文档内容
2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）（2019•哈尔滨） 的相反数是
A．9 B． C． D．
2．（3分）（2019•哈尔滨）下列运算一定正确的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019•哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•哈尔滨）如图， 、 分别与 相切于 、 两点，点 为 上一点，
连接 、 ，若 ，则 的度数为
第1页（共31页）A． B． C． D．
6．（3分）（2019•哈尔滨）将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，
所得到的抛物线为
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，
则平均每次降价的百分率为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•哈尔滨）方程 的解为
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•哈尔滨）点 在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象
上的是
A． B． ， C． D． ，
10．（3分）（2019•哈尔滨）如图，在 中，点 在对角线 上， ，交 于点
， ，交 于点 ，则下列式子一定正确的是
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）（2019•哈尔滨）数6260000用科学记数法可表示为 ．
第2页（共31页）12．（3分）（2019•哈尔滨）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
13．（3分）（2019•哈尔滨）把多项式 分解因式的结果是 ．
14．（3分）（2019•哈尔滨）不等式组 的解集是 ．
15．（3分）（2019•哈尔滨）二次函数 的最大值是 ．
16．（3分）（2019•哈尔滨）如图，将 绕点 逆时针旋转得到△ ，其中点 与 是
对应点，点 与 是对应点，点 落在边 上，连接 ，若 ， ， ，
则 的长为 ．
17．（3分）（2019•哈尔滨）一个扇形的弧长是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角是
度．
18．（3分）（2019•哈尔滨）在 中， ， ，点 在 边上，连接 ，若
为直角三角形，则 的度数为 度．
19．（3分）（2019•哈尔滨）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6
的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为 ．
20．（3分）（2019•哈尔滨）如图，在四边形 中， ， ， ，点 为
边上一点，连接 、 ， 与 交于点 ，且 ，若 ， ，则
的长为 ．
第3页（共31页）三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7 分）（2019•哈尔滨）先化简再求值： ，其中
．
22．（7分）（2019•哈尔滨）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正
方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以 为底边的等腰直角三角形 ，点 在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以 为腰的等腰三角形 ，点 在小正方形的顶点上，且 的面
积为8．
23．（8分）（2019•哈尔滨）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”
为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问
卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种
（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计
图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
第4页（共31页）24．（8分）（2019•哈尔滨）已知：在矩形 中， 是对角线， 于点 ，
于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，连接 、 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图
2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 面积的 ．
25．（10分）（2019•哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供
棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副
中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可
以购买多少副围棋？
26．（10分）（2019•哈尔滨）已知： 为 的直径， 为 的半径， 、 是 的
两条弦， 于点 ， 于点 ，连接 、 ， 与 交于点 ．
（1）如图1，若 与 交于点 ，求证： ；
（2）如图2，连接 、 ， 与 交于点 ，若 ， ，求证：
第5页（共31页）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 、 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点
，连接 ，若 ， ，求 的长．
27．（10分）（2019•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且点 与点 关于 轴对称；
（1）求直线 的解析式；
（2）点 为线段 上一点，点 为线段 上一点， ，连接 ，设点 的横坐标为
， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，且点 的纵坐标为 ，
连接 、 、 ， 与 交于点 ， ，连接 ， 的延长线与 轴的
负半轴交于点 ，连接 、 ，若 ，求直线 的解析式．
第6页（共31页）2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分） 的相反数是
A．9 B． C． D．
【考点】相反数
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解： 的相反数是9，
故选： ．
2．（3分）下列运算一定正确的是
A． B．
C． D．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；合并同类项；平方差公式
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
【解答】解： ， 错误；
， 错误；
， 错误；
故选： ．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
第7页（共31页）【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解： 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选： ．
4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形．
【解答】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形，
故选： ．
5．（3分）如图， 、 分别与 相切于 、 两点，点 为 上一点，连接 、 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】先利用切线的性质得 ，再利用四边形的内角和计算出 的
度数，然后根据圆周角定理计算 的度数．
第8页（共31页）【解答】解：连接 、 ，
、 分别与 相切于 、 两点，
， ，
，
，
．
故选： ．
6．（3分）将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物
线为
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物
线的解析式为 ，
故选： ．
7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降
价的百分率为
A． B． C． D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设降价得百分率为 ，根据降低率的公式 建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
第9页（共31页）解方程得 ， （舍
每次降价得百分率为
故选： ．
8．（3分）方程 的解为
A． B． C． D．
【考点】解分式方程
【分析】将分式方程化为 ，即可求解 ；同时要进行验根即可求解；
【解答】解： ，
，
，
；
将检验 是方程的根，
方程的解为 ；
故选： ．
9．（3分）点 在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
A． B． ， C． D． ，
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】将点 代入 ，求出函数解析式即可解题；
【解答】解：将点 代入 ，
，
，
点 在函数图象上，
第10页（共31页）故选： ．
10．（3分）如图，在 中，点 在对角线 上， ，交 于点 ， ，
交 于点 ，则下列式子一定正确的是
A． B． C． D．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．
【解答】解：
在 中，
易证四边形 为平行四边形
易证
， 项错误
， 项错误
， 项错误
， 项正确
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）数6260000用科学记数法可表示为 ．
【考点】科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：6260000用科学记数法可表示为 ，
故答案为： ．
第11页（共31页）12．（3分）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】函数中分母不为零是函数 有意义的条件，因此 即可；
【解答】解：函数 中分母 ，
；
故答案为 ；
13．（3分）把多项式 分解因式的结果是 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：
．
故答案为： ．
14．（3分）不等式组 的解集是 ．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
15．（3分）二次函数 的最大值是 8 ．
第12页（共31页）【考点】二次函数的最值
【分析】利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解： ，
有最大值，
当 时， 有最大值8．
故答案为8．
16．（3分）如图，将 绕点 逆时针旋转得到△ ，其中点 与 是对应点，点 与
是对应点，点 落在边 上，连接 ，若 ， ， ，则 的长为
．
【考点】勾股定理；旋转的性质
【分析】由旋转的性质可得 ， ，可得 ，由勾股
定理可求解．
【解答】解： 将 绕点 逆时针旋转得到△ ，
，
故答案为
17．（3分）一个扇形的弧长是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角是 11 0 度．
【考点】弧长的计算
【分析】直接利用弧长公式 即可求出 的值，计算即可．
【解答】解：根据 ，
解得： ，
第13页（共31页）故答案为：110．
18．（3分）在 中， ， ，点 在 边上，连接 ，若 为直角三
角形，则 的度数为 或 1 0 度．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理
【分析】当 为直角三角形时，存在两种情况： 或 ，根据三角形
的内角和定理可得结论．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当 时，
，
；
②如图2，当 时，
， ，
，
，
综上，则 的度数为 或 ；
故答案为： 或10；
19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两
枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相
第14页（共31页）同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得：
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为 ，
故答案为： ．
20．（3分）如图，在四边形 中， ， ， ，点 为 边上一点，
连接 、 ， 与 交于点 ，且 ，若 ， ，则 的长为
．
【考点】等边三角形的判定与性质
【分析】连接 交 于点 ，由题意可证 垂直平分 ， 是等边三角形，可得
， ， ，通过证明 是等边三角形
，可得 ，由勾股定理可求 ， 的长．
【解答】解：如图，连接 交 于点
第15页（共31页）， ， ，
垂直平分 ， 是等边三角形
， ，
，
是等边三角形
，
三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简再求值： ，其中 ．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得
的值，代入计算可得．
【解答】解：原式
第16页（共31页），
当 时，
原式
．
22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为
1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以 为底边的等腰直角三角形 ，点 在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以 为腰的等腰三角形 ，点 在小正方形的顶点上，且 的面
积为8．
【考点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；作图 应用与设计作图；等腰直角三角形；勾
股定理
【分析】（1）作 的垂直平分线，作以 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 ；
（2）以 为圆心， 为半径作圆，格点即为点 ；
【解答】解；（1）作 的垂直平分线，作以 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 ；
（2）以 为圆心， 为半径作圆，格点即为点 ；
第17页（共31页）23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活
动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学
生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一
种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中
所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
【考点】用样本估计总体；条形统计图；扇形统计图
【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；
（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；
（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得： （名 ，
答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；
（2） （名 ，
第18页（共31页）则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得： （名 ，
答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．
24．（8分）已知：在矩形 中， 是对角线， 于点 ， 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，连接 、 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图
2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 面积的 ．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由 证明 ，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出 ，由直角三角形的性质得出 ，
，得出 的面积 矩形 的面积，由全等三角形的性质得
第19页（共31页）出 的面积 矩形 的面积；作 于 ，由直角三角形的性质得出
，得出 的面积 矩形 的面积，同理： 的面
积 矩形 的面积．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
于点 ， 于点 ，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解： 的面积 的面积 的面积 的面积 矩形 面积的 ．
理由如下：
，
，
，
，
，
，
， ，
的面积 矩形 的面积，
，
的面积 矩形 的面积；
作 于 ，如图所示：
第20页（共31页），
，
的面积 矩形 的面积，
同理： 的面积 矩形 的面积．
25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活
动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用
158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可
以购买多少副围棋？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设每副围棋 元，每副中国象棋 元，根据题意得： ，求解即可；
（2）设购买围棋 副，则购买象棋 副，根据题意得： ，即可求解；
【解答】解：（1）设每副围棋 元，每副中国象棋 元，
根据题意得： ，
，
每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋 副，则购买象棋 副，
根据题意得： ，
第21页（共31页），
最多可以购买25副围棋；
26．（10分）已知： 为 的直径， 为 的半径， 、 是 的两条弦，
于点 ， 于点 ，连接 、 ， 与 交于点 ．
（1）如图1，若 与 交于点 ，求证： ；
（2）如图2，连接 、 ， 与 交于点 ，若 ， ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 、 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点
，连接 ，若 ， ，求 的长．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）利用“四边形内角和为 ”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；
（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证 ，再根据“等角对等边”，证明
；
（3）由全等三角形性质和垂径定理可将 转化为 ；可设
两直角边为： ， ，再构造直角三角形利用 ，求出 的值；
求得 ，得 为直角三角形，应用勾股定理求 ．
【解答】解：（1）如图1， 于点 ， 于点
第22页（共31页）（2）如图2，连接 ，
，
，
即：
，
，
（3）如图3，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ， ，
由（2）知： ，
，
，
， ， ，
，即：
第23页（共31页）设 ， ，
则 ，
在 中，
四边形 内接于 ， ，
，
在 中，
即： ，解得： ， （不符合题意，舍去）
， ，
， ，
在 中， ， ，
在 中，
，
第24页（共31页），即 ，
．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且点 与点 关于 轴对称；
（1）求直线 的解析式；
（2）点 为线段 上一点，点 为线段 上一点， ，连接 ，设点 的横坐标为
第25页（共31页）， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，且点 的纵坐标为 ，
连接 、 、 ， 与 交于点 ， ，连接 ， 的延长线与 轴的
负半轴交于点 ，连接 、 ，若 ，求直线 的解析式．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）由 ，求出 ， ， ，所以 ，设直线 的解析式为
，将 ， 代入，解得 ， ，所以直线 的解析式 ；
（2）过点 作 于点点 ，过点 作 于 ， 于点 ．由
，即 ，求出 ，设 ，由 ，
即 ， 求 出 ， 由 ， 求 得
， ，所以 ，即
；
（3）如图，延长 至 使 ，连接 、 、 、 交 于点 ，易证 ，
所以 ， ，于是 ， ，再证明 ，所
第26页（共31页）以 ， ， 于 是 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， 由
，设 ， ，则 ， ，
所以 ， ， ，过点 作 轴于点
．求得 ，设直线 的解析式为 ，解得 ，因此直线 的解析
式为 ．
【解答】解：（1） ，
， ， ，
点 与点 关于 轴对称，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，
，
解得 ， ，
直线 的解析式 ；
（2）如图1，过点 作 于点点 ，过点 作 于 ， 于点 ．
第27页（共31页）， ，
， ，
，
即 ，
，
点 为直线 上，
设 ，
， ，
即 ，
，
，
，
，
，
第28页（共31页），
即 ；
（3）如图，延长 至 使 ，连接 、 、 、 交 于点 ．
， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
第29页（共31页）过点 作 于点 ，
，
设 ， ，则 ，
，
， ， ，
过点 作 轴于点 ．
点 的纵坐标为 ，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
第30页（共31页）解得 ，
直线 的解析式为 ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/10 10:01:28；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第31页（共31页）
