文档内容
2019 年北京市石景山区中考数学模拟试卷（3 月份）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（ ）
A．a+c B．c﹣a C．﹣a﹣c D．a+2b﹣c
2．石墨烯（Grann）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要加55牛顿的压力才能使
0.000001米长的石墨烯断，其中0.00001用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣5 B．10×10﹣7 C．0.1×10﹣5 D．1×106
3．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．25° C．65° D．50°
4．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：
24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（ ）
A．22个、20个 B．22个、21个 C．20个、21个 D．20个、22个
6．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（ ）A．75° B．54° C．72° D．60°
7．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12
点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间
的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB
边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（
）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最后5次的训练成绩分别用实线和虚
线连接起来，如图，下面的结论错误的是（ ）A．乙的第2次成绩与第5次成绩相同
B．第3次测试，甲的成绩与乙的成绩相同
C．第4次测试，甲的成绩比乙的成绩多2分
D．在5次测试中，甲的成绩都比乙的成绩高
10．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、
CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）
与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．若a，b都是实数，b＝ + ﹣2，则ab的值为 ．
12．分解因式：4m2﹣16n2＝ ．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴
影部分的面积为 （结果保留根号和π）．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）．
求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．
小姗的作法如下：如图2，
（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；
（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB， AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形．
老师说：“小姗的作法正确”．
请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是： ．
16．某水果公司购进10 000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干
进行统计，部分结果如下表：
苹果总质量 n（kg） 100 200 300 400 500 1000
损坏苹果质量m（kg） 10.50 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10
0.105 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101
苹果损坏的频率 （结果
保留小数点后三位）
估计这批苹果损坏的概率为 （结果保留小数点后一位），损坏的苹果约有
kg．三．解答题（共13小题，满分72分）
17．（5分）计算：sin30°﹣ +（π﹣4）0+|﹣ |．
18．（5分）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（5分）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
20．（5分）先化简，再求值：（x﹣2+ ）÷ ，其中x＝﹣ ．
21．（5分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该
书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提
高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞
销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔
多少；若赚钱，赚多少？
22．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连
接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
23．（5分）如图，已知反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
24．（5分）（图象题）如图所示，是我国运动员从1984～2000年在奥运会上获得获牌数的统
计图，请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）从1984～2000年的5届奥运会，我国运动员共获奖牌多少枚；
（2）哪届奥运会是我国运动员获得的奖牌总数最多；
（3）根据以上统计，预测我国运动员在2004年奥运会上大约能获得多少枚奖牌；
（4）根据 上述数据制作折线统计图，表示我国运动员从1984～2000年奥运会上获得的金
牌统计图；
（5）你不妨再依据数据制作扇形统计图，比较一下，体会三种统计图的不同特点．
25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD弧上的一点，OE⊥BD于点G，连接
AE交BC于点F，AC是⊙O的切线．
（1）求证：∠ACB＝2∠EAB；
（2）若cos∠ACB＝ ，AC＝10，求BF的长．26．（5分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组
对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
﹣ ﹣
y … m …
﹣ ﹣ ﹣
小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的
图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出
的点，画出该函数的图象；
（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝ ．
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
27．（7分）抛物线C：y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如下表：
1 1 1 1 1 1
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 4 …
y … ﹣4 ﹣1 0 ﹣4 ﹣16 ﹣25 …
1
（1）设抛物线C的顶点为P，则点P的坐标为 ；
1
（2）现将抛物线C沿x轴翻折，得到抛物线C：y＝ax2+bx+c，试求C的解析式；
1 2 2 2 2 2 2
（3）现将抛物线C向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点
2A、B．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间 的距离不小于6个单位？
②在最初的状态下，若向下平移m（m＞0）个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m
与n的等量关系．
28．（7分）如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接
AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发 沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点
P在线段OA上，求证：PA＝CQ；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
29．（8分）如图，已知抛物线y＝ x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），
与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找
一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直
接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．参考答案
一．选择题
1．解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0
∴|a+b|﹣|c﹣b|＝a+b﹣b+c＝a+c，
故答案为：a+c．
故选：A．
2．解：0.00001用科学记数法表示为1×10﹣5，
故选：A．
3．解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝35°，
故选：A．
4．解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
5．解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；
把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20 ，20，22，22，23，24，
处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是
21．
故选：C．
6．解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙ O的内接正五边形，∴∠AOB＝∠BOC＝72°，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OCB＝54°，
在△OBP和△OCQ中， ，
∴△OBP≌△OCQ，（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP＝∠QOC，
∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ＝∠BOC＝72°．
故选：C．
7．解：∵小李距家3千米，
∴离家的距离随着时间的增大而增大，
∵途中在文具店买了一些学习用品，
∴中间有一段离家的距离不再增加，
综合以上C符合，
故选：C．
8．解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，解得AD＝8，
△ABC
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝8+2＝10．
故选：C．
9．解：观察图象可知：A，B，C正确．
故选：D．
10．解：当0≤t≤4时，S＝S ﹣S ﹣S ﹣S
正方形ABCD △ADF △ABE △CEF
＝4•4﹣ •4•（4﹣t）﹣ •4•（4﹣t）﹣ •t•t
＝﹣ t2+4t
＝﹣ （t﹣4）2+8；
当4＜t≤8时，S＝ •（8﹣t）2＝ （t﹣8）2．
故 选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：∵b＝ + ﹣2，
∴1﹣2a＝0，
解得：a＝ ，
则b＝﹣2，
故ab＝（ ）﹣2＝4．
故答案为：4．
12．解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．
故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）
13．解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，
∠DOE＝ ＝60°，
∴OD＝OE＝DE＝1，∴OH＝ ，
∴正六边形ABCDEF的面积＝ ×1× ×6＝ ，
∠A＝ ＝120°，
∴扇形ABF的面积＝ ＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
14．解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4．
故答案为4．
15．解：由作法得MN垂直平分BC，则AB＝AC．
故答案为垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三
角形．
16．解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左
右，所以可估计苹果损坏率大约是0.1；
根据题意得：
10000×0.1＝1000（kg）
答：损坏的苹果约有1000kg．
故答案为：0.1，1000．
三．解答题（共13小题，满分72分）
17．解：原式＝ ﹣2+1+ ＝0．
18．解：去分母，得：2（2x﹣1）+15≥3（3x+1），去括号，得：4x+13≥9x+3，
移项，得：4x﹣9x≥3﹣13，
合并同类项，得：﹣5x≥﹣10，
系数化为1，得：x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
．
19．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠P＝∠Q，
∴PB∥CQ，
∴∠PBC＝∠BCQ，
∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2 ＝∠BCD﹣∠BCQ，
∴∠1＝∠2．
20．解：原式＝（ + ）•
＝ •
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣ 时，
原式＝2×（﹣ ）+4
＝﹣1+4
＝3．
21．解：（1）设第一次购书的单价为x元，根据题意得：
+10＝ ．
解得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，答：第一次购书的进价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE∥OB，CE＝OB，
∴四边形OBCE为平行四边形；
（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，
∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON∥FM，
∵AO＝OC，
∴ON＝ AB＝1，
∵OF＝FC，
∴FM＝ ON＝ ，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°，
在 Rt△ABC中：
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2 ，
∵∠ACB＝30°，FM＝ ，
∴CM＝ ，∴BM＝BC﹣CM＝ ，
∴BF＝ ＝ ．
23．解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝ ，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝ ＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S ＝S +S ＝ ×3×1+ ×3×4＝7.5；
△AOB △AOC △BOC
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
24．解：（1）32+26+54+50+59＝221枚；
（2）根据各年的总数据，显然59最大，即是2000年；
（3）根据逐年增长的趋势，约60枚左右；（4）如答图所示；
（5）①条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
②折线统计图能清楚地反映事物变化情况；
③扇形统计图能清楚地表示出各部分所占的百分比．
25．解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∴∠C+∠CAD＝∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠C＝∠DAB，
∵OE⊥BD，
∴2 ＝ ，
∴∠BAE＝ BAD，
∴∠ACB＝2∠EAB；
（2）∵cos∠ACB＝ ，AC＝10，
∴BC＝25，
∴AB＝ ＝5 ，
∵∠C＝∠BAD，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA，
∴ ，∴BD＝ ＝21，
∵OE⊥BD，
∴BG＝DG＝ ，
∵AD＝ ＝2 ，
∵AO＝BO，BG＝DG，
∴OG＝ AD＝ ，
∴GE＝ ，
∵AD∥GE，
∴ ＝ ，
∴FG＝ DG＝ ，
∴BF＝BG+FG＝ + ＝15．
26．解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是 ；
故答案为：
（2）该函数的图象如图所示；
（3）当x＝2时所对应的点 如图所示，
且m＝ ；
故答案为： ；（4）函数的性质：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．
27．解：（1）观察表格可知，抛物线上点（﹣3，﹣4）与点（1，﹣4）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴x＝﹣1，
∴顶点P坐标（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
（2）设抛物线C的解析式为y＝a（x+1）2，把（﹣2，﹣1）代入得到a＝﹣1，
1 1
∴抛物线C的解析式为y＝﹣（x+1）2，
1 1
将抛物线C沿x轴翻折，得到抛物线C，根据对称性可知，抛物线C的顶点为（﹣1，0），a
1 2 2
＝1，
∴C的解析式为y＝（x+1）2，
2 2
（3）①抛物线C向下平移过程中，对称轴x＝﹣1，当AB之间的距离为6时，可知A（﹣4，
2
0），B（2，0），
∴此时抛物线C的解析式为y＝（x+4）（x﹣2），
2
即y＝（x+1）2﹣9，
抛物线C至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位．
2
②抛物线C下平移m（m＞0）个单位后的解析式为y＝（x+1）2﹣m，
2
令y＝0，解得x＝﹣1± ，
∴A（﹣1﹣ ，0），B（﹣1+ ，0），
∴n＝AB＝2 ，
∴m＝ n2．
28．解：（1）作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，
∴OH＝OB+BH＝4，
∴C点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，
∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，
在△PBA和△QBC中，
，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA＝CQ；
（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA＝∠BQC＝135°，
∴∠OPB＝45°，
∴OP＝OB＝1，
∴P点坐标为（1，0）．
29．解：（1）对于抛物线y＝ x2+3x﹣8，令y＝0，得到 x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，
∴B（﹣8，0），A（2，0），
令x＝0，得到y＝﹣8，
∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m， m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）
∴S ＝S +S ＝ •FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（ m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣
△FBC △FNB △FNC
2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，
此时F（﹣4，﹣12），
∵抛物线的对称轴x＝﹣3，
点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，
设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有 ，解得 ，
∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，
∴P（﹣3，﹣10），
∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．
（3）如图2中，
∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），
∴BF＝ ＝4 ，
①当FQ＝FB时，Q（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．
1 1
②当BF＝BQ时，易知Q（0，﹣4 ），Q（0，4 ）．
2 3
③当QB＝QF时，设Q4（0，m），
4 4
则有82+m2＝42+（m+12）2，
解得m＝﹣4，
∴Q（0，﹣4），
4
∴Q点坐标为（0，0）或（0，4 ）或（0，﹣4 ）或（0，﹣4）．
