文档内容
2019年辽宁省葫芦岛市连山区中考数学一模试卷
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）﹣2＝﹣9
B．（﹣3）﹣2＝
C．（a12）2＝a14
D．0.0000000618＝6.18×10﹣7
2．如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知，则（ ）
A．只能求出其余3个角的度数
B．只能求出其余5个角的度数
C．只能求出其余6个角的度数
D．只能求出其余7个角的度数
3．函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤7 C．3≤x≤7 D．x≤3或x≥7
4．如果代数式3x2﹣6的值为21，那么x的值是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．±
5．已知在 O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，则 O的半径是（ ）
A．3厘⊙米 B．4厘米 C．5厘米 D．8⊙厘米
6．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．240 D．120
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．一定质量的干松木，当它的体积V＝2m3时，它的密度 ＝0.5×103kg/m3，则 与V的函数关系式是（
） ρ ρ
A． ＝1000V B． ＝V+1000 C． ＝ D． ＝
ρ ρ ρ ρ
10．如图，一个平行四边形被分成面积为S 、S 、S 、S 四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平
1 2 3 4
行四边形内平行滑动时，S S 与S S 的大小关系为（ ）
1 4 2 3
A．S S ＞S S B．S S ＜S S C．S S ＝S S D．无法确定
1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3
二.填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．为鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，
那么每度电价按a元收费；如果超过100度，那么超过部分每度电价按b元收费．某户居民在一个
月内用电160度，他这个月应缴纳电费是 元（用含a，b的代数式表示）．
12．因式分解：x3﹣6x2y+9xy2＝ ．
13．已知a是整数，点A（2a+1，2+a）在第二象限，则a＝ ．
14．已知双曲线y＝ 经过点（1，﹣2），则k的值是 ．
15．若关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
16．已知 O的直径为6，弦AB的长为2 ，由这条弦及弦所对的弧组成的弓形的高是 ．
⊙
17．数据﹣5，3，2，﹣3，3的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ，方差是 ．
18．台湾总面积为35989.76平方千米，这个数据用科学记数法表示为 平方千米．三.解答题（本题有8小题，共96分）
19．（10分）计算 ．
20．（12分）解方程：
21．（12分）在边长为1的5×5的方格中，有一个四边形OABC，
（1）以O点为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形与四边形OABC位似，且该四边形的各个
顶点都在格点上；
（2）求出你所作的四边形的面积．
22．（12分）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，
顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数
字之和为“6”是二等奖，数字之和为其它数字则是三等奖，请分别求出顾客抽中一、二、三等奖的
概率．
23．（12分）某水果批发市场香蕉的价格如下表
购买香蕉数 不超过 20千克以上 40千克以上的
（千克） 20千克 但不超过40千克的
每千克价格 6元 5元 4元
张强两次共购买香蕉50kg（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次，第二次分别购
买香蕉多少千克？
24．（12分）已知直线y＝2x+1．
（1）求已知直线与y轴交点A的坐标；
（2）若直线y＝kx+b与已知直线关于y轴对称，求k与b的值．
25．（12分）如图，正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．
（1）连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段
DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？并以图为例说明理由．
26．（14分）如图，H是 O的内接锐角△ABC的高线AD、BE的交点，过点A引 O的切线，与BE的
⊙ ⊙
延长线相交于点P，若AB的长是关于x的方程x2﹣6 x+36（cos2C﹣cosC+1）＝0的实数根．
（1）求：∠C＝ 度；AB的长等于 （直接写出结果）；
（2）若BP＝9，试判断△ABC的形状，并说明理由．2019 年辽宁省葫芦岛市连山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】本题涉及负整数指数幂和科学记数法以及数的乘方的运算，根据实数的运算法则求得计算
结果即可．
【解答】解：A、（﹣3）﹣2＝ ，错误；
B、（﹣3）﹣2＝ ，正确；
C、（a12）2＝a24，错误；
D、0.0000000618＝6.18×10﹣8，错误．
故选：B．
【点评】本题考查负整数指数幂的运算，科学记数法及幂的乘方与积的乘方的运算方法，需熟练掌
握．
2．【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行做题．
【解答】解：如图，a∥b，已知∠1，根据平行线的性质和对顶角相等，可以求出各角的值．
故选：D．
【点评】“三线八角”问题，若有两条直线平行，可以根据已知条件和平行线的性质可以求出其余
7个角．
3．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得x﹣3≥0且7﹣x≥0，
解得x≥3且x≤7，
所以3≤x≤7．故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．【分析】根据题意列出方程，整理后利用平方根定义开方即可求出x的值．
【解答】解：根据题意得：3x2﹣6＝21，即x2＝9，
解得：x＝±3，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
5．【分析】根据垂径定理和根据勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理，得半弦长是4cm．
再根据勾股定理，得其半径是5cm．
故选：C．
【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．
6．【分析】用代入法即可解答，把 化为x＝1+y，代入 得（1+y）2+2y+3＝0即可．
【解答】解：把 化为x＝1+y，① ②
代入 得：（1+①y）2+2y+3＝0，
即y2+②4y+4＝0，
解得：y＝﹣2，
代入 得x＝﹣1，
①
∴原方程组的解为 ．
故选：B．
【点评】解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二
次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
7．【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长
为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
【解答】解：如图所示，由tanA＝ ，
设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，由题意得：12x+5x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴BC＝24，AC＝10，
则△ABC面积为120，
故选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本
题的关键．
8．【分析】根据平行四边形的性质和平移的基本性质，可求得图中与OA相等的其它线段．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA；
又∵△AOD平移至△BEC，
∴OA＝BE．
故选：B．
【点评】本题需要学生将平行四边形的性质和平移的基本性质结合求解．经过平移，对应点所连的
线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9．【分析】根据等量关系“密度＝质量÷体积”即可列出 与V的函数关系式．
ρ
【解答】解；根据物理知识得： ＝ ，
ρ
∵体积V＝2m3时，它的密度 ＝0.5×103kg/m3，
∴m＝2×0.5×103＝1000， ρ
∴ ＝ ．
ρ
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的运用，重点是找出题中的等量关系．
10．【分析】要求面积大小关系，就要利用面积公式计算，可设CG到EF的距离为h ，EF到AB的距离
1
为h ，然后利用平行四边形的面积公式计算．
2【解答】解：如图，设直线CG到EF的距离为h ，EF到AB的距离为h ，
1 2
根据平行四边形的性质知，S ＝AD•h ，S ＝BD•h ，S ＝AD•h ，S ＝BD•h ，
1 1 4 2 2 2 3 1
∴S S ＝AD•BD•h •h ，S S ＝AD•BD•h •h ，
1 4 1 2 2 3 1 2
∴S S ＝S S ．
1 4 2 3
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上
的高的积．即S＝a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对
应的高．
二.填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】因为160＞100，所以其中100度是每度电价按a元收费，多出来的60度是每度电价按b
元收费．
【解答】解：100a+（160﹣100）b＝100a+60b．
故答案为：（100a+60b）．
【点评】该题要分析清题意，要知道其中100度是每度电价按a元收费，多出来的60度是每度电价
按b元收费．
用字母表示数时，要注意写法：
在代数式中出现的乘号，通常简写做“•”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“×”号；
①在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；
②数字通常写在字母的前面；
③带分数的要写成假分数的形式．
12．④【分析】先提出公因式x，再用完全平方公式因式分解．
【解答】解：原式＝x（x2﹣6xy+9y2
＝x（x﹣3y）2．
故答案是：x（x﹣3y）2．
【点评】本题考查的是因式分解，先提出公因式，然后再用完全平方公式因式分解．
13．【分析】第二象限的点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0，因而就得到关于a的不等式组，求出a
的范围，又由于a是整数，就可以求出a的值．【解答】解：根据题意得： ，
解得：﹣2＜a＜ ，
又∵a是整数，
∴a＝﹣1．故填：﹣1．
【点评】本题主要考查了坐标平面内各象限点的坐标的符号，常与不等式、方程结合起来求一些字
母的取值范围，此类题往往转化成解不等式或不等式组的问题．这是一个常见的题目类型．
14．【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标（1，﹣2）代入函数解析式y＝ （k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：因为函数经过点P（1，﹣2），
∴﹣2＝ ，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
15．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．关于x
的方程x2+5x+k＝0有实数根，△＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：∵a＝1，b＝5，c＝k，
∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×k＝25﹣4k≥0，
∴k≤ ．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16．【分析】此题⇔只需先求得弦的弦心距．因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组成的弓形高有两
种情况．
【解答】解：根据垂径定理，得半弦是 ，在由半径、半弦和弦心距组成的直角三角形中，根据勾股定理，得弦心距＝ ＝ ，
因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组成的弓形高是3+ 或3﹣ ．
【点评】此题注意两种情况，熟练运用垂径定理和勾股定理求得弦的弦心距．
17．【分析】直接利用平均数求法以及众数、中位数、方差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：数据﹣5，3，2，﹣3，3的平均数是： （﹣5+3+2﹣3+3）＝0，
5个数据中，3出现的次数最多，故3是众数；
按大小顺序排列：﹣5，﹣3，2，3，3，故中位数是：2；
方差是： [（﹣5﹣0）2+（3﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（3﹣0）2]
＝11.2．
故答案为：0，3，2，11.2．
【点评】此题主要考查了平均数求法以及众数、中位数、方差的定义，正确把握相关定义是解题关
键．
18．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，
n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：35989.76＝3.598976×104，
故答案为：3.598976×104．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
三.解答题（本题有8小题，共96分）
19．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1+2+2× ＝3+ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【解答】解：去分母得：2+2x﹣1+x2＝1﹣x，即x2+3x＝0，分解因式得：x（x+3）＝0，
解得：x ＝0，x ＝﹣3．
1 2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．【分析】（1）结合网格特点，分别作出点A、B、C关于点O成位似变换的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据S ＝S +S 计算可得．
四边形OA′B′C′ △OA′B′ △OB′C′
【解答】解：（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求．
（2）S ＝S +S
四边形OA′B′C′ △OA′B′ △OB′C′
＝ ×4×4+ ×2×2
＝8+2
＝10．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图
的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到
放大或缩小的图形．
22．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：列表得：
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
∴一共有16种情况，两次摸出的数字之和为“8”的有一种，数字之和为“6”的有3种情况，数
字之和为其它数字的有12种情况，
∴抽中一等奖的概率为 ，抽中二等奖的概率为 ，抽中三等奖的概率为 ．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比．
23．【分析】本题两个等量关系为：第一次买的千克数+第二次买的千克数＝50；第一次出的钱数+第二
次出的钱数＝264．对张强买的香蕉的千克数，应分情况讨论： 当0＜x≤20，y≤40； 当0＜
x≤20，y＞40 当20＜x＜25时，则25＜y＜30． ① ②
【解答】解：③设张强第一次购买香蕉xkg，第二次购买香蕉ykg，由题意可得0＜x＜25．
则 当0＜x≤20，y≤40，则题意可得 ．
①
解得 ．
当0＜x≤20，y＞40时，由题意可得 ．
②
解得 ．（不合题意，舍去）
当20＜x＜25时，则25＜y＜30，此时张强用去的款项为
③5x+5y＝5（x+y）＝5×50＝250＜264（不合题意，舍去）；
当20＜x≤40 y＞40时，总质量将大于60kg，不符合题意，
④答：张强第一次购买香蕉14kg，第二次购买香蕉36kg．
【点评】本题主要考查学生分类讨论的思想．找到两个基本的等量关系后，应根据讨论的千克数找
到相应的价格进行作答．
24．【分析】（1）求直线与y轴的交点坐标，令交点的横坐标为0即可；
（2）先求出直线y＝2x+1与两坐标轴的交点（0，1），（﹣ ，0），因为两直线关于y轴对称，所以两
直线都过点（0，1），它们与x轴的交点横坐标互为相反数，从而可知所求直线过点（0，1），（ ，0），
进而利用待定系数法，通过解方程组，即可求出答案．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1，所以直线y＝2x+1与y轴交点A的坐标为（0，1）；
（2）对于直线y＝2x+1，
当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣ ，
即直线y＝2x+1与两坐标轴的交点分别是（0，1），（﹣ ，0），
∵两直线关于y轴对称
∴直线y＝kx+b过点（0，1），（ ，0），
所以 ，
∴ ．
所以k＝﹣2，b＝1．
【点评】此类题目结合轴对称出现，体现了数形结合的思想，需找出几对对应点的坐标，再利用待
定系数法解决问题．
25．【分析】（1）显然，当A，F，B在同一直线上时，DF≠BF．
（2）注意使用两个正方形的边和90°的角，可判断出△DAG≌△BAE，那么DG＝BE．
【解答】解：（1）不正确．
若在正方形GAEF绕点A顺时针旋转45°，这时点F落在线段AB或AB的延长线上．（或将正方形
GAEF绕点A顺时针旋转，使得点F落在线段AB或AB的延长线上）．如图：
设AD＝a，AG＝b，
则DF＝ ＞a，
BF＝|AB﹣AF|＝|a﹣ b|＜a，
∴DF＞BF，即此时DF≠BF；
（2）连接BE，可得△ADG≌△ABE，则DG＝BE．如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵四边形GAEF是正方形，
∴AG＝AE，
又∵∠DAG+∠GAB＝90°，∠BAE+∠GAB＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG＝BE．
【点评】注意点在特殊位置时所得到的关系，判断边相等，通常要找全等三角形．
26．【分析】（1）关于x的方程有实根，则△＝（﹣6 ）2﹣4×1×36（cos2C﹣cosC+1）≥0，化简得：
（2cosC﹣1）2≤0，只有2cosC﹣1＝0，则∠C＝60°，此时方程有相等的根，AB+AB＝6 ；
（2）已知∠C＝60°，则再证明△ABC中一个角为60°，则可知△ABC为等边三角形．
【解答】解：（1）∠C＝60°，AB＝3 ；
（2）结论：△ABC是等边三角形（1分）
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠P+∠PAC＝∠BAD+∠ABC＝90°
又∵PA切 O于A，
⊙∴∠PAC＝∠ABC
∴∠P＝∠BAD
而∠PBA＝∠ABH，
∴△PBA∽△ABH
∴
∴当PB＝9时，BH＝ （2分）
在Rt△BHD中，BD＝BH•cos30°＝
在Rt△ABD中，cos∠ABD＝ ，
∴∠ABD＝60°
即∠ABC＝60°
∵∠C＝60°
∴△ABC是等边三角形．
【点评】此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．此题
是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．
