文档内容
2019年重庆市中考数学试卷（B 卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑。
1．（4分）（2019•重庆）5的绝对值是
A．5 B． C． D．
2．（4分）（2019•重庆）如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B．
C． D．
3．（4分）（2019•重庆）下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的周长比为
B．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的周长比为
C．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的面积比为
D．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的面积比为
4．（4分）（2019•重庆）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，若 ，
则 的度数为
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•重庆）抛物线 的对称轴是
第1页（共33页）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．（4分）（2019•重庆）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华
得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为
A．13 B．14 C．15 D．16
7．（4分）（2019•重庆）估计 的值应在
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
8．（4分）（2019•重庆）根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入 的值是7，则输出 的
值是 ，若输入 的值是 ，则输出 的值是
A．5 B．10 C．19 D．21
9．（4分）（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上，点 ，
．若反比例函数 经过点 ，则 的值等于
A．10 B．24 C．48 D．50
10．（4分）（2019•重庆）如图， 是垂直于水平面的建筑物．为测量 的高度，小红从建筑
物底端 点出发，沿水平方向行走了52米到达点 ，然后沿斜坡 前进，到达坡顶 点处，
．在点 处放置测角仪，测角仪支架 高度为0.8米，在 点处测得建筑物顶端
点的仰角 为 （点 ， ， ， ， 在同一平面内）．斜坡 的坡度（或坡比）
，那么建筑物 的高度约为
（参考数据 ， ，
第2页（共33页）A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
11．（4分）（2019•重庆）若数 使关于 的不等式组 有且仅有三个整数解，
且使关于 的分式方程 的解为正数，则所有满足条件的整数 的值之和是
A． B． C． D．1
12．（4分）（2019•重庆）如图，在 中， ， ， 于点 ，
于点 ， ．连接 ，将 沿直线 翻折至 所在的平面内，得
，连接 ．过点 作 交 于点 ．则四边形 的周长为
A．8 B． C． D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中
对应的横线上。
13．（4分）（2019•重庆）计算： ．
14．（4分）（2019•重庆）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17
日止，重庆市党员“学习强国” 注册人数约1180000，参学覆盖率达 ，稳居全国前
列．将数据1180000用科学记数法表示为 ．
15．（4分）（2019•重庆）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．连续
掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是
．
第3页（共33页）16．（4分）（2019•重庆）如图，四边形 是矩形， ， ，以点 为圆心，
长为半径画弧，交 于点 ，交 的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）（2019•重庆）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸
爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回
家．小明拿到书后以原速的 快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上
时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程 （米 与小明从家出发到学校的步行时间
（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．
18．（4分）（2019•重庆）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间毎天生产相同数量
的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分別是第一车间每天生产的产品数量的 和 ．
甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样
多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；
乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有
成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、
乙两组检验员的人数之比是 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）（2019•重庆）计算：
第4页（共33页）（1） ；
（2） ．
20．（10分）（2019•重庆）如图，在 中， ， 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点 在边 上， 交 的延长线于点 ．求证： ．
21．（10分）（2019•重庆）为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动．
活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力．两次相关数据记
录如下：
活动前被测查学生视力数据：
4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6
4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1
活动后被测查学生视力数据：
4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1
活动后被测查学生视力频数分布表
分组 频数
1
2
7
12
4
根据以上信息回答下列问题：
第5页（共33页）（1）填空： ， ，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，活动后被测
查学生视力样本数据的众数是 ；
（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？
（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果．
22．（10分）（2019•重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研
究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然
数 “纯数”．
定义：对于自然数 ，在通过列竖式进行 的运算时各位都不产生进位现象，
则称这个自然数 为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为 在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯
数”，因为 在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．
23．（10分）（2019•重庆）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类
特殊的函数展开探索．画函数 的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到
函数图象如图所示；经历同样的过程画函数 和 的图象如图所示．
0 1 2 3
0
第6页（共33页）（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对
值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．
写出点 ， 的坐标和函数 的对称轴．
（2）探索思考：平移函数 的图象可以得到函数 和 的图象，
分别写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数 的图象．若点 ， 和
， 在该函数图象上，且 ，比较 ， 的大小．
24．（10分）（2019•重庆）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是
4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊
位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方
米和4平方米两种摊位的商户分别有 和 参加了此项活动．为提高大家使用环保袋
的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．
经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，
6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上
增加 ，毎个摊位的管理费将会减少 ；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数
将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 ，每个摊位的管理费将会减少 ．
这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将
第7页（共33页）减少 ，求 的值．
25．（10分）（2019•重庆）在 中， 平分 交 于点 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的面积；
（2）如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，分别交 ， 于点 ， ，且
．求证： ．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必
要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）（2019•重庆）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ．
（1）如图1，连接 ， ．若点 为直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴交
于点 ，作 于点 ，过点 作 交 轴于点 ．点 ， 分别在对称轴
和 轴上运动，连接 ， ．当 的周长最大时，求 的最小值及点
的坐标．
（2）如图2，将抛物线沿射线 方向平移，当抛物线经过原点 时停止平移，此时抛物线顶
点记为 ， 为直线 上一点，连接点 ， ， ，△ 能否构成等腰三角形？若能，
直接写出满足条件的点 的坐标；若不能，请说明理由．
第8页（共33页）第9页（共33页）2019 年重庆市中考数学试卷（B 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑。
1．（4分）5的绝对值是
A．5 B． C． D．
【分析】根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点 点）的距离叫做该数的绝对
值，绝对值只能为非负数； 即可得解．
【解答】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5；
故选： ．
2．（4分）如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有4个正方形，第二层有一个正方形，如图所示：
．
故选： ．
3．（4分）下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的周长比为
B．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的周长比为
第10页（共33页）C．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的面积比为
D．如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的面积比为
【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解： 、如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的周长比为 ，是
假命题；
、如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的周长比为 ，是真命题；
、如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的面积比为 ，是假命题；
、如果两个三角形相似，相似比为 ，那么这两个三角形的面积比为 ，是假命题；
故选： ．
4．（4分）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，若 ，则 的度数
为
A． B． C． D．
【分析】由题意可得 ，根据直角三角形两锐角互余可求 ．
【解答】解： 是 的切线，
，且 ，
，
故选： ．
5．（4分）抛物线 的对称轴是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 ．
故选： ．
6．（4分）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过
120分，他至少要答对的题的个数为
第11页（共33页）A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据竞赛得分 答对的题数 未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120
分，列出不等式即可．
【解答】解：设要答对 道．
，
，
，
解得： ，
根据 必须为整数，故 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答
对15道题．
故选： ．
7．（4分）估计 的值应在
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【分析】化简原式等于 ，因为 ，所以 ，即可求解；
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
8．（4分）根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入 的值是7，则输出 的值是 ，若输
入 的值是 ，则输出 的值是
A．5 B．10 C．19 D．21
【分析】把 与 代入程序中计算，根据 值相等即可求出 的值．
【解答】解：当 时，可得 ，
第12页（共33页）可得： ，
当 时，可得： ，
故选： ．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上，点 ，
．若反比例函数 经过点 ，则 的值等于
A．10 B．24 C．48 D．50
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点 ，将点 坐标代入解析式可求 的值．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
菱形 的边 在 轴上，点 ，
，
．
，
点 坐标
若反比例函数 经过点 ，
故选： ．
10．（4分）如图， 是垂直于水平面的建筑物．为测量 的高度，小红从建筑物底端 点
第13页（共33页）出发，沿水平方向行走了52米到达点 ，然后沿斜坡 前进，到达坡顶 点处， ．
在点 处放置测角仪，测角仪支架 高度为0.8米，在 点处测得建筑物顶端 点的仰角
为 （点 ， ， ， ， 在同一平面内）．斜坡 的坡度（或坡比） ，那么
建筑物 的高度约为
（参考数据 ， ，
A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
【分析】过点 作 与点 ，根据斜坡 的坡度（或坡比） 可设 ，则
，利用勾股定理求出 的值，进而可得出 与 的长，故可得出 的长．由矩
形的判定定理得出四边形 是矩形，故可得出 ， ，再由锐角三角函
数的定义求出 的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点 作 与点 ，延长 交 于 ，
斜坡 的坡度（或坡比） ， 米，
设 ，则 ．
在 中，
，即 ，解得 ，
米， 米，
米， 米．
， ， ，
四边形 是矩形，
米， 米．
在 中，
，
米，
米．
故选： ．
第14页（共33页）11．（4分）若数 使关于 的不等式组 有且仅有三个整数解，且使关于 的
分式方程 的解为正数，则所有满足条件的整数 的值之和是
A． B． C． D．1
【分析】先解不等式组 根据其有三个整数解，得 的一个范围；再解关于
的分式方程 ，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得 的一个范围，两
个范围综合考虑，则所有满足条件的整数 的值可求，从而得其和．
【解答】解：由关于 的不等式组 得
有且仅有三个整数解，
， ，2，或3．
，
；
由关于 的分式方程 得 ，
，
解为正数，且 为增根，
，且 ，
，且 ，
所有满足条件的整数 的值为： ， ，0，其和为 ．
第15页（共33页）故选： ．
12．（4分）如图，在 中， ， ， 于点 ， 于点 ，
．连接 ，将 沿直线 翻折至 所在的平面内，得 ，连接 ．过
点 作 交 于点 ．则四边形 的周长为
A．8 B． C． D．
【分析】先证 ，得出 ，再证 与 是等腰直角三角形，在
直角 中利用勾股定理求出 的长，进一步求出 的长，可通过解直角三角形分别求
出 ， ， ， 的长，即可求出四边形 的周长．
【解答】解： ， 于点 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
沿直线 翻折得 ，
，
第16页（共33页）， ，
，
为等腰直角三角形，
，
在 中，
，
，
在 中，
，
，
在 中，
，
四边形 的周长为：
，
故选： ．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中
对应的横线上。
13．（4分）计算： 3 ．
【分析】 ， ，即可求解；
【解答】解： ；
故答案为3；
14．（4分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市
第17页（共33页）党员“学习强国” 注册人数约1180000，参学覆盖率达 ，稳居全国前列．将数据
1180000用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：1180000用科学记数法表示为： ，
故答案为： ．
15．（4分）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．连续掷两次骰子，
在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的情况占总情况
的多少即可．
【解答】解：列表得：
由表知共有36种等可能结果，其中第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的有3种
结果，
所以第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率为 ，
故答案为 ．
16．（4分）如图，四边形 是矩形， ， ，以点 为圆心， 长为半径画
弧，交 于点 ，交 的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积是 ．
第18页（共33页）【分析】根据题意可以求得 和 的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是
矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形 与 的面积之差的和，本
题得以解决．
【解答】解：连接 ，
， ， ，
，
，
， ，
，
阴影部分的面积是：
，
故答案为： ．
17．（4分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘
带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到
书后以原速的 快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间
忽略不计）．两人之间相距的路程 （米 与小明从家出发到学校的步行时间 （分钟）之间的
第19页（共33页）函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 208 0 米．
【分析】设小明原速度为 米 分钟，则拿到书后的速度为 米 分钟，家校距离为
．设爸爸行进速度为 米 分钟，由题意及图形得：
，解得： ， ．据此即可解答．
【解答】解：设小明原速度为 （米 分钟），则拿到书后的速度为 （米 分钟），则家校距
离为 ．
设爸爸行进速度为 （米 分钟），由题意及图形得： ．
解得： ， ．
小明家到学校的路程为： （米 ．
故答案为：2080
18．（4分）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品，第五、
六车间每天生产的产品数量分別是第一车间每天生产的产品数量的 和 ．甲、乙两组检验
员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各
车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将
第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品
指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的
人数之比是 ．
【分析】设第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品为 个，每个车间原有成品 个，甲
组检验员 人，乙组检验员 人，每个检验员的检验速度为 个 天，根据题意列出三元一次
方程组，解方程组得到答案．
第20页（共33页）【解答】解：设第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品为 个，每个车间原有成品 个，
甲组检验员 人，乙组检验员 人，每个检验员的检验速度为 个 天，
则第五、六车间每天生产的产品数量分別是 和 ，
由题意得， ，
② ③得， ，
把 分别代入①得， ，
把 分别代入②得， ，
则 ，
甲、乙两组检验员的人数之比是 ，
故答案为： ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式将原式展开，然后再合并同类项即可解
答本题；
（2）先通分，再将分子相加可解答本题．
【解答】解：（1） ；
，
；
（2） ．
，
第21页（共33页），
．
20．（10分）如图，在 中， ， 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点 在边 上， 交 的延长线于点 ．求证： ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和即可得到
；
（2）根据等腰三角形的性质得到 根据平行线的性质得到 ，等量
代换得到 ，于是得到结论．
【解答】解：（1） ， 于点 ，
， ，
又 ，
；
（2） ， 于点 ，
，
，
，
，
．
21．（10分）为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动．活动前随机测
查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力．两次相关数据记录如下：
活动前被测查学生视力数据：
4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6
4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1
第22页（共33页）活动后被测查学生视力数据：
4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1
活动后被测查学生视力频数分布表
分组 频数
1
2
7
12
4
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空： 5 ， ，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，活动后被
测查学生视力样本数据的众数是 ；
（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？
（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果．
【分析】（1）根据已知数据可得 、 的值，再根据中位数和众数的概念求解可得；
（2）用总人数乘以对应部分人数所占比例；
（3）可从4.8及以上人数的变化求解可得（答案不唯一）．
【解答】解：（1）由已知数据知 ， ，
第23页（共33页）活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，
活动后被测查学生视力样本数据的众数是4.8，
故答案为：5，4，4.45，4.8；
（2）估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有 （人 ；
（3）活动开展前视力在4.8及以上的有11人，活动开展后视力在4.8及以上的有16人，
视力达标人数有一定的提升（答案不唯一，合理即可）．
22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自
然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数 “纯
数”．
定义：对于自然数 ，在通过列竖式进行 的运算时各位都不产生进位现象，
则称这个自然数 为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为 在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯
数”，因为 在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．
【分析】（1）根据“纯数”的概念，从2000至2019之间找出“纯数”；
（2）根据“纯数”的概念得到不大于100的数个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯
数”的定义解答．
【解答】解：（1）显然 1949 至 1999 都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行
的运算时要产生进位．
在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义．
所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012；
（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，
所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
23．（10分）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展
开探索．画函数 的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图
所示；经历同样的过程画函数 和 的图象如图所示．
0 1 2 3
第24页（共33页）0
（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对
值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．
写出点 ， 的坐标和函数 的对称轴．
（2）探索思考：平移函数 的图象可以得到函数 和 的图象，
分别写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数 的图象．若点 ， 和
， 在该函数图象上，且 ，比较 ， 的大小．
【分析】（1）根据图形即可得到结论；
（2）根据函数图形平移的规律即可得到结论；
（3）根据函数关系式可知将函数 的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得
到函数 的图象．根据函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1） ， ，函数 的对称轴为 ；
（2）将函数 的图象向上平移2个单位得到函数 的图象；
将函数 的图象向左平移2个单位得到函数 的图象；
（3）将函数 的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位得到函数
的图象．
所画图象如图所示，当 时， ．
第25页（共33页）24．（10分）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位
数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经
营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方
米和4平方米两种摊位的商户分别有 和 参加了此项活动．为提高大家使用环保袋
的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．
经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，
6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上
增加 ，毎个摊位的管理费将会减少 ；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数
将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 ，每个摊位的管理费将会减少 ．
这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将
减少 ，求 的值．
【分析】（1）设该菜市场共有 个4平方米的摊位，则有 个2.5平方米的摊位，根据菜市场
毎月可收取管理费4500元，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活
动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少 ，
即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该菜市场共有 个4平方米的摊位，则有 个2.5平方米的摊位，
第26页（共33页）依题意，得： ，
解得： ．
答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．
（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为 （个 ，5月份
参加活动一的4平方米摊位的个数为 （个 ．
依题意，得：
，
整理，得： ，
解得： （舍去）， ．
答： 的值为50．
25．（10分）在 中， 平分 交 于点 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的面积；
（2）如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，分别交 ， 于点 ， ，且
．求证： ．
【分析】（1）作 于 ，由平行四边形的性质得出 ，由直角三角形
的性质得出 ，证出 ，得出 ，由三角形面积公式
即可得出结果；
（2）作 交 的延长线于 ，垂足为 ，连接 、 ，证明 得出
，再证明 得出 ，即可得出结论．
【解答】（1）解：作 于 ，如图1所示：
四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
， ，
第27页（共33页），
平分 ，
，
，
，
的面积 ；
（2）证明：作 交 的延长线于 ，垂足为 ，连接 、 ，如图2所示：
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中， ，
第28页（共33页），
，
．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必
要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点
在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ．
（1）如图1，连接 ， ．若点 为直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴交
于点 ，作 于点 ，过点 作 交 轴于点 ．点 ， 分别在对称轴
和 轴上运动，连接 ， ．当 的周长最大时，求 的最小值及点
的坐标．
（2）如图2，将抛物线沿射线 方向平移，当抛物线经过原点 时停止平移，此时抛物线顶
点记为 ， 为直线 上一点，连接点 ， ， ，△ 能否构成等腰三角形？若能，
直接写出满足条件的点 的坐标；若不能，请说明理由．
第29页（共33页）【分析】（1）首先证明 ，推出当 最大时， 的周长最大，构建二次函数，
求出 最大时，点 的坐标，将直线 绕点 逆时针旋转 ，得到直线 ，作 直线
于 ， 直线 于 ，则 ，求出 即可解
决问题．
（2）首先利用待定系数法求出点 坐标，设 ， ， ， ，则
， ， ，分三种情形
分别构建方程求出 的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
第30页（共33页）对于抛物线 ，令 ，得到 ，
令 ，得到 ，解得 或4，
， ， ， ，
抛物线顶点 坐标 ，
，
，
，
，
，
当 最大时， 的周长最大，
， ， ，
直 线 的 解 析 式 为 ， 设 ， 则
，
，
当 时， 有最大值，
， ，
如图，将直线 绕点 逆时针旋转 ，得到直线 ，
作 直线 于 ， 直线 于 ，则 ，
， ，
，
，
，
， ， 共线，可得 ，
第31页（共33页）的最小值为10，此时 ．
（2） ， ， ，
直线 的解析式为 ，
， ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则平移后抛物线的解析式为 ，
将 代入可得 或 （舍弃），
，
设 ， ， ， ，
， ， ，
①当 时， ，
解得：
②当 时， ，
解得：
③当 时， ，
解得： ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或
第32页（共33页）或 ．
第33页（共33页）
