的平行线 ，交 于点 ，连
接 ，设 为 ．
（1）试说明不论 为何值时，总有 ；
（2）是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，试说明理由；
（3）当 为何值时，四边形 的面积最大，并求出最大值．
第24页（共26页）【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据题意得到 ，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（3）根据勾股定理求出 ，根据相似三角形的性质用 表示出 、 ，根据梯形面积公
式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
【解答】解：（1） ，
，
，又 ，
；
（2）当 时，四边形 为平行四边形，
， ，
四边形 为平行四边形；
（3） ， ， ，
，
，
，即 ，
解得， ， ，
，
，即 ，
解得， ，
则四边形 的面积 ，
第25页（共26页）当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ．
第26页（共26页）
