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2019年北京市大兴区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6 B．a6÷a﹣3＝a3
C．a3•a2＝a6 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
2．方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下
列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝ ，∠ADC＝ ，则竹竿AB与AD的长度之
α β比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交 于点D，以OC为半径
的 交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12 +18 B．12 +36 C．6 D．6
π π
7．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，
展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（ ）
A． B． C． D．
8．为积极响应我市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为
A、B、C、D四等，从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根
据图表信息，以下说法不正确的是（ ）A．D等所在扇形的圆心角为15°
B．样本容量是200
C．样本中C等所占百分比是10%
D．估计全校学生成绩为A等大约有900人
9．笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一
支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，如果将矩形纸沿虚线 对折后，沿虚线 剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一
个等腰三角形．则展开后三角形的①周长是（ ）②
A．2+ B．2+2 C．12 D．18
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．当x＝ 时，分式 的值为零．
12．已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则 ＝ ．
13．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他
字母及辅助线），你添加的条件是 ．14．如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B、C的对应点分别为点
D、E且点D刚好在 上，则阴影部分的面积为 ．
15．从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组 有
解，且使关于x的一元一次方程 +1＝ 的解为负数的概率为 ．
16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形
OABC的面积为 ．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，
作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数y＝ 图象恰好过DE的中点F．则k＝ ，线段EH的
长为： ．三．解答题（共7小题）
17．先化简，再求值：1﹣ ，其中x、y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0．
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出△A B C 各顶点的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A B C ，并写出△A B C 各顶点的坐标；
2 2 2 2 2 2
（3）观察△A B C 和△A B C ，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
1 1 1 2 2 2
19．某服装店用4400元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润＝售价
﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服
装店比按标价出售少收入多少元？
20．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空： ∠AEB的度数为 ； 线段AD，BE之间的数量关系为 ．
① ②（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，
CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，
并说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝ x2﹣x交于A、B两点．
（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；
（2）点P在抛物线上，当k＝﹣ 时，解决下列问题：
在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；
①连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．
②
22．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，这次测验中甲、乙两
组学生人数相同，成绩如下两个统计图：（1）在乙组学生成绩统计图中，8分所在的扇形的圆心角为 度；
（2）请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均分 方差 众数 中位数 优秀率
甲组 7 1.8 7 7 20%
乙组 10%
（3）甲组学生说他们的优秀率高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的
说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组学生观点的理由．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y
＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：△BOD∽△AOB；
（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．2019 年北京市大兴区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂相除、同底数幂相乘及幂的乘方
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，此选项错误；
B、a6÷a﹣3＝a9，此选项错误；
C、a3•a2＝a5，此选项错误；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂相除、同底数幂相
乘及幂的乘方的运算法则．
2．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；
【解答】解： ，
×3﹣ 得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，
①将y＝﹣②1代入 得：x＝2，
①
则方程组的解为 ；
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表
示在数轴上即可
【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，
由4﹣2x＞0，得x＜2，
不等式组的解集是1≤x＜2，
故选：D．
【点评】考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上
表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面
表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A
超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确．
【解答】解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，y ＝30，
A
（2）当x＞120，y ＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
A
B：（1）当0≤x＜200，y ＝50，
B
当x＞200，y ＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
B
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将y ＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
A
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
5．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝ ，
在Rt△ACD中，AD＝ ，
∴AB：AD＝ ： ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问
题，属于中考常考题型．
6．【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO＝30°，继而可得△BDO为等边三角形，求
出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S 即可求出阴
空白BDC
影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OD，BD，∵点C为OB的中点，
∴OC＝ OB＝ OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，
∴△BDO为等边三角形，OD＝OB＝12，OC＝CB＝6，
∴CD＝，6 ，
∴S ＝ ＝24 ，
扇形BOD
π
∴S ＝S ﹣S ﹣（S ﹣S
阴影 扇形AOB 扇形COE 扇形BOD △COD
＝ ﹣ ﹣（24 ﹣ ×6×6 ）
π
＝18 +6 ．
π
或S ＝S +S ﹣S ＝18 +6 ．
阴 扇形OAD △ODC 扇形OEC
π
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S＝ ．
7．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】解：由于得到的图形的中间是正方形，那么它的四分之一为等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查剪纸问题，关键是培养学生的空间想象能力和动手操作能力．
8．【分析】结合统计图的数据，正确的分析求解即可得出答案．
【解答】解：样本容量是50÷25%＝200，故B正确，样本中C等所占百分比是 ＝10%，故C正确，
估计全校学生成绩为A等大约有1500×60%＝900人，故D正确，
D等所在扇形的圆心角为360°×（1﹣60%﹣25%﹣10%）＝18°，故A不正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
9．【分析】由标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公
式计算可得．
【解答】解：∵在标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，
∴抽到编号是3的倍数的概率是 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能
出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10．【分析】折叠后长方形的长为原来长的一半，减去4后即为得到等腰三角形底边长的一半；利用勾
股定理即可求得等腰三角形的斜边长，周长＝底边长+2腰长．
【解答】解：展开后等腰三角形的底边长为2×（10÷2﹣4）＝2；
腰长＝ ＝ ，
所以展开后三角形的周长是2+2 ，故选B．
【点评】解决本题的难点是利用折叠的性质得到等腰三角形的底边长．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x2﹣4＝0 x＝±2；
而x＝2时，分母x+2＝2+2＝4⇒≠0，
x＝﹣2时分母x+2＝0，分式没有意义．
所以x＝2．
故答案为：2．【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
12．【分析】先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值，再把 化为 的形式代入进行计算即
可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，
∴m+n＝﹣4，m•n＝﹣1，
∴ ＝ ＝ ＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使
用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2
13．【分析】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再证明∠EBC＝∠DAC，
然后再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
【解答】解：添加AC＝BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠DAC，
在△ADC和△BEC中 ，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC＝BC．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一
角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出S ＝S
阴影 扇形﹣S ＝S ﹣S ，进而得出答案．
ADE 弓形AD 扇形ABC 弓形AD
【解答】解：连接BD，过点B作BN⊥AD于点N，
∵将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
则∠ABN＝30°，
故AN＝2，BN＝2 ，
S ＝S ﹣S ＝S ﹣S
阴影 扇形ADE 弓形AD 扇形ABC 弓形AD
＝ ﹣（ ﹣ ×4× ）
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质，正确得出△ABD是等边三角
形是解题关键．
15．【分析】分别求得使关于x的不等式组 有解，且使关于x的一元一次方程 +1＝
的解为负数的a的值满足的条件，然后利用概率公式求解即可．【解答】解：∵使关于x的不等式组 有解的a满足的条件是a＞﹣ ，
使关于x的一元一次方程 +1＝ 的解为负数的a的a＜ ，
∴使关于x的不等式组 有解，且使关于x的一元一次方程 +1＝ 的解为负
数的a的值为﹣1，0，1，三个数，
∴使关于x的不等式组 有解，且使关于x的一元一次方程 +1＝ 的解为负
数的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式、一元一次方程的解及解一元一次不等式组的知识，解题的关键是首
先确定满足条件的a的值，难度不大．
16．【分析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与
ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S ＝ S ，根据反比例函数比例系
△OGF △OCB
数的几何意义可求出k，从而求出S ，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可
△OAE
得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2 AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．
易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH＝OA，就可求出EH的值．
【解答】解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，
∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，
∴BQ＝OQ，BE＝EO．∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．
∴∠EBQ＝∠DOQ．
在△BEQ和△ODQ中，
．
∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．
∴EQ＝DQ．
∴点Q是ED的中点．
∵∠QNO＝∠BCO＝90°，
∴QN∥BC．
∴△ONQ∽△OCB．
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ．
∴S ＝ S ．
△ONQ △OCB
∵S ＝8 ，
矩形OABC
∴S ＝S ＝4 ．
△OCB △OAB
∴S ＝ ．
△ONQ
∵点F是ED的中点，
∴点F与点Q重合．
∴S ＝ ．
△ONF
∵点F在反比例函数y＝ 上，
∴ ＝ ．∵k＜0，
∴k＝﹣2 ．
∴S ＝ ＝ ．
△OAE
∵S ＝4 ，
△OAB
∴AB＝4AE．
∴BE＝3AE．
由轴对称的性质可得：OE＝BE．
∴OE＝3AE．OA＝ ＝2 AE．
∴S ＝ AO•AE＝ ×2 AE×AE＝ ．
△OAE
∴AE＝1．
∴OA＝2 ×1＝2 ．
∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°，
∴四边形OAEH是矩形．
∴EH＝OA＝2 ．
故答案分别为：﹣2 、2 ．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、
矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．
三．解答题（共7小题）17．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到
最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣ • ＝1﹣ ＝ ＝﹣ ，
由|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0，得到 ，
解得： ，
则当x＝2，y＝1时，原式＝﹣ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）要关于y轴对称，即从各顶点向y轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的
坐标．
（2）各顶点向右平移6个单位找对应点即可．
（3）从图中可以看出关于直线x＝3轴对称．
【解答】解：（1）A （0，4），B （2，2），C （1，1）；
1 1 1
（2）A （6，4），B （4，2），C （5，1）；
2 2 2
（3）△A B C 与△A B C 关于直线x＝3轴对称．
1 1 1 2 2 2
【点评】本题侧重于数学知识的综合应用，做这类题的关键是掌握平移，轴对称，及坐标系的有关
知识，触类旁通．
19．【分析】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，根据总价＝单价×数量结合总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据少获得的总利润＝单件少获得的利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得： ，
解得： ．
答：购进A种服装40件，购进B种服装20件．
（2）40×100×（1﹣0.9）+20×160×（1﹣0.8）＝1040（元）．
答：服装店比按标价出售少收入1040元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次
方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
20．【分析】（1）易证∠ACD＝∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得
AD＝BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，进而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝
CM，即可解题．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝60°；
（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题
中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．
21．【分析】（1）变形为不定方程k（x﹣4）＝y﹣4，然后根据k为任意不为0的实数得到x﹣4＝0，y﹣4
＝0，然后求出x、y即可得到定点的坐标；
（2）通过解方程组 得A（6，3）、B（﹣4，8）；
如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x， x2﹣x），则Q（x，﹣ x+6），则PQ＝（﹣ x+6）
①
﹣（ x2﹣x），利用三角形面积公式得到S ＝﹣ （x﹣1）2+ ＝20，然后解方程求出x即可得
△PAB
到点P的坐标；设P（x， x2﹣x），如图2，利用勾股定理的逆定理证明∠AOB＝90°，根据三角形相似的判定，
②
由于∠AOB＝∠PCO，则当 ＝ 时，△CPO∽△OAB，即 ＝ ；当 ＝ 时，
△CPO∽△OBA，即 ＝ ，然后分别解关于x的绝对值方程即可得到对应的点P的
坐标．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣4k+4＝k（x﹣4）+4，
即k（x﹣4）＝y﹣4，
而k为任意不为0的实数，
∴x﹣4＝0，y﹣4＝0，解得x＝4，y＝4，
∴直线过定点（4，4）；
（2）当k＝﹣ 时，直线解析式为y＝﹣ x+6，
解方程组 得 或 ，则A（6，3）、B（﹣4，8）；
如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，
①
设P（x， x2﹣x），则Q（x，﹣ x+6），
∴PQ＝（﹣ x+6）﹣（ x2﹣x）＝﹣ （x﹣1）2+ ，
∴S ＝ （6+4）×PQ＝﹣ （x﹣1）2+ ＝20，
△PAB解得x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；
设P（x， x2﹣x），如图2，
②
由题意得：AO＝3 ，BO＝4 ，AB＝5 ，
∵AB2＝AO2+BO2，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝∠PCO，
∴当 ＝ 时，△CPO∽△OAB，
即 ＝ ，
整理得4| x2﹣x|＝3|x|，
解方程4（ x2﹣x）＝3x得x ＝0（舍去），x ＝7，此时P点坐标为（7， ）；
1 2
解方程4（ x2﹣x）＝﹣3x得x ＝0（舍去），x ＝1，此时P点坐标为（1，﹣ ）；
1 2
当 ＝ 时，△CPO∽△OBA，
即 ＝ ，
整理得3| x2﹣x|＝4|x|，解方程3（ x2﹣x）＝4x得x ＝0（舍去），x ＝ ，此时P点坐标为（ ， ）；
1 2
解方程3（ x2﹣x）＝﹣4x得x ＝0（舍去），x ＝﹣ ，此时P点坐标为（﹣ ， ）
1 2
综上所述，点P的坐标为：（7， ）或（1，﹣ ）或（﹣ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定
方法；会利用待定系数法求抛物线解析式，通过解方程组求两函数图象的交点坐标，会解一元二次
方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决思想问题．
22．【分析】（1）利用360度乘以对应的百分比即可求解；
（2）利用加权平均数公式即可求得平均数，然后求得乙组中具体的分数即可求得方差、众数、中位
数；
（3）根据实际情况提出即可．
【解答】解（1）360×（1﹣20%﹣20%﹣10%﹣10%）＝360×40%＝144，故答案是144．
（2）乙组的平均分是：8×40%+7×20%+6×20%+3×10%+9×10%＝7（分），
乙组的总人数是：2+1+4+1+2＝10（人），
则得9分的有1人，8分的4人，7分的2人，6分的2人，3分的1人，则方差是： （[ 9﹣7）2+4×（8﹣7）2+2×（7﹣7）2+2×（6﹣7）2+（3﹣7）2]＝2.6，众数是8，中位数是
7.5．
（3）乙组的众数高于甲组；乙组的中位数高于甲组．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】（1）利用直线表达式求出点A、B的坐标，把这两个点的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）利用两个三角形夹角相等、夹边成比例，即可证明△BOD∽△AOB；
（3）证明△BCP∽△BAC，则 ＝ ，求出BP的长度，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，点B在y轴上，
∴当x＝0时，y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∵直线y＝﹣ x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴b＝4，
∴直线y＝﹣ x+4，
当y＝0时，x＝8，
∴点A的坐标为（8，0），
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，
∴a×82﹣4a×8+4＝0，解得，a＝ ，
∴抛物线y＝﹣ x2+ x+4；
（2）证明：∵y＝﹣ x2+ x+4＝﹣ + ，该抛物线的对称轴与x轴相交于点D，令y＝0，解得：x＝﹣4和8，则点C的坐标为（﹣4，0），即：OC＝4，
∴点D的坐标为（2，0），∴OD＝2，
∵点B（0，4），
∴OB＝4，
∵点A（8，0），
∴OA＝8，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴△BOD∽△AOB；
（3）连接CP，∵△BOD∽△AOB，
∴∠OBD＝∠BAO＝ ，∠BCP＝∠DBO＝ ，
∴∠BCP＝∠BAO＝α，而∠CPB＝∠CBP，α
α
∴△BCP∽△BAC，则 ＝ ，
其中，BC＝4 ，AB＝4 ，代入上式并解得：BP＝ ，
过点P作x轴的平行线交y轴于点H，
∵PH∥x轴，∴ ＝ ，
即： ＝ ，解得：PH＝ ，
即：点P的横坐标为： ，
同理可得其纵坐标为 ，
即点P的坐标为（ ， ）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形
结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用三角形相似求出线段的长度．
