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2018-2019学年吉林省长春市中考数学模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1．（3分） 的绝对值是（ ）
A．5 B． C． D．﹣5
2．（3分）作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快，成
效显著，两年来，已有 18 个项目在建或建成，总投资额达 18500000000 美元，将
“18500000000”用科学记数法可表示为（ ）
A．1.85×109 B．1.85×1010 C．1.85×1011 D．185×108
3．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
5．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是（ ）
A．75° B．55° C．40° D．35°
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
7．（3分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去
750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确
的是（ ）
A． B．
C． D．8．（3分）如图，已知，第一象限内的点A在反比例函数y＝ 的图象上，第四象限内的点B
在反比例函数y＝ 的图象上．且OA⊥OB，∠OAB＝60°，则k的值为（ ）
A．2 B．6C．﹣2 D．﹣6
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．（3分）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
10．（3分）分解因式：x2y﹣xy2＝ ．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
．
12．（3分）如图，直线l 、l 、…、l 是一组等距离的平行线，过直线l 上的点A作两条射线m、
1 2 6 1
n，射线m与直线l 、l 分别相交于B、C，射线n与直线l 、l 分别相交于点D、E．若BD＝
3 6 3 6
1，则CE的长为 ．
13．（3分）在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．
若AB＝6，BC＝4，则△ADE的周长为 ．
14．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C ，它与x轴交于两点O，A ；将
1 1
C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A ；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A ；…如
1 1 2 2 2 2 3 3
此进行下去，直至得到C ，若点P（11，m）在第6段抛物线C 上，则m＝ ．
6 6
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝﹣ ．
16．（6分）一个不透明的袋子里装有三个分别标有数字﹣2、1、2的小球，除所标有的字不同
外，其它方面均相同，现随机从中摸出一个小球，记录所摸出的小球上的数字后放回并搅
匀，再随机摸出一个小球，记录小球上的数字．请用画树状图（或列表）的方法，求两次记
录数字之和是正数的概率．
17．（6分）甲乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与
乙做60个所用的时间相等，求甲乙每小时各做多少个零件？
18．（6分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端
点均在格点上，按下列要求画出图形．（1）在图①中找到一个格点C，使∠ABC是锐角，且tan∠ABC＝ ，并画出△ABC．
（2）在图②中找到一个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD．
19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
20．（8分）某校“两会”知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次
测验．
①收集数据：分别记录甲、乙两名学生10次测验成绩（单位：分）
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩
学生
甲 74 84 89 83 86 81 86 84 86 86
乙 82 73 81 76 81 87 81 90 92 96
②整理数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
学生甲 83.9 86 15.05
乙 83.9 81.5 46.92
③分析数据：根据甲、乙两名学生10次测验成绩绘制折线统计图：
④得出结论：结合上述统计全过程，回答下列问题：
（1）补全②中的表格．
（2）判断甲、乙两名学生谁的成绩比较稳定，说明判断依据．
（3）如果你是决策者，从甲、乙两名学生中选择一人代表学校参加知识竞赛，你会选择
（填“甲”或“乙），理由是： ．
21．（8分）某景区的三个景点A、B、C在同一线路上．甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行
到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙
两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函
数图象如图所示．
（1）乙步行的速度为 米/分．
（2）求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式．
（3）甲出发多长时间与乙第一次相遇？22．（9分）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE，过点E
作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．
猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为 ．
探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE
的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单
位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为
边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P
的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．24．（12分）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C 图象上一点，过点M作
1
l⊥x轴，如果二次函数C 的图象与C 关于l成轴对称，则称C 是C 关于点M的伴随函
2 1 2 1
数．如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C 的函数表达式是y＝﹣2x2+2，点M是二次
1
函数C 图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数C 是C 关于点M的伴随函数．
1 2 1
（1）若m＝1，
①求C 的函数表达式．
2
②点P（a，b ），Q（a+1，b ）在二次函数C 的图象上，若b ≥b ，a的取值范围为 ．
1 2 2 1 2
（2）过点M作MN∥x轴，
①如果MN＝4，线段MN与C 的图象交于点P，且MP：PN＝1：3，求m的值．
2
②如图3，二次函数C 的图象在MN上方的部分记为G ，剩余的部分沿MN翻折得到G ，
2 1 2
由G 和G 所组成的图象记为G．以A（1，0）、B（3，0）为顶点在x轴上方作正方形ABCD．
1 2
直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．2018-2019学年吉林省长春市中考数学模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1．【解答】解： 的绝对值是 ，
故选：B．
2．【解答】解：18500000000＝1.85×1010．
故选：B．
3．【解答】解：这个几何体的主视图为：
故选：A．
4．【解答】解： ，
由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
表示在数轴上，如图所示：
故选：C．
5．【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝75°，
∴∠4＝∠1＝75°，
∵∠2+∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．故选：C．
6．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝5，
则sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ，
故选：B．
7．【解答】解：设买了x张甲种票，y张乙种票，根据题意可得：
．
故选：B．
8．【解答】解：如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴．
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠OAC+∠AOC＝90°，∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠OAB＝60°，∴ ＝ ，
设A（x， ）
BD＝ OC＝ x，OD＝ AC＝ ，
∴B（ x，﹣ ）
把点B代入y＝ 得，﹣ ＝ ，解得x＝﹣6．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．【解答】解：∵3＝ ， ＞ ，
∴3＞ ．
故答案是：＞．
10．【解答】解：原式＝xy（x﹣y）．
11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4k＞0，
解得k＜4．
故答案为：k＜4．
12．【解答】解：∵l ∥l ，
3 6
∴BD∥CE，
∴△ABD∽△ACE，
∴ ＝ ＝ ，
∵BD＝1，∴CE＝ ．
故答案为： ．
13．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝6，
∵由作法可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AE+DE＝CD＝6，
∴△ADE的周长＝AD+（DE+AE）＝4+6＝10．
故答案为：10．
14．【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A 坐标为（2，0）
1
∵C 由C 旋转得到，
2 1
∴OA ＝A A ，即C 顶点坐标为（3，﹣1），A （4，0）；
1 1 2 2 2
照此类推可得，C 顶点坐标为（5，1），A （6，0）；
3 3
C 顶点坐标为（7，﹣1），A （8，0）；
4 4
C 顶点坐标为（9，1），A （10，0）；
5 5
C 顶点坐标为（11，﹣1），A （12，0）；
6 6
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．【解答】解：当x＝ 时，
原式＝x2+2x+1﹣x2+4
＝2x+5
＝﹣1+5
＝416．【解答】解：列表如下
﹣2 1 2
﹣2 ﹣4 ﹣1 0
1 ﹣1 2 3
2 0 3 4
所有等可能的情况有9种，其中两次记录数字之和是正数的有4种结果，
所以两次记录数字之和是正数的概率为 ．
17．【解答】解：设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件．
由题意得：
解得： ，
经检验x＝18，y＝12是原方程组的解．
答：甲每小时做18个，乙每小时做12个零件．
18．【解答】解：（1）如图①所示：答案不唯一；
（2）如图②所示：答案不唯一．
19．【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°．∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，
∴OD＝ ＝5，
∴BD＝OD﹣OB＝5﹣3＝2．
20．【解答】解：（1）甲10次测验的成绩排序后，最中间的两个数据是84和86，故中位数为
85；
乙10次测验的成绩中，81出现的次数最多，故众数为81；
故答案为：85，81；
（2）甲的成绩较稳定．
两人的成绩在平均数相同的情况下，甲成绩的方差较小，反映出甲的成绩比较稳定．
（3）选择甲．理由如下：
两人的成绩的平均数相同，但甲的中位数较高，说明甲的成绩多次高于乙的成绩，此外甲
的成绩比较稳定．（答案不唯一）
故答案为：甲；两人的成绩的平均数相同，但甲的中位数较高，说明甲的成绩多次高于乙
的成绩，此外甲的成绩比较稳定．
21．【解答】解：（1）乙步行的速度为：（5400﹣3000）÷（90﹣60）＝80（米/分）．
故答案为：80．
（2）设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，0），（30，3000）代入y＝kx+b得：
，解得： ，
∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣6000（20≤x≤30）．（3）甲步行的速度为：5400÷90＝60（米/分），
∴甲步行y与x之间的函数关系式为y＝60x．
联立两函数关系式成方程组，
，解得： ，
∴甲出发25分钟与乙第一次相遇．
22．【解答】解：①AF＝DE；
AF＝DE，
②证明：∵∠A＝∠FEC＝∠D＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF＝DE．
∵△AEF≌△DCE，
③∴AE＝CD＝AB＝2，AF＝DE＝3，FB＝FA﹣AB＝1，
∵BG∥AD，
∴ ＝ ，
∴BG＝ ．
23．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，∵四边形DEFP是正方形
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°
∵∠A＝∠B＝45°
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF
∵AB＝AP+PF+FB
∴2t+2t+2t＝8
∴t＝
（3）当0＜t≤ 时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
即S＝DP2＝4t2，
当 ＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面
积，
∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE ﹣S△GHE ，
∴S＝4t2﹣ ×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
（4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴
∵DF＝4EG
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴ ＝
∴ ＝
∴t＝
如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O，∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴
∵DF＝4EG
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵ ＝
∴ ＝
∴t＝
综上所述：t＝ 或
24．【解答】解：（1）①当m＝1时，抛物线C 与抛物线C 关于直线x＝1对称
2 1
∴抛物线C 的顶点时（2，2）
2
∴抛物线C 的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+2＝﹣2x2+8x﹣6
2
②∵点P（a，b ），Q（a+1，b ）在二次函数C 的图象上
1 2 2
∴b ﹣b ＝﹣2（a+1）2+8（a+1）﹣6﹣（﹣2a2+8a﹣6）＝﹣4a+6
2 1当b ≥b 时
1 2
﹣4a+6≤0
∴a≥
故答案为：a≥
（2）①∵MN∥x轴，MP：PN＝1：3
∴MP＝1
当m＞0时，2m＝1
m＝
当m＜0时，﹣2m＝1
m＝﹣
②分析图象可知：当m＝ 时，可知C1和G的对称轴关于直线x＝ 对称，C 的顶点恰
2
在AD上，此时G与正方形恰由2个交点．
当m＝1时，直线MN与x轴重合，G与正方形恰由三个顶点．
当m＝2时，G过点B（3，0）且G对称轴左侧部分与正方形有两个交点
当m＝2或 ＜m≤1时，G与正方形ABCD有三个公共点．
