文档内容
2018-2019学年广东省揭阳市普宁市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.）在每小题列出的四个选项中，只有个正确选项，请
将正确答案写在答题卷的相应位置
1．下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．（8，﹣1） B．（8，0） C．（﹣ ，3） D．（0，﹣4）
2．下列实数中，不是无理数的是（ ）
A． B．﹣
C．2 （ 表示圆周率） D．2
π π
3．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9
4．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
5．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误
的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
6．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
8．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．﹣8的立方根是﹣2
C． ＝±2 D． ＝﹣2
9．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准
备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序
除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（ ）
A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟
10．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况
记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，由题意列出关于x与y的方程组为
（ ）
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 5 x y 3 2
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案写在答题卷的相应位置
11．计算： ＝ ；|﹣ |＝ ．
12．命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题是 ，该逆命题是（填“真”或“假”） 命题．
13．计算：（3+ ）（ ）＝ ．
14．小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 分．
15．有大小两种货车，2辆大货车与1辆小货车一次可以运货7吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以
运货5吨．则1辆大货车与1辆小货车一次可以运货 吨．
16．在平面直角坐标系xOy中，点A ，A ，A ，…和B ，B ，B ，…分别在直线y＝kx+b和x轴上．
1 2 3 1 2 3
△OA B ，△B A B ，△B A B ，…都是等腰直角三角形，如果A（1，1），A（ ， ）．那么点A 的纵
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
坐标是 ，点A 的纵坐标是 ．
2013
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：（2 ﹣1）2﹣（ ）÷ ．
18．解方程组：
19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）
（1）填空：AC＝ ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．据市旅游局发布信息，今年春节假期期间，我市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去
年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求我市去年外来和外出
旅游的人数．
21．我区某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据
解决下列问题：
（1）九（1）班复赛成绩的中位数是 分，九（2）班复赛成绩的众数是 分；
（2）小明同学已经算出了九（1）班复赛的平均成绩 ＝85分；
方差S2＝ [（85﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70（分2），
请你求出九（2）班复赛的平均成绩x 和方差S 2；
2 2
（3）根据（2）中计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？
22．已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，且
∠C＝45°，设∠CBQ＝∠ ，∠CAN＝∠ ．
（1）如图1，当点C落在PQα的上方时，ACβ与PQ相交于点D，求证：∠ ＝∠ +45°．
请将下列推理过程补充完整： β α
证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CDQ＝∠ +∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵PQ∥MN（ α ），
∴∠CDQ＝∠ （ ）．
∴∠ ＝ β （等量代换）．
∵∠βC＝45°（已知），
∴∠ ＝∠ +45°（等量代换）
（2）如β 图2α，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠ 与∠ 的数量关系，并说
明理由． α β五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
23．如图1所示，小亮家与学校之间有一超市，小亮骑车由家匀速行驶去学校，然后在校学习8小时．
最后放学骑车匀速回家（上学与放学均不在超市停留）．图2中的折线OABC表示小亮离家的距离
y（km）与离家的时间x（h）之间的函数关系．
根据已上信息，解答下列问题：
（1）小亮上学的速度为 km/h，放学回家的速度为 km/h；
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系；
（3）如果小亮两次经过超市的时间间隔为8.48小时，那么超市离小亮家多远？
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．
（1）当∠B＝28°时，求∠AEC的度数；
（2）当AC＝6，AB＝10时，
求线段BC的长；
①求线段DE的长．
②25．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，在△AOC中，OA＝OC，点A坐标为（﹣3，
4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，将△AOC沿AC折叠得到△ABC，请解答下列
问题：
（1）点C的坐标为 ；
（2）求线段OM的长；
（3）求点B的坐标．2018-2019 学年广东省揭阳市普宁市八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.）在每小题列出的四个选项中，只有个正确选项，请
将正确答案写在答题卷的相应位置
1．下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．（8，﹣1） B．（8，0） C．（﹣ ，3） D．（0，﹣4）
【分析】依据位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，即可得到结论．
【解答】解：∵位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，
∴位于第二象限的是（﹣ ，3）
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的坐标，解题时注意：位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正．
2．下列实数中，不是无理数的是（ ）
A． B．﹣
C．2 （ 表示圆周率） D．2
π π
【分析】根据无理数、有理数的定义逐一对每个选择支进行判断．
【解答】解： 是分数，属于有理数，故选项A正确；
﹣ ，2 ，2 是无理数．
π
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意：带根号的开不尽方的数是无理数，无限不循环小数为无
理数，含 的数是无理数．如2 ， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
π π
3．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最
长边的平方．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故错误；
B、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故错误；
C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故错误；
D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题；
【解答】解：在△ABC中，∵∠ACD＝∠A+∠B，∠A＝80°，∠ACD＝145°，
∴∠B＝145°﹣80°＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误
的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为 ＝3，方差为 ×[（0﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣
3）2+（5﹣3）2]＝2.8，
故选：B．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
6．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．
【解答】解：在y＝﹣2x﹣1中，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴此函数的图象经过二、三、四象限，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在一、二、四
象限是解答此题的关键．
7．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【分析】依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角
相等，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），正确；
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
8．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．﹣8的立方根是﹣2
C． ＝±2 D． ＝﹣2
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐一判别可得．
【解答】解：A．1的平方根是±1，此选项错误；
B．﹣8的立方根是﹣2，此选项正确；
C． ＝2，此选项错误；
D． ＝2，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查平方根与立方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根及立方根的定义．
9．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准
备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序
除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（ ）
A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟
【分析】根据统筹方法，烧开水时可洗菜和准备面条及佐料，这样可以节省时间，所以小明所用时间最
少为（1）、（4）、（5）步时间之和．
【解答】解：第一步，洗锅盛水花2分钟；
第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟；
第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟．
总计共用2+7+3＝12分钟．
故选：C．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，采用统筹方法是生活中常用的有效节省时间的方法，本题将数
学知识与生活相结合，是一道好题．
10．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况
记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，由题意列出关于x与y的方程组为
（ ）
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 5 x y 3 2A． B．
C． D．
【分析】设进2个球的有x人，进3个球的有y人，根据20人共进49个球，即可得出关于x，y的二元一
次方程组，此题得解．
【解答】解：设进2个球的有x人，进3个球的有y人，
根据题意得： ，
即 ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案写在答题卷的相应位置
11．计算： ＝ ；|﹣ |＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的分母有理化和二次根式的性质分别计算可得．
【解答】解： ＝ ＝ ，|﹣ |＝ ＝2 ，
故答案为： ，2 ．
【点评】本题主要考查二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的有理化方法和二次根式
的性质．
12．命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题是 如 a ＞ b ，则 a 2 ＞ b 2 ， ，该逆命题是（填“真”或“假”）
假 命题．
【分析】先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假．
【解答】解：如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如a＞b，则a2＞b2，
假设a＝1，b＝﹣2，此时a＞b，但a2＜b2，即此命题为假命题．
故答案为：如a＞b，则a2＞b2，假．【点评】此题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后
将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．
13．计算：（3+ ）（ ）＝ +1 ．
【分析】利用多项式乘法展开，然后合并即可．
【解答】解：原式＝3 ﹣6+7﹣2
＝ +1．
故答案为 +1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式
的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法
如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 7 9 分．
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学总评分即可．
【解答】解：本学期数学总评分＝70×30%+80×30%+85×40%＝79（分）．
故答案为：79．
【点评】本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩＝3：3：4的含义就是分
别占总数的30%、30%、40%．
15．有大小两种货车，2辆大货车与1辆小货车一次可以运货7吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以
运货5吨．则1辆大货车与1辆小货车一次可以运货 4 吨．
【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，由“2辆大货车与1辆小货
车一次可以运货7吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货5吨”，即可得出关于x，y的二元一
次方程组，将方程组的两方程相加再除以3，即可求出结论．
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得： ，
（ + ）÷3，得：x+y＝4．
故①答案②为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．在平面直角坐标系xOy中，点A ，A ，A ，…和B ，B ，B ，…分别在直线y＝kx+b和x轴上．
1 2 3 1 2 3
△OA B ，△B A B ，△B A B ，…都是等腰直角三角形，如果A（1，1），A（ ， ）．那么点A 的纵
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
坐标是 ，点A 的纵坐标是 （ ） 201 2 ．
2013
【分析】先求出直线y＝kx+b的解析式，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正
切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线
与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到A
3
的坐标，进而得出各点的坐标的规律．
【解答】解：∵A （1，1），A （ ， ）在直线y＝kx+b上，
1 2
∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝ x+ ；
设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x＝0时，y＝ ，
当y＝0时， x+ ＝0，解得x＝﹣4，
∴点M、N的坐标分别为M（0， ），N（﹣4，0），
∴tan∠MNO＝ ＝ ＝ ，作A C ⊥x轴与点C ，A C ⊥x轴与点C ，A C ⊥x轴与点C ，
1 1 1 2 2 2 3 3 3
∵A （1，1），A （ ， ），
1 2
∴OB ＝OB +B B ＝2×1+2× ＝2+3＝5，
2 1 1 2
tan∠MNO＝ ＝ ＝ ，
∵△B A B 是等腰直角三角形，
2 3 3
∴A C ＝B C ，
3 3 2 3
∴A C ＝ ＝（ ）2，
3 3
同理可求，第四个等腰直角三角形A C ＝ ＝（ ）3，
4 4
依此类推，点A 的纵坐标是（ ）n﹣1．
n
∴A ＝（ ）2012
2013
故答案为： ，（ ）2012．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：（2 ﹣1）2﹣（ ）÷ ．
【分析】先利用二次根式的除法法则和完全平方公式运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后
合并即可．
【解答】解：原式＝8﹣4 +1﹣（ ﹣ ）＝9﹣4 ﹣2 +
＝9﹣5 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式
的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．解方程组：
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解： ，
把 代入 得：3x﹣2x+3＝8，
解①得：x＝②5，
把x＝5代入 得y＝7，
①
则原方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）
（1）填空：AC＝ ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF．
【分析】（1）利用勾股定理求解可得；
（2）分别作出点B与点C关于x轴的对称图形，再与点A首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）AC＝ ＝ ，故答案为： ；
（2）所画图形如下所示，其中△DEF即为所求，
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质，并据此
得出变换后的对应点及勾股定理．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．据市旅游局发布信息，今年春节假期期间，我市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去
年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求我市去年外来和外出
旅游的人数．
【分析】设我市去年外来旅游的有x万人，外出旅游的有y万人，根据去年同期外来旅游比外出旅游的
人数多20万人及今年外来与外出旅游的人数与去年人数之间的关系，即可得出关于x，y的二元一
次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设我市去年外来旅游的有x万人，外出旅游的有y万人，
根据题意得： ，
解得： ．
答：我市去年外来旅游的有100万人，外出旅游的有80万人，
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．我区某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5
名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据
解决下列问题：
（1）九（1）班复赛成绩的中位数是 8 5 分，九（2）班复赛成绩的众数是 10 0 分；
（2）小明同学已经算出了九（1）班复赛的平均成绩 ＝85分；方差S2＝ [（85﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70（分2），
请你求出九（2）班复赛的平均成绩x 和方差S 2；
2 2
（3）根据（2）中计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？
【分析】（1）利用众数、中位数的定义分别计算即可；
（2）利用平均数和方差的公式计算即可；
（3）利用方差的意义进行判断．
【解答】解：（1）九（1）班复赛成绩的中位数是85分，九（2）班复赛成绩的众数是100分；
故答案为：85，100；
（2）九（2）班的选手的得分分别为70，100，100，75，80，
所以九（2）班成绩的平均数＝ （70+100+100+75+80）＝85，
九（2）班的方差S 2＝ [（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160；
2
（3）平均数一样的情况下，九（1）班方差小，
所以九（1）班的成绩比较稳定．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度
越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了统计图．
22．已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，且
∠C＝45°，设∠CBQ＝∠ ，∠CAN＝∠ ．
（1）如图1，当点C落在PQα的上方时，ACβ与PQ相交于点D，求证：∠ ＝∠ +45°．
请将下列推理过程补充完整： β α
证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CDQ＝∠ +∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
α∵PQ∥MN（ 已知 ），
∴∠CDQ＝∠ （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∴∠ ＝ ∠ β + ∠ C （等量代换）．
∵∠βC＝45°（α已知），
∴∠ ＝∠ +45°（等量代换）
（2）如β 图2α，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠ 与∠ 的数量关系，并说
明理由． α β
【分析】（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题；
（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．．
【解答】解：（1）证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CDQ＝∠ +∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵PQ∥MN（已α知），
∴∠CDQ＝∠ （两直线平行，同位角相等）．
∴∠ ＝∠ +∠βC（等量代换）．
∵∠βC＝45α°（已知），
∴∠ ＝∠ +45°（等量代换）；
故答β案为：α已知，两直线平行，同位角相等，∠ +∠C，
（2）证明：∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角α形外角的定义），
∴∠CFN＝∠ +∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵PQ∥MN（已β 知），
∴∠CFN＝∠ （两直线平行，同位角相等）
∴∠ ＝∠ +∠αC（等量代换）．
∵∠αC＝45β°（已知），
∴∠ ＝∠ +45°（等量代换）．
【点评α】本题β考查了三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
23．如图1所示，小亮家与学校之间有一超市，小亮骑车由家匀速行驶去学校，然后在校学习8小时．
最后放学骑车匀速回家（上学与放学均不在超市停留）．图2中的折线OABC表示小亮离家的距离
y（km）与离家的时间x（h）之间的函数关系．
根据已上信息，解答下列问题：
（1）小亮上学的速度为 5 km/h，放学回家的速度为 3 km/h；
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系；
（3）如果小亮两次经过超市的时间间隔为8.48小时，那么超市离小亮家多远？
【分析】（1）根据题意和图象中的数据可以求得小亮上学的速度和放学回家的速度；
（2）根据图象中的数据和题意可以求得线段BC所表示的y与x之间的函数关系；
（3）由题意可知，小明从家到超市和从超市到家的时间之和是总的时间减去两次经过超市的时间间
隔，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
小明上学的速度为：3÷0.6＝5km/h，
放学回家的速度为：3÷（9.6﹣0.6﹣8）＝3km/h，
故答案为：5，3；
（2）设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将B（8.6，3）、C（9.6，0）代入y＝kx+b，得
，得 ，
∴线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+28.8（8.6≤x≤9.6）；
（3）设超市离家skm，
＝9.6﹣8.48，解得：s＝2.1．
答：超市离家2.1km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的
思想解答．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．
（1）当∠B＝28°时，求∠AEC的度数；
（2）当AC＝6，AB＝10时，
求线段BC的长；
①求线段DE的长．
②
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用互余得到∠BAC＝62°，再根据折叠的性质得∠CAE＝ ∠CAB＝31°，
然后根据互余可计算出∠AEC＝59°；
（2） 在Rt△ABC中，利用勾股定理即可得到BC的长； 设DE＝x，则EB＝BC﹣CE＝8﹣x，依据勾
股①定理可得，Rt△BDE中DE2+BD2＝BE2，再解方程②即可得到DE的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝ ×62°＝31°，
Rt△ACE中，∠ACE＝90°
∴∠AEC＝90°﹣31°＝59°．
（2） 在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，
①
∴BC＝ ＝ ＝8．
∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，
②∴AD＝AC＝6，CE＝DE，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
设DE＝x，则EB＝BC﹣CE＝8﹣x，∵Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
即DE的长为3．
【点评】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为x，然
后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用
勾股定理列出方程求出答案．
25．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，在△AOC中，OA＝OC，点A坐标为（﹣3，
4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，将△AOC沿AC折叠得到△ABC，请解答下列
问题：
（1）点C的坐标为 （ 5 ， 0 ） ；
（2）求线段OM的长；
（3）求点B的坐标．
【分析】（1）利用勾股定理求出OA的长即可解决问题；
（2）求出直线AC的解析式，利用待定系数法即可解决问题；
（3）只要证明AB＝AC＝5，AB∥x轴，即可解决问题；
【解答】解：（1）∵A（﹣3，4），
∴OA＝ ＝5，
∴OA＝OC＝5，
∴C（5，0），
故答案为（5，0）；
（2）设直线AC的解析式y＝kx+b，函数图象过点A、C，得
，解得 ，
∴直线AC的解析式y＝﹣ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，即M（0， ），
∴OM＝ ．
（3）∵△AOC沿着AC折叠得到△ABC，
∴OA＝BA，OC＝BC，且∠ACO＝∠ACB，
又∵OA＝OC，
∴AB＝AC＝OC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴AB∥x轴，
由（1）知，C（5，0），
∴OC＝5．
∵AB＝AC＝OC，∴AB＝5．
∵A坐标为（﹣3，4），AB∥x轴，
∴B坐标为（2，4）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换，等腰三角形的性质，一次函数的应用等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
