文档内容
北京市通州区 2019 年中考数学模拟试卷
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝5cm，BC＝4cm，那么A，C两点的距离是（ ）
A．1cm B．9cm
C．1cm或9cm D．以上答案都不对
2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（ ）
A．点A与点D B．点B 与点DC．点B与点C D．点C与点D
3．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（ ）
A．53006×10人 B．5.3006×105人
C．53×104人D．0.53×106人
4．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的
哪个平面图形？（ ）
A． B．
C． D．
5．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．6．化简 的结果是（ ）
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
7．二次函数y＝ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①a＜0；②b＞0；③b2﹣
4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．黄帅拿一张正方形的纸按如图所示沿虚线连 续对折后剪去带直角的部分，然后打开后的
形状是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移
后得到线段A′B′，若点A的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣5，4）B．（4，3）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
10．某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图，下列四个结论中，正
确的是（ ）
A．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值
D．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在函数 中，自变量x的取值范围是_______．
12．用4块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，
可得到1个关于a，b的等式为__________．
13．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过
多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有
个．
14．如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝ AC，DE＝6，那么EF的值是_________．
15．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学
史上首次引用负数．如果+20%表示“增加20%”，那“减少6%”可以记作_________．
16．在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D.E分别是边AB.AC上的点，且∠AED＝60°，ED+DB＝CE，
∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB等于___________．三．解答题（共13小题，满分72分）
17．（5分）计算： ﹣|1﹣ |﹣sin30°+2﹣1．
18．（5分）解不等式组
19．（5分）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．
20．（5分）如图，已知反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点
B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m＝1，用配方 法解这个一元二次方程．22．（5分）某单位有职工200人，其中青年职工（20﹣35岁），中年职工（35﹣50岁），老年职
工（50岁及以上）所占比例如扇形统计图所示．为了解该单位职工的健康情况，小张、小王和
小李各自对单位职工进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1.
表2和表3．
表1：小张抽样调查单位3名职工的健康指数
年龄 26 42 57
健康指数 97 79 72
表2：小王抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄 23 25 26 32 33 37 39 42 48 52
健康指数 93 89 90 83 79 75 80 69 68 60
表3：小李抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄 22 29 31 36 39 40 43 46 51 55
健康指数 94 90 88 85 82 78 72 76 62 60
根据上述材料回答问题：
（1）扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为_______
（2）小张、小王和小李三人中，______的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康
情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．
23．（5分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分 线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连
接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2 ，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．24．（5分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交
于点D，F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝ 时，求AF的长．
25．（5分）阅读下列材料 ：阅读下列材料：
在《北京城市总体规划（2004 年﹣2020 年）》中，房山区被确定为城市发展新区和生态涵养
区，承担着首都经济发展、生态涵养、人口疏解和休闲度假等功能．
近年来房山区地区生产总值和财政收入均稳定增长．2011 年房山区地方生产总值是 416.0
亿元；2012 年是科学助力之年，地方生产总值 449.3 亿元，比上一年增长8.0%；2013 年房
山努力在区域经济发展上取得新突破，地方生产总值是 481.8 亿元，比上年增长 7.2%；
2014 年房山区域经济稳中提质，完成地方生产总值是 519.3 亿元，比上年增长 7.8%；2015
年房山区统筹推进稳增长，地区生产总值是 554.7 亿元，比上年增长了 6.8%；2016 年经济
平稳运行，地区生产总值是 593 亿元，比上年增长了 6.9%．
根据以上材料解答下列问题：
（1）选择折线图或条形图将 2011 年到 2016 年的地方生产总值表示出来，并在图中标明相
应数据；
（2）根据绘制的统计图中的信息，预估 2017 年房山区地方生产总值是________ 亿元，
你的预估理由是_________．
26．（5分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组
对应值．x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
﹣ ﹣
y … m …
﹣ ﹣ ﹣
小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图
象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，
画出该函数的图象；
（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝_________．
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_________．
27．（7分）对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣ 时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
28．（7分）已知如图是边长为10的等边△ABC．
（1）作图：在三角形ABC中找一点P，连接PA.PB.PC，使△PAB.△PBC.△PAC面积相等．（不写
作法，保留痕迹．）
（2）求点P到三边的距离和PA的长．29．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边
AD.BC于点E.F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE.PF，设AE＝x（0＜x＜
3）．
（1）填空：PC＝_______，FC＝_______-；（用含x的代数式表示）
（2）求△PEF面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：第一种情况：C点在AB之间上，故AC＝AB﹣BC＝1cm；
第二种情况：当C点在AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝9cm．
故选：C．
2．解：|﹣2|＝2，|﹣1|＝1＝|1|，|3|＝3，
故选：C．
3．解：∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选：B．
4．解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
因此图A是圆柱的展开图．
故选：A．
5．解：A.是中心对称图形，故本选项错误；
B.不是中心对称图形，故本选项正确；
C.是中心对称图形，故本选项错误；
D.是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
6．解：原式＝ ＝ ．
故选：B．
7．解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，结论②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，结论③正确；
④∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，结论④正确．
故选：C．
8．解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从直角顶点处剪去一个直角三角形，展
开得到结论．故选C．
9．解：∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），
∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．
故选：A．
10．解：A.由图可知甲运动员得分8场得分大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数
大于乙运动员的得分平均数，此选项错误；
B.由图可知甲运动员8场得分大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员
得分的中位数，此选项错误；C.由图可知甲运动员得分最小值是5分以下，乙运动员得分的最小值是5分以上，甲运动员
得分的最小值小于乙运动员得分的最小值，此选项正错误；
D.由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩
比甲运动员的成绩稳定，甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差，此选项正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：根据题意，知 ，
解得：x≥4，
故答案为：x≥4．
12．解：S阴影＝4S长方形＝4ab①，
S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，
由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
13．解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.25，
∴ ＝ ，
解得：x＝15，
即白球的个数为15个，
故答案为：15．
14．解：∵BC＝ AC，
∴ ＝ ，
∵直线AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ，即 ＝
解得：EF＝3，
故答案为：3．
15．解：根据正数和负数的定义可知，“减少6%”可以记作﹣6%．
故答案为：﹣6%．16．解：延长AB到F使BF＝AD，连接CF，如图，
∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°，
∵∠CDB＝2∠CDE，
∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°，
∴∠CDB＝2∠CDE＝80°，
∵BF＝AD，
∴BF＝DE，
∵DE+BD＝CE，
∴BF+BD＝CE，即DF＝CE，
∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE，
∴AF＝AC，
而∠BAC＝60°，
∴△AFC为等边三角形，
∴CF＝AC，∠F＝60°，
在△ACD和△FCB 中
，
∴△ACD≌△FCB （SAS），
∴CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝80°，
∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°．三．解答题（共13小题，满分72分）
17．解：原式＝3 ﹣ +1﹣ + ＝2 +1．
18．解：解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，
解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ BCD＝90°，
∴∠CDB+∠DBC＝90°．
∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．
∴∠ECB＝∠CDB．
∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，
∴∠CFB＝∠BCF
∴BF＝BC
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝ ＝5．
又∵BD•CE＝BC•DC，
∴CE＝ ．
∴BE＝ ．
∴EF＝BF﹣BE＝3﹣ ．
∴CF＝ cm．20．解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝ ，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝ ＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×3×1+ ×3×4＝7.5；
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
21．（1）证明：△＝m2﹣4×1×（﹣6）＝m2+24．
∵m2≥0，
∴m2+24＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当m＝1时，原方程为x2+x﹣6＝0，
移项，得：x2+x＝6，
配方，得：x2+2× x+（ ）2＝6+（ ）2，即（x+ ）2＝（ ）2，
开方，得：x+ ＝± ，
∴x1＝2，x2＝﹣3．
22．解：（1）扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为360°×20%＝72°，故答案为：72°；
（2）小李的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况，
小张的抽样调查的数据只有3个，样本容量太少． 小王的抽样调查的数据主要集中在中青
年职工，样本不够全面．
故答案为：小李．
23．解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED＝BG，
∴BE＝ED＝DG＝GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2 ，
∴EM＝ BE＝ ，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝ ，MN＝DE＝2 ，
在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC＝ ，
∴MC＝3 ，
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝ ．MC＝3 ，
∴EC＝ ＝ ＝10．
∵HG+HC＝EH+HC＝EC，∴HG+HC的最小值为10．
24．解：（1）连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴
∴∠OBE＝∠DBE
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC
∴BC⊥AC
∴∠C＝90°
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝
∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA＝ ＝ ＝
∴r＝
∴AF＝5﹣2× ＝25．解：（1）2011 年到 2016 年的地方生产总值如图所示；
（2）设2014到2016的平均增长率为x，
则519.3（1+ x）2＝593，
解得x≈14%，
用近3年的平均增长率估计2017年的增长率，
则2017年房山区地方生产总值是593×（1+14%）≈656.02亿元，
理由是用近3年的平均增长率估计2017年的增长率．
故答案分别为：656.02，用近3年的平均增长率估计2017年的增长率．
26．解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是 ；
故答案为：
（2）该函数的图象如图所示；
（3）当x＝2时所对应的点 如图所示，
且m＝ ；
故答案为： ；
（4）函数的性质：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．27．解：①是真命题 ，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x，
∴当x2+5x+4＝0时，得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝﹣4时，y＝﹣12；
∴二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m＝﹣1时，则函数为y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∵当y＝0时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当x＝0时，y＝
﹣4；
∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m，
∴对称轴x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ﹣ ，
∵m＜0，x≥﹣ 时，函数y随x的增大而减小，
∴ ，得m＝ ，
∵m＜0与m＝ 矛盾，
故③为假命题；
28． 解：（1）如图所示，点P即为所求；（2）由（1）可得，点P为△ABC的内角平分线的交点，
∴∠DBP＝30°，∠ADB＝90°，BD＝ BC＝5，
∴PD＝tan30°×BD＝ ，
∴点P到三边的距离为 ，
∵Rt△ABD中，AD＝tan60°×BD＝5 ，
∴AP＝AD﹣PD＝5 ﹣ ＝ ．
29．解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO
∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴AE＝CF
∵AE＝x，且DP＝AE
∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，
∴PC＝CD﹣DP＝3﹣x
故答案为：3﹣x，x
（2）∵S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，
∴S△EFP＝ ﹣ ﹣ ×x×（3﹣x）＝x2﹣ x+6＝（x﹣ ）2+
∴当x＝ 时，△PEF面积的最小值为
（3）不成立
理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°
又∵∠EPD+∠DEP＝90°
∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°∴△DPE≌△CFP（AAS）
∴DE＝CP
∴3﹣x＝4﹣x
则方程无解，
∴不存在x的值使PE⊥PF，
即PE⊥PF不成立．
