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2019年陕西省西安市末央区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
5．下列正比例函数中，y随x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2014x B．y＝（ ﹣1）x C．y＝（﹣ ﹣3）x D．y＝（1﹣ 2）x
π π
6．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、
AC上），设∠BAE＝ ，∠DCE＝ ．下列各式： + ， ﹣ ， ﹣ ， 360°﹣ ﹣ ，∠AEC
α β ①α β ②α β ③β α ④ α β的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
7．利用①如图②1③的二维码可以进①行②身④份识别．某校建立①了一③个④身份识别系统，①图②2是③某④个学生的识别图
案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可
以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为
0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（
）
A． B．
C． D．
8．如图， O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（ ）
⊙
A． B． C． D．
π9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点A（﹣3，y ），B（2，y ）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y ＞
1 2 1
y ≥n，则m的取值范围是（ ）
2
A．﹣3＜m＜2 B．﹣ C．m＞﹣ D．m＞2
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．比较大小：5 ．
12．∠1还可以用 表示，若∠1＝62.16°，那么62.16°＝ ° ′ ″．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝﹣ 在第二象限的图象上有一点A，过点A作
AB⊥x轴于点B，则S ＝ ．
△AOB
14．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是 A上的任意一点，将点
E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值 ⊙ ．
三．解答题（共11小题，满分78分）15．计算： +|1﹣ |﹣2× +（ ）﹣1
16．附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
求 的值．
17．如图，△ABC，AB＝AC＝10，BC＝16．
（1）作△ABC的外接圆O（用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）求OA的长．
18．萧山区2014教师招聘有拉开序幕，这给很多有志于教育事业的人员很多机会．下面是今年报考人
数统计表（数学）
招聘岗位 招聘计划 报考人数
高中教师1 研究生 高中 数 10
学
高中教师2 普通 高中 数 19
学
初中教师 普通 初中 数 12 55
学
小学教师1 普通 城区与八 数 18 83
镇 学
小学教师2 普通 其他 数 21 93
学
（1）根据上表信息，请制作补完下面的扇形统计图和上述表格．
（2）录取比例最小的是多少？最大的是多少？
（3）如果是你（本科毕业），仅从录取比例上看，你会选择报考哪个岗位？19．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝
∠AFE．
20．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处．已知AB＝BD＝800米，∠
＝75°，∠ ＝45°，求山高DE（结果精确到1米）． α
β
【参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732， ＝1.414】
21．某校八年级举行英语演讲比赛，准备用1200元钱（全部用完）购买A，B两种笔记本作为奖品，已
知A，B两种每本分别为12元和20元，设购入A种x本，B种y本．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若购进A种的数量不少于B种的数量．
求至少购进A种多少本？
①根据 的购买，发现B种太多，在费用不变的情况下把一部分B种调换成另一种C，调换后C
②种的数量①多于B种的数量，已知C种每本8元，则调换后C种至少有 本（直接写出答案）
22．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ．
（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
23．已知，AB为 O的直径，弦CD⊥AB于点E，在CD的延长线上取一点P，PG与 O相切于点G，
⊙ ⊙连接AG交CD于点F．
（Ⅰ）如图 ，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小；
①
（Ⅱ）如图 ，若E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA＝2 ，求PF的长．
②
24．已知抛物线y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣3，0），点（1，0）
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点B作BD⊥AB，点C，D都在AB上方，AD交
△BCD的外接圆 O于点E．
（1）求证：∠CA⊙B＝∠AEC．
（2）若BC＝3．
EC∥BD，求AE的长．
①若△BDC为直角三角形，求所有满足条件的BD的长．
②
（3）若BC＝EC＝ ，则 ＝ ．（直接写出结果即可）2019 年陕西省西安市末央区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】依据相反数的定义回答即可．
【解答】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．【分析】根据几何体的展开图，可得答案．
【解答】解：A、不能折叠成正方体，故选项错误；
B、不能折成圆锥，故选项错误；
C、不能折成三棱柱，故选项错误；
D、能折成圆柱，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题关键．
3．【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．
4．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，
∴ ，
解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是
解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．【分析】先根据正比例函数中，y随x的增大而增大判断出k的符号，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：∵正比例函数中，y随x的值增大而增大，
∴k＞0，
A、﹣2014＜0，故本选项错误；
B、 ﹣1≈1.73﹣1＝0.73＞0，故本选项正确；
C、﹣ ﹣3＜0，故本选项错误；
D、1﹣π 2＜0，故本选项错误．
故选：Bπ．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0时，y随x的增大
而增大是解答此题的关键．
6．【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行
计算求解即可．
【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE ＝ ，
1
∵∠AOC＝∠BAE +∠AE C， β
1 1
∴∠AE C＝ ﹣ ．
1
（2）如图，β过Eα 作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE ＝ ，∠2＝∠DCE ＝ ，
2 2 2
∴∠AE C＝ + ． α β
2
（3）如图，α由βAB∥CD，可得∠BOE ＝∠DCE ＝ ，
3 3
∵∠BAE ＝∠BOE +∠AE C， β
3 3 3
∴∠AE C＝ ﹣ ．
3
（4）如图，α由AβB∥CD，可得∠BAE +∠AE C+∠DCE ＝360°，
4 4 4
∴∠AE C＝360°﹣ ﹣ ．
4
∴∠AEC的度数可能α 为β ﹣ ， + ， ﹣ ，360°﹣ ﹣ ．
（5）（6）当点E在CDβ的下α 方α时β，同α理β可得，∠AαECβ＝ ﹣ 或 ﹣ ．
故选：D． α β β α【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，
内错角相等．
7．【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．
【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10，不符合题
意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意弄清题干规定的运算规则，并将图形
的变化问题转化为数字问题．
8．【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，得到△OBC是等边三角形，求出OB，根据
弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB，OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴劣弧 ＝ ＝ ，
故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，掌握弧长公式是解题
的关键．
9．【分析】先根据勾股定理求得AC＝8，再依据余弦函数的定义求解可得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得：AC＝ ＝8，
∴cosA＝ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及锐角三角函数的定义．
10．【分析】根据点A（﹣3，y ），B（2，y ）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y
1 2 1
＞y ≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝m，则 ＜m，从而可以求得m的取值范围，
2
本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点A（﹣3，y ），B（2，y ）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y ＞y ≥n，
1 2 1 2
∴ ＜m，
解得m＞ ，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．【分析】根据实数大小比较的方法比较即可．
【解答】解：∵5 ＝ ，
∴5 ＞ ．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键
12．【分析】依据角的表示方法以及度分秒的换算进行解答即可．
【解答】解：由图可得，∠1还可以用∠BCE表示；
∵0.16°＝9.6′，0.6′＝36″，
∴62.16°＝62°9′36″，
故答案为：∠BCE，62，9，36．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝
60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
13．【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以求得△AOB的面积，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，﹣ ），
∵反比例函数y＝﹣ 在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S ＝ ＝2，
△AOB
故答案为：2．
【点评】本替考查反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的
性质和数形结合的思想解答．
14．【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF＝AE＝1，根据三角形三边关系得：AF≤AC﹣CF，
可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值．
【解答】解：如图，连接FC，AC，AE．∵ED⊥DF，
∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中
∵ ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴CF＝AE＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝2 ，
∵AF≥AC﹣CF，
∴AF≥2 ﹣1
∴AF的最小值是2 ﹣1；
故答案为：2 ﹣1．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关
键是确定AF最小时，F在线段AC上，是一道中等难度的试题．
三．解答题（共11小题，满分78分）
15．【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+ ﹣1﹣ +3＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．【分析】先将已知条件化简，可得：（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0．因为x，y，z均为实数，所以x＝y
＝z．将所求代数式中所有y和z都换成x，计算即可．
【解答】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2＝0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z
﹣x+2y）＝0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0．
∵x，y，z均为实数，
∴x＝y＝z．
∴ ＝ ＝1．
【点评】本题中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，要仔细琢磨，灵活运用公式，会给
解题带来益处．
17．【分析】（1）可按尺规作图的方法进行作图．（作其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心
到三角形任何一顶点的距离为半径作圆）；
（2）可通过构建直角三角形来求解．连接OA，OC，OA⊥BC．先在三角形ACD中求出AD的值，然
后在三角形ODC中，用半径表示OD，OC，根据勾股定理求出半径．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求的点．
（2）连接OA交BC于D，连接OC．因为AB＝AC，
所以由垂径定理，得OA⊥BC于D，BD＝CD＝8．
在Rt△ADC中，AD＝ ＝ ＝6．
设OC＝OA＝R，则OD＝R﹣6．
在Rt△OCD中，由OC2＝OD2+CD2，
得R2＝（R﹣6）2+82，解得R＝ ，
∴OA＝ ．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理和垂径定理，要注意本题中外接圆的作法．
18．【分析】（1）根据初中教师的招聘计划和所占的百分比求出招聘总人数，再分别乘以所占的百分比
求出高中教师1和高中教师2的人数，用各部分的招聘计划除以总招聘人数求出所占的百分比，
然后补全统计图即可；
（2）根据招聘计划和所报人数解答；
（3）根据各岗位的录取比例选择即可．
【解答】解：（1）招聘总计划为：12÷20%＝60，
高中教师1：60×5%＝3，
高中教师2：60×10%＝6，
小学教师1： ×100%＝30%，
小学教师2： ×100%＝35%；
依次填入：3，6；
（2）高中教师1： ×100%＝30%，
高中教师2： ×100%≈31.58%，初中教师： ×100%≈21.82%，
小学教师1： ×100%≈21.69%，
小学教师2，为 ×100%≈22.58%；
所以，录取比例最小的是小学教师1，
最大的是高中教师2；
（3）高中教师2．
【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是
解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．【分析】由四边形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由EC＝FC知BE＝DF，根据
SAS，即可证△ABE≌△ADF得AE＝AF，从而得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，
∵EC＝FC，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．
【点评】此题考查了菱形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，
注意菱形的四条边都相等，对角相等．
20．【分析】在R△ABC中，求出BC＝AB•cos75°≈800×0.26＝208m，在Rt△BDF中，求出DF的长，由
四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠BFD＝90°，EF＝BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos ＝ ，
α
∴BC＝AB•cos75°＝80×0.259＝207.2．
∴EF＝BC＝207.2，
在Rt△BDF中，∠BFD＝90°，sin ＝ ，
β
∴DF＝BD•sin45°＝800× ＝400×1.414＝565.6．
∴DE＝DF+EF＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）．
∴山高DE约为773米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利
用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）根据A种的费用+B种的费用＝1200元，可求y关于x的函数表达式；
（2） 根据购进A种的数量不少于B种的数量，列出不等式，可求解；
设B①种的数量m本，C种的数量n本，根据题意找出m，n的关系式，再根据调换后C种的数量
②多于B种的数量，列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）∵12x+20y＝1200，
∴y＝ ，
（2） ∵购进A种的数量不少于B种的数量，
∴x≥y①，
∴x≥ ，∴x≥ ，
∵x，y为正整数，
∴至少购进A种40本，
设A种的数量为x本，B种的数量y本，C种的数量c本，
②根据题意得：12x+20y+8c＝1200
∴y＝
∵C种的数量多于B种的数量
∴c＞y
∴c＞
∴c＞ ，
∵购进A种的数量不少于B种的数量，
∴x≥y
∴x≥
∴c≥150﹣4x
∴c＞ ，
且x，y，c为正整数，
∴C种至少有30本
故答案为30本．
【点评】本题考查一次函数的应用，不等式组等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决实际问
题，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝ ，
故答案为： ；
（2）设两辆车为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
23．【分析】（Ⅰ）连接OG，在Rt△AEF中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因为OA＝OG，所以
∠OGA＝∠A＝20°，因为PG与 O相切于点G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝90°﹣20°＝70°．；
（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，A⊙D，证明△OAD为等边三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD＝30°，
因为DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在Rt△AGB中可求得AG＝6，在Rt△AEF中可求得AF
＝2，再证明△GFP为等边三角形，所以PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．
【解答】解：（Ⅰ）连接OG，
∵CD⊥AB于E，
∴∠AEF＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，
∴∠GFP＝∠EFA＝70°，
∵OA＝OG，
∴∠OGA＝∠A＝20°，
∵PG与 O相切于点G，
∴∠OGP⊙＝90°，∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．
（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，
∵E为半径OA的中点，CD⊥AB，
∴OD＝AD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AGD＝ ∠AOD＝30°，
∵DG∥AB，
∴∠BAG＝∠AGD＝30°，
∵AB为 O的直径，OA＝2 ，
⊙
∴∠AGB＝90°，AB＝4 ，
∴AG＝AB•cos30°＝6，．
∵OG＝OA，
∴∠OGA＝∠BAG＝30°，
∵PG与 O相切于点G，∴∠OGP＝90°，
∴∠FGP⊙＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AEF＝90°，AE＝ ，∠BAG＝30°，
∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，
∴△GFP为等边三角形，
∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．解题的关键是
掌握圆的切线的性质．
24．【分析】（1）利用待定系数法把（﹣3，0），（1，0）代入二次函数y＝x2+mx+n中，即可算出m、n的值，
进而得到函数解析式；
（2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+mx+n过点（﹣3，0），C（1，0），
∴
解得： ，
二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为：（﹣1，﹣4）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满
足解析式．
25．【分析】（1）利用圆的内接四边形的性质以及等角的余角相等的性质易证明出结论成立；
（2）延长AC交BD于点F，利用平行线等分线段和相似三角形对应边成比例求解即可；
（3）利用勾股定理和相似三角形分别求出AE和BD的长，依据对应边等高三角形的面积比是对应
边之比，进而求解；【 解 答 】
证明：（1）∵四边形BCED内接于 O
∴∠AEC＝∠DBC ⊙
又∵DB⊥AB
∴∠ABC+∠DBC＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴在Rt△ABC中，∠CAB+∠ABC＝90°
∴∠DBC＝∠CAB
∴∠CAB＝∠AEC
（2） 如图1延长AC交BD于点F，延长EC交AB于点G．
∵在R①t△ABC中，AB＝5，BC＝3
∴由勾股定理得，AC＝4
又∵BC⊥AF，AB⊥BF
∠AFB＝∠BFC
∴Rt△AFB∽Rt△BFC∴ ＝
∴BC2＝CF•AC
即9＝CF•4，解得，CF＝
又∵EC∥BD
∴CG⊥AB
∴AB•CG＝AC•BC
即5CG＝4×3，解得，CG＝
又∵在Rt△ACG中，AG＝
∴AG＝ ＝
又∵EC∥DB
∴∠AEC＝∠ADB
由（1）得，∠CAB＝∠AEC
∴∠ADB＝∠CAB
又∵∠ACB＝∠DBA＝90°
∴Rt△ABC∽Rt△DBA
∴ ＝
即 ＝ ，解得AD＝
又∵EG∥BD
∴ ＝即 ＝ ，解得AE＝
当△BDC是直角三角形时，如图二所示
②∵∠BCD＝90°
∴BD为 O直径
又∵∠A⊙CB＝90°
∴A、C、D三点共线
即BC⊥AD时垂足为C，此时C点与E点重合．
又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90°
∴Rt△ACB∽Rt△ABD
∴ ＝
即 ＝ ，解得AD＝
又∵在Rt△ABD中，BD＝
∴BD＝ ＝
如图三，由B、C、E都在 O上，且BC＝CE＝
③ ⊙
∴ ＝
∴∠ADC＝∠BDC
即DC平分∠ADB
过C作CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB垂足分别为M、N．，H．
∵在Rt△ACB中AB＝5，BC＝
∴AC＝2
又∵在Rt△ACB中CH⊥AB
∴AB•CH＝AC•BC即5CH＝2 ×
解得，CH＝2
∴MB＝2
又∵DC平分∠ADB
∴CM＝CN
又∵在Rt△CHB中BC＝5，CH＝2
∴HB＝1
∴CM＝CN＝1
又∵在△DCN与△DCM中
∴△DCN与△DCM（AAS）
∴DN＝DM
设DN＝DM＝x
则BD＝x+2，AD＝x+
在Rt△ABD中由AB2+BD2＝AD2得，
25+（x+2）2＝（x+ ）2
解得，x＝
∴BD＝BM+MD＝2+ ＝
又由（1）得∠CAB＝∠AEC，且∠ENC＝∠ACB
∴△ENC∽△ACB
∴ ＝ ＝ ＝2
∴NE＝2
又∵在Rt△CAN中CN＝1，AC＝2∴AN＝ ＝ ＝
∴AE＝AN+NE＝ +2
又∵S ＝ BD•CM，S ＝ AE•CN，CM＝CN
△BCD △ACE
∴ ＝ ＝ ＝
故 ＝
【点评】本题综合考察了圆内接四边形的性质，以及等弧对等弦，等弧所对的圆周角相等与相似三
角形的判定，勾股定理的运用，全等三角形的证明等多个知识点，需要认真分析，属于偏难题型．
